Geometrischer Endpunkt Rechner

Willkommen bei Omni's Endpunkt-Rechner. Du lernst hier, wie du den Endpunkt eines Geradenabschnitts bei bekanntem Anfangs- und Mittelpunkt berechnest. Wie du vielleicht schon vermutet hast, hängt dieses Thema mit der Berechnung des Mittelpunkts zusammen, weshalb die Formel des Mittelpunktrechners sehr ähnlich ist. Bevor wir uns die Details anschauen, gehen wir die Endpunktdefinition in der Geometrie durch, um besser zu verstehen, womit wir es hier zu tun haben.

Also, lehne dich zurück, koche dir eine Tasse Tee und lass uns loslegen!

Umgangssprachlich ausgedrückt ist ein Endpunkt ein Punkt, der am Ende liegt. Wir sind sicher, dass diese Aussage für dich genauso ein Schock war wie für uns, als wir sie zum ersten Mal hörten.

In ihrer einfachsten Form bezieht sich die Endpunkt-Definition in der Geometrie auf Geradenabschnitte, d. h. auf gerade Linien, die zwei Punkte verbinden. Ja, du hast es erraten – diese Punkte werden Endpunkte genannt. Beachte, dass nach dieser Definition jede Stecke zwei Endpunkte hat (es sei denn, es handelt sich um den speziellen Fall, dass sie derselbe Punkt sind, d. h. das Intervall ein einziger Punkt ist).

Der Einfachheit halber bezeichnen wir einen davon als Anfangspunkt. Bedenke aber, dass der Anfang genauso gut das Ende sein kann, wenn du die Gerade von der anderen Seite aus betrachtest.

Das klang jetzt gruselig philosophisch, findest du nicht auch? Aber lassen wir die „Wer sind wir und wer wollen wir sein?“ Fragen für schlaflose Nächte. Wir sollten uns auf die erwähnten Geradenabschnitte konzentrieren und darauf, wie wir ihre Endpunkte finden.

Um den Endpunkt zu ermitteln, müssen wir zunächst einen Bezugspunkt definieren. Mit anderen Worten: Da wir es mit einer Strecke und einer ihrer Komponenten zu tun haben, müssen wir wissen, wie der Rest von der Strecke aussieht.

Die einfachste und häufigste Situation ist, dass uns der Endpunkt fehlt, während wir den Anfangs- und den Mittelpunkt kennen. Letzterer ist, wie der Name schon sagt, einfach der Punkt, der die Mitte der Strecke markiert. Das ist alles, was wir brauchen, um den Endpunkt zu finden; schließlich muss er am anderen Ende des Mittelpunkts als der Startpunkt liegen und vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sein.

Intuitiv können wir also bereits geometrisch beschreiben, wie wir den Endpunkt finden.

1. Ausgehend vom Startpunkt $A$ und dem Mittelpunkt $B$, zeichne die Strecke, die die beiden Punkte verbindet.
2. Ziehe eine Linie, die von $B$ weiter weg von $A$ und nach Gott-weiß-wohin führt.
3. Miss den Abstand von $A$ zu $B$ und markiere den gleichen Abstand von $B$ in die andere Richtung.
4. Führe einen Siegestanz auf.

Wie auch immer, für Leute, die Zahlen und Berechnungen bevorzugen (und wir könnten tatsächlich behaupten, dass wir diese Leute sind), werden wir uns im nächsten Abschnitt darauf konzentrieren, wie der Endpunkt algebraisch ermittelt wird. Keine Angst vor dem Wort „algebraisch” - gleich wirst du sehen, dass es „einfach und mühelos” bedeutet – wie das Motto unseres Endpunktrechners.

In der Koordinatengeometrie befassen wir uns mit Objekten, die in den sogenannten euklidischen Raum eingebettet sind. Wir schauen uns seine mathematische Definition jetzt nicht im Detail an. Für unsere Zwecke reicht es, wenn wir wissen, dass in solchen Räumen Punkte, wie z. B. $A$ oder $B$, zwei Koordinaten haben: $A = (x_1, y_1)$ und $B = (x_2, y_2)$.

Die Zahlen $x_1$ und $x_2$ kennzeichnen die Position der Punkte in Bezug auf die horizontale Achse (meist mit $x$ bezeichnet), während $y_1$ und $y_2$ für die vertikale Achse verwendet werden (meist mit $y$ bezeichnet). Zusammen definiert ein solches Zahlenpaar $(x_1, y_1)$ einen Punkt im Raum. Außerdem helfen uns die Koordinaten bei der Analyse von komplizierteren Objekten in unserem euklidischen Raum. Sie kommen zum Beispiel in der Endpunktformel vor.

