Gleichverteilung Rechner

Willkommen bei Omni's Gleichverteilung-Rechner! Hier kannst du schnell und einfach Wahrscheinlichkeiten berechnen, Stichproben erstellen und verschiedene Maße im Zusammenhang mit der Gleichverteilung bestimmen. Insbesondere kannst du damit den Mittelwert der Gleichverteilung berechnen. Wenn du zudem lernen möchtest, wie du die Wahrscheinlichkeit einer Gleichverteilung von schriftlich berechnen kannst oder wie verschiedene Formeln (z. B. die WDF und Verteilungsfunktion der Gleichverteilung) aussehen, bist du hier genau richtig!

Zunächst werden wir die Definition der Gleichverteilung besprechen. Beachte, dass sich dieser Artikel hauptsächlich mit der stetigen Gleichverteilung beschäftigt. Gehe direkt zum letzten Abschnitt, um etwas über die diskrete Gleichverteilung zu erfahren.

Die stetige Gleichverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der die möglichen Ergebnisse ein Intervall bilden und alle in diesem Intervall enthaltenen Unterintervalle, die die gleiche Länge haben, gleich wahrscheinlich sind. Wenn die minimal und maximal möglichen Ergebnisse a bzw. b sind, haben wir die Gleichverteilung [a,b]. Wir bezeichnen diese Verteilung als U(a, b).

Wir können eine stetige Gleichverteilung auf jedem beliebigen Intervall definieren. Wenn wir das Intervall [0,1] verwenden, erhalten wir die Standardgleichverteilung, U(0,1). Interessanterweise ist die Standardgleichverteilung ein Spezialfall der Betaverteilung 🇺🇸 mit den Parametern (1,1):

U(0,1) = B(1,1).

*Intuitiv können wir sagen, dass die Gleichverteilung die Situation modelliert, in der alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, obwohl wir uns daran erinnern müssen, dass im Fall von stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses x formal immer gleich null ist: P(X = x) = 0.

Die Gleichverteilung taucht in der Statistik immer wieder auf. Sie ist besonders nützlich, wenn wir Zufallszahlen generieren müssen. Praktisch jeder Zufallszahlengenerator (auch der Zufallszahlengenerator von Omni) erzeugt Zahlen, die der Standardgleichverteilung folgen. Wenn wir dann eine andere Verteilung verlangen, werden diese Zahlen umgewandelt, um sicherzustellen, dass sie der gewünschten Verteilung folgen.

Wir verstehen jetzt intuitiv, was es mit der Gleichverteilung auf sich hat, aber um sie vollständig zu verstehen, müssen wir uns einige Diagramme und Formeln ansehen. Lass uns daher nun zur mathematischen Definition der Gleichverteilung übergehen.

Die WDF der Gleichverteilung

Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Gleichverteilung U(a,b) lautet wie folgt:

f(x) = 1 / (b - a) für a ≤ x ≤ b.

Für die Standardgleichverteilung haben wir eine noch einfachere Formel:

f(x) = 1 für 0 ≤ x ≤ 1.

Außerhalb des Intervalls [a,b] ist der Wert von f natürlich Null.

Der Graph dieser Dichtefunktion ist eine gerade horizontale Linie. Sie hat für jedes mögliche Ergebnis die gleiche Höhe 1 / (b - a), d. h. gleich dem Kehrwert der Länge des Intervalls [a,b], über das die Verteilung definiert ist. Deshalb sieht der Graph der Gleichverteilung wie ein Rechteck aus. Es ist daher nicht verwunderlich, dass wir die Gleichverteilung manchmal auch als Rechteckverteilung bezeichnen.

Die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung

Die Formel für die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung U(a,b) lautet:

F(x) = (x - a) / (b - a) für a ≤ x ≤ b.

Für die Standardgleichverteilung hat sie eine besonders einfache Form:

F(x) = x für 0 ≤ x ≤ 1.

Außerhalb des Intervalls [a,b] sind die Werte F(x) = 0 für x ≤ a und F(x) = 1 für b ≥ x.

Die Quantilsfunktion der Gleichverteilung

Erinnere dich daran, dass die Quantilsfunktion der Kehrwert der Verteilungsfunktion ist. Für die Gleichverteilung können wir sie ganz einfach berechnen, indem wir die folgende Formel aufstellen:

Q(p) = (b - a) ∙ p + a.

