Standardabweichung Rechner

Der Standardabweichung-Rechner zeigt dir, wie du den Mittelwert und die Standardabweichung eines Datensatzes berechnen kannst. Wenn du dich mit der Statistik befasst, ist es wichtig zu wissen, wie man die Standardabweichung bestimmt, denn sie wird sehr häufig verwendet.

Du wirst von den besonderen Funktionen unseres Standardabweichung-Rechners begeistert sein:

• Er funktioniert als Rechner für die Standardabweichung der Grundgesamtheit oder der Stichprobe.
• Wir zeigen dir die Schritte für ein einfaches Verständnis.
• Er eignet sich hervorragend als Lernwerkzeug oder als Rechner für kleine Datensätze.
• Die Definition und die Formel für die Standardabweichung werden unten erklärt.

Lies weiter und leg los!

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Variabilität in einem Datensatz. Mit anderen Worten: Die Standardabweichung beschreibt, wie stark die Daten um den Mittelwert herum „gestreut“ sind. Dieser Rechner befasst sich mit einzelnen Datenpunkten, aber wir haben auch einen speziellen Rechner für die Standardabweichung von gruppierten Daten 🇺🇸 für Datenreihen.

Eine hohe Standardabweichung zeigt an, dass ein Datensatz mehr gestreut ist.

Eine niedrige Standardabweichung zeigt an, dass die Daten enger um den Mittelwert gruppiert, oder weniger gestreut, sind.

Kannst du dir vorstellen, wie eine Standardabweichung aussieht? Auch wenn du die Standardabweichung für jeden Datensatz berechnen kannst, kann es hilfreich sein, die Standardabweichung für normalverteilte Daten zu visualisieren. Die empirische Regel besagt, dass für jeden Datensatz, der sich einer Normalverteilung annähert, etwa 68% der Daten innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Die Standardabweichung ist nicht nur ein weit verbreitetes Maß für die Streuung, sondern bildet auch die Grundlage für andere Instrumente zur Charakterisierung der Streuung, z. B. für die Größen, die mit dem Rechner für relative Standardabweichung 🇺🇸 und dem Rechner für Konfidenzintervalle berechnet werden.

Die mathematische Definition für die Standardabweichung (σ) ist die positive Quadratwurzel der Varianz ($\sigma^2$):

Die Gleichung der Standardabweichung scheint einfach zu sein, aber wie berechnet man die Varianz?

die Varianz ist definiert als die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert für alle Datenpunkte. Sie wird folgendermaßen formuliert:

wobei:

• $\sigma^2$ — die Varianz;
• $\mu$ — der Mittelwert; und
• $x_i$ — Der i^te Datenpunkt von insgesamt $N$ Datenpunkten bezeichnet.

Du kannst die Varianz in drei Schritten berechnen:

1. Finde die Differenz zum Mittelwert für jeden Punkt. Verwende die Formel:
   $x_i - \mu$

2. Quadriere die Differenz zum Mittelwert für jeden Punkt:
   $(x_i - \mu)^2$

3. Finde den Durchschnitt der quadrierten Differenzen zum Mittelwert, die du in Schritt 2 ermittelt hast:
   $\frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$
   Das ist die Varianz für Populationsdaten. Beachte, dass dieser Schritt für Stichprobendaten ein wenig anders aussieht (siehe nächster Abschnitt).

Wir erinnern uns daran, dass die Standardabweichung die (positive) Quadratwurzel der Varianz ist, sodass die vollständige Gleichung der Standardabweichung (für Bevölkerungsdaten) wie folgt lautet

In vielen wissenschaftlichen Experimenten wird aus praktischen Gründen nur eine Stichprobe einer Population gemessen. Diese Stichprobe erlaubt es uns, Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit zu ziehen. Wenn jedoch Stichprobendaten verwendet werden, um die Varianz einer Grundgesamtheit zu schätzen, unterschätzt die Varianzformel $\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$ die Varianz der Grundgesamtheit.

