Modulo Rechner

Dieser Modulo-Rechner kann dir helfen, das Ergebnis von Modulo-Operationen zu ermitteln. Gib einfach eine Ausgangszahl x als Dividend und eine ganze Zahl y als Divisor in den Rechner, um den Modulo (Rest) r zu ermitteln. Die Berechnung erfolgt gemäß der Formel x mod y = r. Lies weiter, um zu erfahren, was Modulo-Operationen und Modulo-Kongruenz sind, wie Modulo berechnet wird und wie du diesen Rechner richtig verwendest.

Stell dir eine Uhr vor, die 11 Uhr nachts anzeigt🕚. Du fragst dich, wie spät es sein wird, wenn du nach 8 Stunden Schlaf aufwachst. Du kannst nicht einfach 8 und 11 zusammenzählen, denn es gibt die Uhrzeit 19 Uhr morgens nicht. Um die richtige Antwort zu finden, musst du eine Modulo-Operation (mod 12) durchführen – du addierst diese beiden Zahlen und ziehst so oft 12 ab, bis du eine Zahl kleiner als 12 erhältst. In diesem Fall ist das 7. Du hast gerade berechnet, dass du um 7 Uhr morgens aufwachen wirst 🕖.

Modulo-Operationen sind im Fall der Uhr so intuitiv, dass wir sie gar nicht bemerken. In der Mathematik gibt es viele Arten von komplizierteren Modulo-Operationen, die weniger intuitiv sind. Wir können sagen, dass:

x mod y = r

zutrifft, wenn eine ganze Zahl q (der Ganzzahlquotient) existiert, für die gilt:

y ∙ q + r = x

Die Zahl r ist der Rest der Division, wobei x der Dividend und y der Divisor ist (unser Nachkommastellen Rechner erklärt, wie man die Werte der Nachkommastellen einer Division erhält).

Wenn dir die Modulo-Definition noch nicht ganz verständlich war, dann lies dir den nächsten Absatz durch.

Zwei Zahlen, a und b, sind kongruent modulo n, wenn ihre Differenz a - b ganzzahlig durch n teilbar ist (also (a - b) ein Vielfaches von n ist).

Man kennzeichnet die Modulo-Kongruenz zweier Zahlen folgendermaßen:

a ≡ b (mod n),

wobei n der Wert ist, bezüglich welches beide Zahlen modulo kongruent sind.

Alternativ können wir sagen, dass a und b kongruent modulo n sind, wenn sie beide den gleichen Rest haben, wenn sie durch n geteilt werden:

a mod n = r
b mod n = r,

wobei r der gemeinsame Rest ist.

Einfach ausgedrückt: Modulo-Kongruenz liegt vor, wenn zwei Zahlen den gleichen Rest nach der Division mit dem gleichen Divisor haben. So ergeben zum Beispiel 24 modulo 10 und 34 modulo 10 das gleiche Ergebnis: 4. Daher sind 24 und 34 Modulo 10 kongruent.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an:

9 ≡ 21 (mod 6),

denn 21 - 9 = 12 ist ein Vielfaches von 6. Es kann auch kurz als 6 | (21 - 9) geschrieben werden. Äquivalent dazu haben 21 und 9 den gleichen Rest, wenn wir sie durch 6 dividieren:

9 mod 6 = 3
21 mod 6 = 3

Es ist nicht schwer, Modulo handschriftlich zu berechnen. Befolgen einfach die folgenden Schritte!

1. Bestimme zunächst die Ausgangszahl (bevor du die Modulo-Operation durchführst). Sagen wir, es ist 250. Dies ist unser Dividend.
2. Wähle den Divisor. Nehmen wir 24. Die Operation, die wir berechnen, ist dann 250 mod 24 (250 % 24, mit % als Modulo-Operator).
3. Teile Dividend durch Divisor und runde dabei ab: 250 / 24 = 10,42 = 10. Das ist der Quotient. Man kann sich diese Operation auch als ganzzahlige Division vorstellen – wir beachten den Bruchteil des Ergebnisses nicht.
4. Multipliziere den Divisor mit dem Quotienten. In unserem Beispiel ist das 10 ∙ 24 = 240.
5. Subtrahiere diese Zahl von deinem Dividend. Hier: 250 - 240 = 10.
6. Die Zahl, die du erhältst, ist das Ergebnis der Modulo-Operation. Wir können sie aufschreiben als 250 mod 24 = 10.

Modulo zu berechnen ist mit unserem Rechner ganz einfach. Um das Ergebnis von Modulo-Operationen zwischen ganzen Zahlen zu finden:

1. Gib die Ausgangszahl – den Dividenden – in das erste Feld des Rechners ein. Nehmen wir das Beispiel aus den vorangegangenen Abschnitten und geben 250 ein.
2. Gib den Divisor ein. In unserem Fall ist es 24.
3. Tadaaa! Unser Modulo-Rechner liefert dir das Ergebnis – den Rest!

In unserem Fall 10 – die gleiche Zahl, die wir weiter oben berechnet hatten.

