Kalkulator pola powierzchni prostopadłościanu

Witamy w kalkulatorze pola powierzchni prostopadłościanu, gdzie będziesz mieć okazję szybko i łatwo dowiedzieć się wszystkiego o swoim prostopadłościanie. W szczególności wyjaśnimy, jak znaleźć pole powierzchni dowolnego prostopadłościanu.

Chcesz pomalować stodołę i zastanawiasz się, ile farby potrzebujesz 🇺🇸? A może budujesz za domem basen i chcesz wiedzieć, ile płytek potrzeba? Bez względu na to, jaki jest problem, jeśli tylko sprowadza się on do pytania „jakie jest pole powierzchni pewnego prostopadłościanu”, to jesteś we właściwym miejscu!

Zanim dowiemy się, jak wyliczać pole powierzchni prostopadłościanu, powinniśmy zapoznać się z samym pojęciem prostopadłościanu.

Wyobraź sobie pudełko. Zwykłe, prostokątne pudełko, takie jak te, które widzisz w supermarkecie, pełne różnych produktów. To są właśnie prostopadłościany! A może pamiętasz te rysunki domków, które robiliśmy w przedszkolu? Usuń kanciasty dach, a otrzymasz kolejny przykład prostopadłościanu.

Formalnie (matematycznie), prostopadłościan to bryła, w której wszystkie sześć boków to prostokąty, które są do siebie prostopadłe. Zauważ, że w szczególności oznacza to, że występują w nim trzy pary identycznych ścian umieszczonych po przeciwnych stronach bryły.

Ponadto, podobnie jak w przypadku każdej innej definicji naukowej, istnieje kilka fantazyjnych nazw związanych z prostopadłościanem. Dolna i górna ściana pudełka nazywane są podstawami, a każda z pozostałych czterech nazywana jest ścianą boczną. Wreszcie, boki każdego prostokąta nazywane są krawędziami (ponownie podzielonymi na krawędzie podstawy i krawędzie boczne).

Pora odłożyć na bok górnolotne słowa i skupić się na tym, jak znaleźć pole powierzchni prostopadłościanu.

Aby sprawdzić, jakie jest pole powierzchni prostopadłościanu, musimy znać wszystkie trzy jego boki. Zacznijmy od zapisu, którego używamy w Omni kalkulatorze pola powierzchni prostopadłościanu:

• l — długość pierwszej krawędzi podstawy;
• w — długość drugiej krawędzi podstawy;
• h — długość krawędzi bocznej (zwana również wysokością prostopadłościanu);
• A_b — pole podstawy prostopadłościanu;
• A_l — pole powierzchni bocznej prostopadłościanu;
• A — pole powierzchni prostopadłościanu; oraz
• V — objętość prostopadłościanu.

Zauważ, że A_b oznacza pole powierzchni pojedynczej podstawy naszego prostopadłościanu. Z drugiej strony, A_l oznacza powierzchnię boczną, czyli łączną powierzchnię czterech ścian bocznych. Dlatego, ponieważ bryła ma dwie podstawy (dolną i górną), wzór na pole powierzchni prostopadłościanu jest następujący:

pole = 2 × pole_podstawy + pole_powierzchni_bocznej,

co w naszej notacji przekłada się na wzór

A = 2 · A_b + A_l.

Przypomnijmy, że wszystkie ściany w kalkulatorze są prostokątami i, jak wspomniano w kalkulatorze pola prostokąta, są one obliczane przez wymnożenie długości boków. Wykorzystajmy te informacje do zbadania podstawy naszego prostopadłościanu. W naszym zapisie jest to prostokąt o bokach l i w, więc jego pole wynosi l · w. Jest to wzór na pole podstawy:

A_b = l · w.