Um zu vermeiden, dass die Varianz einer Grundgesamtheit (und damit auch die Standardabweichung) unterschätzt wird, ersetzen wir in den Formeln für Varianz und Standardabweichung $N$ durch $N - 1$, wenn Stichprobendaten verwendet werden. Diese Anpassung ist als Bessel-Korrektur bekannt.

Die Formel für die Stichprobenvarianz lautet dann:

und die vollständige Formel für die Standardabweichung lautet:

wobei:

• $s^2$ — die Schätzung der Varianz;
• $s$ — die Schätzung der Standardabweichung; und
• $\={x}$ (ausgesprochen als „x-quer“) — der Stichprobenmittelwert ist.

Nehmen wir an, wir haben einen Stichproben-Datensatz mit sieben Zahlen: 2, 4, 5, 6, 6, 9, 10. Wie berechnen wir die Standardabweichung? Befolge diese Schritte:

1. Berechne den Mittelwert

Um den Mittelwert (x̄) zu berechnen, teile die Summe aller Zahlen durch die Anzahl der Datenpunkte:
$\={x} = \frac{2 + 4 + 5 + 6 + 6 + 9 + 10}{7} = 6$.

2. Berechne die quadrierten Differenzen vom Mittelwert

Da wir nun den Mittelwert (x̄ = 6) kennen, berechnen wir die quadratische Differenz zum Mittelwert für jeden Datenpunkt:
$(x_i - \={x})^2$.

Für den ersten Punkt mit einem Wert von 2 würde die Berechnung folgendermaßen lauten:
$(2-6)^2 = (-4)^2 = 16$.

Die berechneten quadratischen Abweichungen vom Mittelwert für alle Datenpunkte sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

3. Berechne die Varianz und Standardabweichung

Da wir mit Stichprobendaten arbeiten, berechnen wir die Varianz mithilfe der Gleichung für die Stichprobenvarianz und den quadrierten Differenzen zum Mittelwert, die wir in Schritt 2 ermittelt haben:

$s^2 = \frac{1}{N-1}\sum (x_i - \={x})^2$,
das ergibt
$s^2 = \frac{16 + 4 + 1 + 0 + 0 + 9 + 16}{7 - 1} = 7,\!6667$.

Die Standardabweichung (s) ist die Quadratwurzel der Varianz, also lautet unser letzter Schritt:

$s = \sqrt{7,\!6667} = 2,\!7689$.

Die Standardabweichung des Stichprobendatensatzes war 2,8. Da du nun weißt, wie man die Standardabweichung findet, versuche sie selbst zu berechnen und überprüfe dann deine Antwort mit unserem Rechner!

Wenn du die Standardabweichung mit einem Taschenrechner berechnest, gibt es eine einfachere Formel, die du für die Berechnung der Varianz verwenden solltest. Diese alternative Formel ist mathematisch gleichwertig, lässt sich aber leichter in einen Taschenrechner eingeben.

Die einfach zu tippende Formel für die Varianz (für Bevölkerungsdaten) lautet:

Die einfach zu verwendende Formel für die Stichprobenvarianz lautet:

Um die Standardabweichung zu ermitteln, musst du zunächst die Varianz mit einer der obigen Formeln berechnen. Dann ist die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz.

Bei einem Stichprobendatensatz von 1, 2, 4, 6 wäre die Berechnung der Stichprobenvarianz zum Beispiel wie folgt:
$\sum(x_i^2) = (1^2 + 2^2 + 4^2 + 6^2) = 57$
$(\sum x_i)^2 = \frac{(1 + 2 + 4 + 6)^2}{4} = \frac{169}{4} = 42,\!25$

das ergibt

$\sigma^2 = \frac{57 - 42.25}{4-1} = 4,\!9167$.

Die Standardabweichung wäre dann die Quadratwurzel aus der Varianz:

$\sqrt{4,\!9167} \approx 2,\!2$

Probiere es selbst aus und überprüfe dann deine Antwort mit unserem Standardabweichungsrechner!

Tabelle 1. Variablen für Bevölkerungsdaten

Tabelle 2. Variablen für Beispieldaten