Im Folgenden findest du einige typische Modulo-Berechnungen:

• 1 mod 1 = 0 (da mod 1 immer 0 ist)
• 1 mod 2 = 1
• 1 mod 3 = 1
• 5 mod 2 = 1
• 5 mod 3 = 2
• 6 mod 3 = 0
• 7 Mod 3 = 1
• 10 mod 3 = 1
• 18 mod 3 = 0
• 100 mod 3 = 1
• 100 mod 7 = 2

Wenn der von dir gesuchte Wert nicht in dieser Liste enthalten ist, zögere nicht, unseren Modulo-Rechner zu benutzen!

Die modulare Arithmetik ist, allgemein gesprochen, ein arithmetisches System für ganze Zahlen, bei dem die Zahlen, wenn sie einen bestimmten Wert erreichen, „umwickelt” werden. Fassen wir zusammen, was wir über die verschiedenen Darstellungen von Modulo-Operationen gelernt haben – alle folgenden Aussagen sind äquivalent:

• A ≡ B (mod C)
• A mod C = B mod C
• C | (A - B)
• A = B + K ∙ C, wobei K eine ganze Zahl ist.

Wir können auch Berechnungen mit Modulo-Operationen durchführen.

1. Modulare Addition und Subtraktion

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C

(A - B) mod C = (A mod C - B mod C) mod C

Der Modulo der Summe zweier Zahlen ist also gleich der Summe des Modulo dieser Zahlen, die einzeln berechnet werden und aus diesem Ergebnis der Modulo berechent wird. In einem ersten Schritt wird der Quotient entfernt, dann wird die Modulo-Operation erneut durchgeführt. Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

• A = 11, B = 7, C = 4

  (11 + 7) mod 4 = (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4

  linker Teil der Gleichung: (11 + 7) mod 4 = 18 mod 4 = 2

  rechter Teil der Gleichung: (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4 = (3 + 3) mod 4 = 6 mod 4 = 2

Analog dazu verläuft auch die Subtraktion mit Modulo.

2. Modulare Multiplikation

(A ∙ B) mod C = (A mod C ∙ B mod C) mod C

Eine solche Gleichung kann nützlich sein, wenn wir mit großen Zahlen zu tun haben und den Modulo-Wert dieser großen Zahl nicht sofort erkennen. Schauen wir uns das gleiche Beispiel an (A = 11, B = 7, C = 4) – kannst du das Ergebnis von 77 mod 4 auf Anhieb sehen? 11 mod 4 und 7 mod 4 sind einfacher zu berechnen:

• (11 ∙ 7) mod 4 = (11 mod 4 ∙ 7 mod 4) mod 4

  Linker Teil der Gleichung: (11 ∙ 7) mod 4 = 77 mod 4 = 1

  Rechter Teil der Gleichung: (11 mod 4 ∙ 7 mod 4) mod 4 = (3 ∙ 3) mod 4 = 9 mod 4 = 1

3. Modulare Potenzierung

A^B mod C = ((A mod C)^B) mod C

Diese Formel ist sogar noch nützlicher, wenn es um große Zahlen geht. Betrachten wir das gleiche Beispiel:

• (11^7) mod 4 = ((11 mod 4)^7) mod 4

  Linker Teil der Gleichung: (11^7) mod 4 = 19487171 mod 4 = 3

  Rechter Teil der Gleichung: ((11 mod 4)^7) mod 4 = (3^7) mod 4 = 2187 mod 4 = 3

Die Nützlichkeit des Modulo ist in diesem Beispiel vielleicht nicht so offensichtlich, da wir immer noch den Taschenrechner benutzen müssen, um das Ergebnis der Potenzierung zu finden (vorausgesetzt, du erkennst das Ergebnis von 3⁷ nicht sofort). Schauen wir uns also ein anderes Problem an: Wir wollen A^B mod C für große Werte von B berechnen – wie z. B. 100. Leider kann unser Rechner aufgrund des Zahlenüberlaufes nur Zahlen bis 2^60 berechnen. Du kannst jedoch die Multiplikationseigenschaften verwenden, um dieses Problem zu umgehen:

2^100 = 2^50 ∙ 2^50

2^100 mod 3 = (2^50 mod 3 ∙ 2^50 mod 3) mod 3

2^100 mod 3 = (1 ∙ 1) mod 3 = 1

Für einige Ausnahmefälle (wenn B eine Potenz von 2 ist) gibt es sogar noch schnellere Methoden der modularen Potenzierung. Wenn du mehr darüber erfahren und die modulare Arithmetik üben möchtest, schau dir unseren Potenz Modulo Rechner an.

Das Wort Modulo kommt von dem lateinischen Wort modus, was ein Maß bedeutet. Normalerweise meinen wir, wenn wir das Wort Modulo verwenden, die Modulo-Operation, wie z. B. 11 mod 3 gleich 2 - es geht also darum, den Rest zu finden. Enger definiert bedeutet Modulo:

In Bezug auf einen bestimmten Modulo

oder

A ist dasselbe wie B Modulo C, mit Ausnahme der Unterschiede, die durch C berücksichtigt oder erklärt werden

Das ist die Definition, über die wir im Abschnitt Kongruenz Modulo geschrieben haben.

