Calculadora de la varianza

La calculadora de la varianza es una gran herramienta educativa que te enseña a calcular la varianza de un conjunto de datos. La calculadora funciona tanto para conjuntos de datos poblacionales como muestrales.

Sigue leyendo para aprender

• La definición de varianza en estadística;
• La fórmula de la varianza;
• Ejemplos de cálculos de varianza;
• Un método rápido para calcular la varianza a mano.

La Varianza es una medida de la variabilidad de los valores de un conjunto de datos.

Una varianza alta indica que un conjunto de datos está más disperso.

Una varianza baja indica que los datos están más agrupados en torno a la media, o menos dispersos.

Aprender a calcular la varianza es un paso clave para calcular la desviación estándar. Estas dos medidas son la base para calcular la desviación estándar relativa y los intervalos de confianza.

¿No estás seguro de las dos últimas nociones que hemos utilizado? Descúbrelas visitando nuestras herramientas dedicadas: ¡la calculadora de la desviación estándar relativa 🇺🇸 y la calculadora del intervalo de confianza!

La Varianza (denominada σ²) se define como la diferencia cuadrática media respecto a la media de todos los puntos de datos. La escribimos como

$\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

donde,

• σ² es la varianza;
• μ es la media;
• xᵢ representa el i-ésimo punto de datos de un total de N puntos de datos.

Puedes calcular la varianza en tres pasos:

1. Halla la diferencia respecto a la media de cada punto. Utiliza la fórmula: $x_i - \mu$

2. Ecuadra la diferencia con la media de cada punto: $(x_i - \mu)^2$

3. Halla la media de las diferencias al cuadrado respecto a la media que has hallado en el paso 2: $\frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

   Ésta es la fórmula de la varianza poblacional. Ten en cuenta que esta fórmula es ligeramente diferente para los datos muestrales (véase la sección siguiente) y para los datos agrupados. De hecho, para estos últimos tenemos la calculadora de la varianza de los datos agrupados 🇺🇸.

En muchos experimentos científicos, sólo se mide una muestra de la población por razones prácticas. Esta muestra nos permite hacer inferencias sobre la población. Sin embargo, cuando utilizamos los datos de la muestra para estimar la varianza de una población, la fórmula habitual de la varianza, $\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$, subestima la varianza de la población.

Para evitar subestimar la varianza de una población (y, en consecuencia, la desviación estándar), sustituimos N por N - 1 en la fórmula de la varianza cuando se utilizan datos muestrales. Este ajuste se conoce como corrección de Bessels.

La fórmula de la varianza muestral pasa a ser

$s^2 = \frac 1{N-1} \sum_{i=1}^N(x_i - \bar{x})^2$

donde

• s² es la estimación de la varianza;
• x̄ es la media muestral;
• x_i es el i-ésimo punto de datos de N puntos de datos totales.

Calculemos la varianza de las puntuaciones de los exámenes de ocho estudiantes: 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9. Sigue estos pasos:

1. Calcula la media

Para calcular la media (x̄), divide la suma de todos los números por el número de puntos de datos:

$\overline{x} = \frac 18 (5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9)$

$\overline{x} = 7$

2. Calcula la diferencia respecto a la media y las diferencias al cuadrado respecto a la media

Ahora que sabemos que la media es 7, calcularemos la diferencia respecto a la media utilizando la fórmula:

$x_i - \overline{x}$

El primer punto tiene un valor de 5, por lo que la diferencia respecto a la media es 5 - 7 = -2.

La diferencia al cuadrado (o "desviación al cuadrado") respecto a la media es simplemente el cuadrado del paso anterior:

$(x_i - \overline{x})^2$

así, la desviación al cuadrado sería

$(5 - 7)^2 = (-2)^2= 4$

En la tabla siguiente mostramos las desviaciones al cuadrado calculadas respecto a la media para todas las puntuaciones del cuestionario. La columna "Desviación" es la puntuación menos 7, y la columna "Desviación²" es la columna anterior elevada al cuadrado.

3. Calcula la varianza y la desviación estándar

A continuación, utilizamos las desviaciones al cuadrado respecto a la media que encontramos en el paso 2 en la ecuación de la varianza:

$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

$\sigma^2 =\frac 18 (4 + 4 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4)$

$\sigma^2 = 2.75$

La varianza de las puntuaciones del cuestionario fue de 2.75.

Ten en cuenta que, si utilizáramos datos muestrales para estimar la varianza de una población, utilizaríamos en su lugar la ecuación de la varianza muestral:

$s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

Ahora que ya sabes cómo hallar la varianza, prueba a calcularla tú mismo, ¡y luego comprueba tu respuesta con nuestra calculadora!

Quizá te interese saber que la varianza puede utilizarse para calcular la dispersión 🇺🇸 de los datos.

Si calculas la varianza con una calculadora de mano, hay una fórmula más sencilla que debes utilizar. Esta fórmula alternativa es matemáticamente equivalente, pero más fácil de teclear en una calculadora.

La fórmula fácil de escribir para la varianza (para datos de población) es:

La fórmula fácil de escribir para la varianza muestral es:

Por ejemplo, con un conjunto de datos muestrales de 1, 2, 4, 6, el cálculo de la varianza muestral sería:

Inténtalo tú mismo y comprueba tu respuesta con nuestra calculadora de varianza

Tabla 1. Variables de los datos de población

Tabla 2. Variables de los datos de la muestra