Kalkulator sumy ciągu

Korzystając z kalkulatora sumy ciągu, możesz obliczyć sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, a także częściową sumę ciągu arytmetycznego lub geometrycznego. Ten kalkulator może również pomóc ci obliczyć zbieżność lub rozbieżność ciągu.

Chcielibyśmy obliczyć sumę 🇺🇸 ciągu, ale żeby to zrobić, warto najpierw dowiedzieć się, czy ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny. W ciągu arytmetycznym różnica między każdą parą kolejnych wyrazów jest stała, podczas gdy w ciągu geometrycznym, stosunek między każdą parą kolejnych wyrazów jest stały.

Rozważmy na przykład następujący ciąg 10 liczb pierwszych nieparzystych:
$\footnotesize 1\! +\! 3\! +\! 5\! +\! 7\! +\! 9\! +\! 11\! +\! 13\! +\! 15\! +\! 17\! +\! 19$

Jest to ciąg arytmetyczny, ponieważ różnica między dowolnymi dwiema kolejnymi parami liczb wynosi 2. Możemy znaleźć sumę, korzystając z następującego wzoru:

$S_n = \frac{n}{2}\ [2a + (n - 1) d]$,

gdzie:

• $n$ — Liczba wyrazów;
• $a$ — Pierwszy wyraz; oraz
• $d$ — Wspólna różnica.

Możemy użyć powyższego wzoru również do obliczenia sumy częściowej nieskończonego ciągu arytmetycznego. Tak więc w powyższym przykładzie suma do 10 wyrazów będzie wynosić:

$S_{10} = \frac{10}{2}\ [2\cdot1 + (10 - 1)\cdot2]$

$S_{10} = 100$

Jeśli mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym, użyjemy innego wzoru do znalezienia sumy, któremu przyjrzymy się poniżej.

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć sumę ciągu w postępie geometrycznym, możemy użyć wzoru na sumę skończoną lub obliczenia sumy nieskończonej. Ciąg geometryczny może być zbieżny lub rozbieżny w zależności od wartości wspólnego ilorazu $r$.

Aby zdecydować o zbieżności lub rozbieżności ciągu geometrycznego, postępuj zgodnie z następującymi wskazówkami opartymi na wspólnym ilorazie $r$:

• Jeśli $|r| > 1$, to ciąg geometryczny rozbiega się i nie można wyznaczyć jego sumy do nieskończoności;
• Jeśli $|r| < 1$, to ciąg geometryczny zbiega się do sumy nieskończonej i możemy obliczyć sumę ciągu geometrycznego; oraz
• Jeśli $|r| = 1$, to ciąg geometryczny jest okresowy i jego suma do nieskończonych wyrazów nie może być wyznaczona.

Z drugiej strony, aby obliczyć sumę częściową ciągu geometrycznego do określonej liczby wyrazów, użyjemy wzoru:

$S_n = \frac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$,

gdzie

• $a_1$ — Pierwszy wyraz;
• $r$ — Wspólny iloraz; oraz
• $n$ — Liczba wyrazów.

Aby obliczyć sumę nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego, użyjemy wzoru:

$S = \frac{a}{1 - r}$,

gdzie:

• $a$ — Pierwszy wyraz; oraz
• $r$ — Wspólny iloraz.

Na przykład rozważ następujący ciąg geometryczny:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$

Tutaj, $a = 1$ i $r = \frac{1}{2}$.

Tak więc suma do nieskończonej liczby wyrazów to:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$,

co daje nam

$S = 2$.

W ten sposób możemy obliczyć sumęciągu geometrycznego o nieskończonej liczbie wyrazów jeśli wspólny iloraz $r$ jest pomiędzy $-1$ i $1$.