Die Modulo-Operation wird häufig in Programmiersprachen verwendet. In diesem Zusammenhang wird das Symbol % – Prozent – verwendet, um die Operation zu kennzeichnen (oder manchmal auch für die Restwertoperation für negative Zahlen). Wenn du dich für die Ursprünge des %-Zeichens interessieren, empfehlen wir dir, den kurzen Abschnitt über die Geschichte des Prozentzeichens zu lesen, den wir vorbereitet haben.

Sei vorsichtig, wenn es um negative Werte für Modulo-Operationen geht. Es gibt in diesem Fall einige Unklarheiten. Es gibt zwei Möglichkeiten den Rest zu bestimmen – eine negative und eine positive – und das Ergebnis hängt von der Implementierung in der gewählten Programmiersprache ab.

Sie sind vielleicht nicht auf den ersten Blick ersichtlich, aber es gibt viele Anwendungen von Modulo – vom täglichen Leben bis hin zu mathematischen und wissenschaftlichen Problemen!

1. Das offensichtlichste und bekannteste Beispiel ist die sogenannte Uhrenarithmetik 🕞. Es kann sich dabei um die Addition von Stunden handeln, wie in der obigen Erklärung von Modulo, aber auch um Minuten oder Sekunden!

   Niemand wird sagen: „Du hast noch 40 Minuten und 90 Sekunden”, richtig? Die einzige Möglichkeit ist, eine Modulo-Operation durchzuführen und den Quotienten und den Rest zu ermitteln – „60 ∙ 1 + 30 = 90”. 41 Minuten und 30 Sekunden klingt viel natürlicher.

2. Modulo-Operationen werden verwendet, um die Prüfsummen von Seriennummern zu berechnen. Prüfziffern werden meist bei langen Zahlenreihen verwendet. Sie werden von Algorithmen berechnet und dienen dazu, dich über Fehler, die z. B. durch Tippfehler entstehen, zu informieren. Die Anwendung von Modulo findest du:

   • In unserem Prüfziffern Rechner 🇺🇸:
     • GTIN-, UPC- und EAN-Codes werden verwendet, um die Integrität eines Strichcodes zu überprüfen. Die Formel für die Prüfziffern verwendet modulo 10.
     • ISBN- und ISSN-Nummern, die eindeutige Kennzeichnungen für Zeitschriften und Bücher sind, verwenden Modulo 11 oder Modulo 10.
   • IBAN — internationale Bankkontonummern — verwenden Modulo 97, um zu prüfen, ob ein Kunde die richtige Kontonummer eingegeben hat.
   • Identcode der Deutschen Post verwendet die Modulo-11-Operation zur Berechnung der Prüfziffer für die eindeutige, individuelle Kennzeichnung von Postpaketen.

   Da die Prüfziffern dazu dienen, menschliche Transkriptionsfehler abzufangen, werden sie häufig für lange Seriennummern verwendet. Weitere Beispiele für Prüfzifferalgorithmen mit Modulo-Operationen sind:

   • nationale Identifikationsnummer (z. B. in Island, der Türkei und Polen),
   • Steueridentifikationsnummer (Spanien),
   • Fahrzeugidentifikationsnummer (USA),
   • ...und viele, viele mehr.

3. Modulo wird in vielen wissenschaftlichen Bereichen angewandt, z. B. in der Computeralgebra, der Kryptografie, der Informatik oder in der einfachen Schulmathematik — z. B. in dem euklidischen Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Nenners.

4. Modulo ist immer dann nützlich, wenn man etwas aufteilen muss. Ein Beispiel aus dem echten Leben ist das Teilen einer Pizza mit Freunden oder der Familie.

5. Es gibt sogar Anwendungen für Modulo in Minecraft. mod 64 sagt dir, wie viele volle Stapel Pflastersteine du brauchst, um die Creeper-Statue zu bauen.

Angenommen, eine große Party-Pizza hat 10 Scheiben, und ihr seid eine Gruppe von drei Personen. Wie viele Scheiben bleiben übrig, wenn ihr die Pizza gleichmäßig aufteilt?

Das ist genau der Fall, indem Modulo verwendet werden kann! 10 mod 3 = 1. Mit anderen Worten: 10 geteilt durch 3 ist gleich 3, aber es bleibt 1 Stück übrig 🍕. Das war nicht das schwierigste Beispiel, aber wir hoffen, du kannst die Nützlichkeit dieser Operation so besser verstehst.

Oh, nein! Da kann man hungrig werden. Vergessen wir diese leckere Ablenkung und kehren wieder auf die Erde zurück. Wenn du an weiteren lustigen Anwendungen der modularen Arithmetik interessiert bist, schau dir diesen englischen Blog Post von betterexplained.com an.