Wahrscheinlichkeitsrechner für 3 Ereignisse

Wirf einen Würfel, eine Münze, ziehe eine Zufallszahl und benutze diesen Wahrscheinlichkeitsrechner für 3 Ereignisse, um:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von drei Ereignissen eintritt (Vereinigung von drei Ereignissen) zu bestimmen;
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Ereignisse sich schneiden (alle drei eintreten) zu bestimmen;
• Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Ereignis eintritt, zu bestimmen; und
• Die Wahrscheinlichkeit, dass keines der Ereignisse eintritt, zu bestimmen.

Dieser Wahrscheinlichkeitsrechner funktioniert für drei unabhängige Ereignisse. Gib die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis in Prozent ein oder ändere die Einheit in Dezimalzahlen. Sobald du die drei Felder ausgefüllt hast, zeigt dir der Rechner folgendes an:

• Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der drei Ereignisse eintritt:

  P(A ∪ B ∪ C);

• Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Ereignisse eintreten:

  P(A ∩ B ∩ C);

• Wahrscheinlichkeit, dass genau eines der drei Ereignisse eintritt:

  P(A ∩ B' ∩ C') + P(A' ∩ B ∩ C') + P(A' ∩ B' ∩ C);

• Wahrscheinlichkeit, dass keines der Ereignisse eintritt:

  P(∅).

Je nachdem, welche Werte dir vorgegeben werden, kannst du auch zwei Zahlen in den ersten Abschnitt dieses Rechners und eine in den zweiten Abschnitt eingeben.

Denke daran, dass jede Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen 0 und 1 (0% und 100%) sein muss. Du kannst die Einheit von Prozent in eine Dezimalzahl ändern, wenn du möchtest.

Hier sind die Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

• Die Wahrscheinlichkeit nimmt Werte zwischen 0 (keine Chance) und 1 (sicher) an.

• Komplement-Regel (Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt): P(A') = 1 - P(A).

• Additionsregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

• Multiplikationsregel: P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B) für unabhängige Ereignisse.

  p(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B | A) = P(B) ∙ P(A | B) für abhängige Ereignisse, wobei P(B | A) und P(A | B) die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind.

Im Folgenden findest du die Wahrscheinlichkeitsregeln, die in diesem Rechner für die Wahrscheinlichkeit von 3 Ereignissen verwendet werden. Benutze sie, wenn du die Wahrscheinlichkeit von drei unabhängigen Ereignissen schriftlich berechnen möchtet:

• Multiplikationsregel – Um die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge dreier unabhängiger Ereignisse zu berechnen, multipliziere die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse miteinander:

  P(A ∩ B ∩ C) = P(A) ∙ P(B) ∙ P(C)

• Additionsregel – Um die Wahrscheinlichkeit, dass von den drei Ereignissen mindestens eines eintritt zu ermitteln, addiere die Wahrscheinlichkeiten der drei Ereignisse und subtrahiere ihre Schnittmengen:

  P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

  Wenn wir die Multiplikationsregel anwenden, erhalten wir die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von drei Ereignissen nur in Form von P(A), P(B) und P(C):

  P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A) ∙ P(B) - P(A) ∙ P(C) - P(B) ∙ P(C) + P(A) ∙ P(B) ∙ P(C)

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass genau ein Ereignis eintritt:

1. Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten für drei mögliche Szenarien:

   1. A tritt ein, B und C nicht;
   2. B tritt ein, A und C nicht; und
   3. C tritt ein, A und B nicht:

   P(A ∩ B' ∩ C') + P(A' ∩ B ∩ C') + P(A' ∩ B' ∩ C).

2. Nach Anwendung der Multiplikationsregel erhalten wir:

   P(A ∩ B' ∩ C') + P(A' ∩ B ∩ C') + P(A' ∩ B' ∩ C) = P(A) ∙ P(B') * P(C') + P(A') ∙ P(B) ∙ P(C') + P(A') ∙ P(B') ∙ P(C').

3. Jetzt verwenden wir die Komplementärregel und erhalten eine Formel, für die wir nur P(A), P(B) und P(C) brauchen:

   P(A) ∙ P(B') ∙ P(C') + P(A') ∙ P(B) ∙ P(C') + P(A') ∙ P(B') ∙ P(C) = P(A) ∙ (1 - P(B)) ∙ (1 - P(C)) + (1 - P(A)) ∙ P(B) ∙ (1 - P(C)) + (1 - P(A)) ∙ (1 - P(B)) ∙ P(C).

Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass keines der drei Ereignisse eintritt, verwenden wir die Komplementärregel für das entgegengesetzte Ereignis, bei dem mindestens ein Ereignis eintritt (die Formel dafür haben wir bereits abgeleitet):

P(∅) = 1 - (P(A) + P(B) + P(C) - P(A) ∙ P(B) - P(A) ∙ P(C) - P(B) ∙ P(C) + P(A) ∙ P(B) ∙ P(C))

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