Nehmen wir an, du hast eine Strecke, die von $A = (x_1, y_1)$ nach... na ja, wir wissen es noch nicht, geht. Schauen wir uns also an, wie du den Endpunkt $B = (x_2, y_2)$ findest, wenn der Mittelpunkt $M = (x, y)$ bekannt ist.

Aus der Definition des Mittelpunkts wissen wir, dass der Abstand von $A$ zu $M$ gleich sein muss wie der von $M$ zu $B$, $B$ liegt nur auf der gegenüberliegenden Seite von $A$. Um $B$ zu finden, reicht es also, $M$ entlang der Linie, die durch $A$ und $M$ geht, um die gleiche Länge wie die der Strecke $AM$, zu „verschieben”. Du kannst dich auch mathematisch ausdrücken und sagen, dass $M$ um den Vektor $AM$ verschoben wird.

Wir erhalten:

$x_2 = x + (x - x_1) = 2x - x_1$ und

$y_2 = y + (y - y_1) = 2y - y_1$.

Du findest in diesem Absatz alle theoretischen Informationen, die du brauchst.

Beachte, dass wir oben die Gerade erwähnt haben, die durch $A$ und $M$ verläuft. Solche Linien sind sehr hilfreich, wenn du lernst, den Endpunkt oder den Mittelpunkt zu finden. Schließlich befindet sich die Strecke $AB$ auf dieser Linie.

Puh, das war viel Theorie! Wie wäre es, wenn wir diesen technischen Hokuspokus sein lassen und uns ein Rechenbeispiel ansehen?

Angenommen, du hast vor vier Monaten angefangen, Videos auf YouTube zu veröffentlichen. Nichts Ausgefallenes, nur ein paar Kochrezepte, die in deiner Region traditionell sind. Es begann als Hobby, aber den Leuten scheint die Show zu gefallen, und du siehst, dass die Zahl der Zuschauer mit der Zeit linear steigt. Warum versuchen wir nicht, den fehlenden Endpunkt mit unserem Rechner zu finden, um zu überprüfen, wie viele Zuschauer du in vier Monaten erwarten kannst?

Beachte zunächst, dass das Problem zwar überhaupt nicht nach Geometrie aussieht, wir die Antwort aber tatsächlich mithilfe der Endpunktdefinition finden können. Der Startpunkt, also Monat Null, war der Zeitpunkt, an dem du angefangen hast, die Videos zu veröffentlichen. Wir hatten zu diesem Zeitpunkt 0 Zuschauer. Jetzt sind wir bei Monat vier, dem Mittelpunkt (denn wir wollen die Anzahl der Zuschauer in weiteren vier Monaten ermitteln). Mit anderen Worten: der Endpunkt wird unsere Antwort sein.

Nehmen wir an, dass du derzeit 54 000 Abonnenten hast, und versuchen wir, all diese Daten so zu übersetzen, dass der Endpunkt-Rechner versteht, was wir von ihm wollen.

Nach dem obigen Abschnitt brauchen wir, um die Antwort zu finden, den Startpunkt und den Mittelpunkt. Bezeichnen wir sie mit A = (x₁, y₁) und M = (x, y). Für uns bezeichnen die x die Nummer des Monats, in dem wir uns befinden, und die y die Anzahl der Zuschauer. Da unser Startpunkt der Monat Null war und wir derzeit bei 4 Monaten sind, haben wir (und können dies in den Endpunkt-Rechner eingeben):

x₁ = 0,

x = 4.

Jetzt ist es Zeit für die Abonnenten. Auch hier war der Startpunkt 0, während wir jetzt, nach vier Monaten, bei 54 000 sind. Wir haben also:

y₁ = 0,

y = 54 000.

Sobald wir all diese Daten in den Endpunktrechner eingegeben haben, rechnet er die Antwort aus. Aber wir möchten sie noch nicht verraten! Wie wäre es, wenn wir den Endpunkt mithilfe der Endpunktformel zusätzlich selbst ermitteln?

Nimm dir ein Blatt Papier und erinnere dich an die Informationen, die wir bereits oben erwähnt haben. Unser Startpunkt war im Monat Null mit null Abonnenten, was bedeutet, dass unser Startpunkt A = (0, 0) ist. Jetzt sind wir bei Monat vier mit 54 000 Abonnenten, das ist die Hälfte von dem, was wir berechnen möchten. Das bedeutet, dass unser Mittelpunkt bei (454 000) liegt.

Jetzt müssen wir nur noch die Endpunktformel aus dem obigen Abschnitt anwenden. Wenn wir die Koordinaten des Endpunkts mit B = (x₂, y₂) bezeichnen, dann ist:

x₂ = 2 ∙ 4 - 0 = 8,

y₂ = 2 ∙ 54 000 - 0 = 108 000.

Das bedeutet, dass wir, wenn der Trend anhält, in vier Monaten 108 000 Abonnenten erreichen sollten.