Wie du oben gesehen hast, ist die Gleichverteilung gar kein kompliziertes Konzept, aber es gibt ein paar Formeln, die du dir merken musst, um Berechnungen durchzuführen. Zum Glück kennt unser Gleichverteilung-Rechner sie alle sehr gut und kann dir die harte Arbeit abnehmen! Um den Rechner effizient zu nutzen, befolge diese Schritte:

1. Wähle den Modus des Rechners, d. h. sage dem Rechner, was genau du berechnen möchtest. Die verfügbaren Optionen sind:
   • Wahrscheinlichkeitsrechner;
   • Stichprobengenerator;
   • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF);
   • Verteilungsfunktion;
   • Quantilsfunktion; oder
   • Allgemeine Maße (Mittelwert, Median, Varianz, Standardabweichung, Schiefe).
2. Wenn du den Modus Wahrscheinlichkeitsrechner gewählt hast, wähle den Wahrscheinlichkeitstyp.
3. Gib die Parameter a und b der Gleichverteilung ein, die der Rechner berücksichtigen soll.
4. Im Falle von Wahrscheinlichkeit, Verteilungsfunktion, WDF und Quantil gibst du das Argument ein.
5. Im Falle des Stichprobengenerators gibst du den Stichprobenumfang ein.
6. Die Ausgabe des Gleichverteilung-Rechners hängt vom Modus ab. Es kann sogar ein Diagramm erscheinen!

Bei der Gleichverteilung U(a,b) ist die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall [c,d] (wir nehmen an, dass es vollständig im Intervall [a,b] enthalten ist) proportional zur Länge dieses Intervalls. Das heißt, die Gleichverteilungsformel lautet:

P(c ≤ x ≤ d) = (d - c) / (b - a).

Alternativ können wir P(c ≤ x ≤ d) als die Fläche über [c,d] berechnen, die unter die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gleichverteilung U(a,b) passt. Die fragliche Form ist ein Rechteck, also ist seine Fläche Höhe mal Breite.

• Die Höhe des Rechtecks ist der Dichtefunktion-Wert, also 1 / (b - a).
• Die Breite des Rechtecks ist die Länge von [c,d], also d - c.

Daraus folgt:

P(c ≤ x ≤ d) = (d - c) ∙ 1 / (b - a),

wir erhalten also die gleiche Formel wie zuvor.

Wir hoffen, dass du nie in die Situation gelangst, in welcher es dir nicht möglich ist, den Rechner für die Gleichverteilung von Omni zu benutzen. Aber nur für alle Fälle, widmen wir diesen Abschnitt den Formeln für die gängigen Maße der Gleichverteilung, damit du sie im Notfall schnell von Hand berechnen kannst.

1. Der Mittelwert der Gleichverteilung U(a,b):

   μ = (a + b) / 2

2. Die Varianz der Gleichverteilung U(a,b):

   σ² = (b - a)² / 12

   Wie du weißt, ist die Standardabweichung einfach die Quadratwurzel aus der Varianz, also kannst du das eine leicht in das andere umwandeln.

3. Die Schiefe der Gleichverteilung U(a,b) ist gleich null, weil diese Verteilung symmetrisch ist!

Wenn es endlich viele Ergebnisse gibt und jedes von ihnen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit hat, dann handelt es sich um die diskrete Gleichverteilung. Formal lautet die Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis x zu erhalten:

P(x) = 1 / n,

wobei n die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist.

Hier sind einige Beispiele:

• Der Wurf einer (fairen) Münze hat zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis ist 1/2 (oder 50%).
• Beim Ziehen einer bestimmten Farbe aus einem Kartenspiel gibt es vier mögliche Ergebnisse: ♣ ♦ ♥ ♠. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis ist 1/4 (oder 25%).
• Der Wurf eines (fairen) Würfels 🎲 kann folgende Ergebnisse bringen: ⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄ oder ⚅. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis ist 1/6 (oder 16,67%).

Der Erwartungswert der Gleichverteilung U(a,b) ist gleich dem Mittelwert und wird durch die folgende Formel angegeben:

μ = (a + b) / 2.

Beachte, dass dies genau der Mittelpunkt des Intervalls [a,b] ist.

Der Median und der Mittelwert der Gleichverteilung sind gleich, da diese Verteilung symmetrisch ist. Daher verwenden wir die folgende Formel:

Median = (a + b) / 2.

Um die Standardabweichung der Gleichverteilung U(a,b) zu erhalten, musst du die Quadratwurzel aus ihrer Varianz ziehen. Die Formel für die Standardabweichung lautet also:

σ = (b - a) / √12.

Nein, das sind unterschiedliche Verteilungen! Bei der Normalverteilung sind die Ergebnisse, die näher am Durchschnitt liegen, wahrscheinlicher als die, die weiter vom Durchschnitt entfernt sind. Ihr Diagramm hat die Form einer Glocke. Bei der Gleichverteilung sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Das Diagramm der Gleichverteilung ist ein Rechteck.

Ja, die Gleichverteilung wird manchmal auch als Rechteckverteilung bezeichnet. Das liegt daran, dass der Graph der Gleichverteilung U(a,b) (genauer gesagt, ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) ein Rechteck ist, das über das Intervall a,b gezogen wird und dessen Fläche 1 ist. Daher ist die Höhe dieses Rechtecks 1 / (b - a).