Varianz Rechner

Der Varianzrechner ist ein großartiges Lernwerkzeug, mit dem du lernst, wie du die Varianz eines Datensatzes berechnen kannst. Der Rechner funktioniert sowohl für Populations- als auch für Stichprobendatensätze.

Lies weiter, um folgendes über die Varianz zu lernen:

• Die Definition von Varianz in der Statistik;
• Die Formel zur Berechnung der Varianz;
• Beispiele für Varianzberechnungen; und
• Eine schnelle Methode, um die Varianz manuell zu berechnen.

die Varianz ist ein Maß für die Variabilität der Werte in einem Datensatz.

Eine hohe Varianz zeigt an, dass ein Datensatz stärker verteilt ist.

Eine niedrige Varianz zeigt an, dass die Daten enger um den Mittelwert herum gruppiert sind oder weniger gestreut sind.

Das Erlernen der Varianzberechnung ist ein wichtiger Schritt bei der Berechnung der Standardabweichung. Diese beiden Maße sind die Grundlage für die Berechnung der relativen Standardabweichung und der Konfidenzintervalle.

Bist du dir bei den beiden letzten Begriffen nicht sicher? Entdecke sie, indem du unsere speziellen Tools besuchst: den Rechner für die relative Standardabweichung 🇺🇸 und den Konfidenzintervall Rechner!

die Varianz (bezeichnet als σ²) ist definiert als die durchschnittliche quadratische Differenz vom Mittelwert für alle Datenpunkte. Wir schreiben sie als:

$\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

wobei,

• σ² die Varianz ist;
• μ der Mittelwert ist; und
• xᵢ den i. Datenpunkt von N Gesamtdatenpunkten darstellt.

Du kannst die Varianz in drei Schritten berechnen:

1. Finde die Differenz zum Mittelwert für jeden Punkt. Verwende die Formel: $x_i - \mu$

2. Quadriere die Differenz zum Mittelwert für jeden Punkt: $(x_i - \mu)^2$

3. Finde den Durchschnitt der quadrierten Differenzen vom Mittelwert, den du in Schritt 2 ermittelt hast: $\frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

   Das ist die Formel für die Bevölkerungsvarianz. Beachte, dass diese Formel für Stichprobendaten (siehe nächster Abschnitt) und für gruppierte Daten ein wenig anders ist. Für letzteres gibt es den speziellen Varianzrechner für gruppierte Daten 🇺🇸.

In vielen wissenschaftlichen Experimenten wird aus praktischen Gründen nur eine repräsentative Stichprobe der Grundgesamtheit gemessen. Diese Stichprobe erlaubt es uns, Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit zu ziehen. Wenn wir jedoch Stichprobendaten verwenden, um die Varianz einer Grundgesamtheit zu schätzen, unterschätzt die normale Varianzformel $\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$ die Varianz der Grundgesamtheit.

Um zu vermeiden, dass die Varianz der Grundgesamtheit (und damit auch die Standardabweichung) unterschätzt wird, ersetzen wir in der Varianzformel bei der Verwendung von Stichprobendaten „N“ durch „N-1“. Diese Anpassung ist als Bessel-Korrektur bekannt.

Die Formel für die Stichprobenvarianz lautet folgend:

$s^2 = \frac 1{N-1} \sum_{i=1}^N(x_i - \bar{x})^2$

wobei,

• s² die Schätzung der Varianz ist;
• x̄ (ausgesprochen als "x-quer") der Stichprobenmittelwert ist; und
• x_i der i^te Datenpunkt von N gesamten Datenpunkten ist.

Berechnen wir die Varianz der Quizergebnisse von acht Schülern: 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9. Befolge diese Schritte:

1. Berechne den Mittelwert

Um den Mittelwert (x̄) zu berechnen, teile die Summe aller Zahlen durch die Anzahl der Datenpunkte:

$\overline{x} = \frac 18 (5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9)$

$\overline{x} = 7$

2. Berechne die Differenz zum Mittelwert und die quadrierten Differenzen zum Mittelwert

Da wir nun wissen, dass der Mittelwert 7 ist, berechnen wir die Differenz zum Mittelwert mithilfe der Formel:

$x_i - \overline{x}$

Der erste Punkt hat einen Wert von 5, also ist die Differenz zum Mittelwert 5 - 7 = -2.

Die quadrierte Differenz (oder „quadratische Abweichung“) vom Mittelwert ist einfach das Quadrat des vorherigen Schritts:

$(x_i - \overline{x})^2$

die quadratische Abweichung wäre also:

$(5 - 7)^2 = (-2)^2= 4$

Wir zeigen die berechneten quadrierten Abweichungen vom Mittelwert für alle Quizergebnisse in der folgenden Tabelle. Die Spalte „Abweichung“ ist die Punktzahl minus 7, und die Spalte „Abweichung²“ ist die vorherige Spalte zum Quadrat.

3. Berechne die Varianz und Standardabweichung

Als nächstes verwenden wir die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, die wir in Schritt 2 ermittelt haben, in der Varianzgleichung:

$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

$\sigma^2 =\frac 18 (4 + 4 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4)$

$\sigma^2 = 2.75$

Die Varianz der Quizergebnisse betrug 2,75.

Wenn wir Stichprobendaten verwenden, um die Varianz einer Grundgesamtheit zu schätzen, würden wir stattdessen die Varianzgleichung der Stichprobe verwenden:

$s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

Jetzt, wo du weißt, wie man die Varianz findet, kannst du sie selbst berechnen und deine Antwort mit unserem Rechner überprüfen!

Vielleicht findest du es interessant, dass die Varianz zur Berechnung der Streuung 🇺🇸 von Daten verwendet werden kann.

Wenn du die Varianz mit einem Taschenrechner berechnest, gibt es eine einfachere Formel, die du verwenden solltest. Diese alternative Formel ist mathematisch gleichwertig, lässt sich aber leichter in einen Taschenrechner eingeben.

Die einfach zu tippende Formel für die Varianz (für Bevölkerungsdaten) lautet:

Die einfach zu verwendende Formel für die Stichprobenvarianz lautet:

Bei einem Stichprobendatensatz von 1, 2, 4, 6 wäre die Berechnung der Stichprobenvarianz zum Beispiel:

Probiere es selbst aus und überprüfe dann deine Antwort mit unserem Varianzrechner!

Tabelle 1. Variablen für Bevölkerungsdaten

Tabelle 2. Variablen für Beispieldaten