Bułka z masłem, prawda? Cóż, spróbujmy teraz zrobić coś nieco bardziej skomplikowanego i przejdźmy do pola powierzchni bocznej. Składają się na nią cztery ściany i wszystkie one są prostokątami. Co więcej, wśród tych czterech ścian są dwie pary identycznych (przednia i tylna oraz lewa i prawa). Każda z nich ma jeden bok równy h, bocznej krawędzi (lub wysokości) prostopadłościanu. Drugi bok jest w jednej z par równy krawędzi podstawy l, a w drugiej parze krawędzi podstawy w. Podsumowując, powierzchnia boczna, lub A_l, jak ją nazwaliśmy, ma pole

A_l = l · h + l · h + w · h + w · h,

lub po prostu

A_l = 2 · l · h + 2 · w · h.

Zauważ, że wraz ze wzorem na pole podstawy, pozwala nam to przepisać wzór na pole powierzchni prostopadłościanu jako

A = 2 · A_b + A_l = 2 · l · w + 2 · l · h + 2 · w · h.

Załóżmy, że próbujesz wypłytkować basen i chcesz poznać obszar, który musisz wyłożyć płytkami. Jeśli basen jest prostokątny z płaskim dnem, to mamy do czynienia właśnie z prostopadłościanem! Spójrzmy na obrazek, aby zobaczyć to wyraźnie.

Dobra, wiemy, że trudno oderwać wzrok od unoszącego się na powierzchni jednorożca, ale wróćmy do sedna!

Załóżmy, że basen ma długość 8 m, szerokość 4 m głębokość 2 m. Teraz, gdy mamy już liczby, spróbujmy przedstawić je w notacji, której użyliśmy powyżej.

Po pierwsze, boki podstawy naszego basenu to jego długość i szerokość, które w naszym przypadku wynoszą odpowiednio 8 m i 4 m. Ponieważ używamy l i w jako krawędzi podstawy, możemy użyć tych liczb w powyższym kalkulatorze i ustawić l = 8 m i w = 4 m. Zauważ, że nie ma znaczenia, w jakiej kolejności je umieścimy; przekłada się to tylko na spojrzenie na basen pod innym kątem i nie zmienia jego powierzchni.

Pozostaje nam głębokość naszego basenu i liczba h w kalkulatorze. I to jest dokładnie to, co powinniśmy teraz zrobić: ustaw h = 2 m, czyli głębokość basenu (lub wysokość prostopadłościanu).

To wszystko? Cóż, nie do końca. Kalkulator pola powierzchni prostopadłościanu daje nam odpowiedź:

A = 2 · l · w + 2 · l · h + 2 · w · h = 2 · 8 m · 4 m + 2 · 8 m · 2 m + 2 · 4 m · 2 m = 112 m².

Jest to jednak pole powierzchni całego prostopadłościanu, a my nie chcemy kafelkować 🇺🇸 go wszędzie. W końcu, gdybyśmy wyłożyli płytkami górę, byłoby dość trudno wejść (lub wyjść), prawda? To byłaby złośliwość na najwyższym poziomie, gorsza nawet niż usunięcie Simom drabiny.

Aby znaleźć prawidłową odpowiedź, przejdźmy do trybu zaawansowanego (Advanced mode). Pozwala on nam zobaczyć pole podstawy i powierzchnię boczną bryły. Ponieważ wiemy, jak znaleźć pole powierzchni prostopadłościanu, tzn. wiemy, że

A = 2 · A_b + A_l,

musimy tylko odjąć od wyniku ten obszar, którego nie kafelkujemy. Czyli górną podstawę. Ale górna podstawa jest taka sama jak dolna, więc obszar, który musimy pokryć płytkami, to w rzeczywistości:

obszar_kafelkowania = A - A_b,

co w naszym przypadku wynosi:

obszar_kafelkowania = 112 m² - 32 m² = 80 m².

Teraz jesteśmy o jeden krok bliżej do ukończenia basenu i możemy podziwiać swoją pracę, popijając zimnego drinka. Zauważmy jeszcze, że prostopadłościan nie jest jedyną bryłą o prostokątnej podstawie; dowiedz się więcej w kalkulatorze pola ostrosłupa prostokątnego 🇺🇸.