Calculadora de raíz cuadrada

Nuestra calculadora de raíz cuadrada calcula la raíz cuadrada de cualquier número positivo que desees. Sólo tienes que introducir el número elegido y leer los resultados. ¡Todo se calcula rápida y automáticamente! Con esta herramienta, también puedes estimar el cuadrado del número deseado (sólo tienes que introducir el valor en el segundo campo), lo que puede ser de gran ayuda para encontrar cuadrados perfectos a partir de la fórmula de la raíz cuadrada.

¿Tienes problemas con las operaciones aritméticas básicas: sumar raíces cuadradas, restar raíces cuadradas, multiplicar raíces cuadradas o dividir raíces cuadradas? ¡Pues ya no! En el siguiente texto encontrarás una explicación detallada sobre distintas propiedades de la raíz cuadrada, por ejemplo, cómo simplificar raíces cuadradas, con varios ejemplos. Con este artículo aprenderás de una vez por todas a encontrar raíces cuadradas

¿Te has preguntado alguna vez cuál es el origen del símbolo de la raíz cuadrada √? Te aseguramos que esta historia no es tan sencilla como podrías pensar en un principio. El origen del símbolo de la raíz se remonta a la antigüedad, como el origen del tanto por ciento.

Si buscas la gráfica de la raíz cuadrada o las propiedades de la función raíz cuadrada, dirígete directamente a la sección correspondiente (¡sólo tienes que hacer clic en los enlaces de arriba!). Allí explicamos qué es la derivada de una raíz cuadrada utilizando una definición fundamental de raíz cuadrada; también explicamos cómo calcular las raíces cuadradas de exponentes o raíces cuadradas de fracciones. Por último, si eres lo suficientemente perseverante, descubrirás que la raíz cuadrada de un número negativo es, de hecho, posible. De este modo, introducimos los números complejos, que tienen amplias aplicaciones en física y matemáticas.

La operación de elevar al cuadrado la raíz cuadrada de un número ya se conocía en la antigüedad. La tablilla de arcilla más antigua con el valor correcto de hasta 5 decimales de √2 = 1.41421 procede de Babilonia (1800 a.e.C. - 1600 a.e.C.). Muchos otros documentos demuestran que las raíces cuadradas también eran utilizadas por los antiguos egipcios, indios, griegos y chinos. Sin embargo, el origen del símbolo de la raíz √ sigue siendo en gran medida especulativo.

• Muchos estudiosos creen que las raíces cuadradas tienen su origen en la letra "r ", la primera letra de la palabra latina radix, que significa raíz.
• Otra teoría afirma que el símbolo de la raíz cuadrada se tomó de la letra árabe ج que se colocó en su forma original de ﺟ en la palabra جذر , raíz (la lengua árabe se escribe de derecha a izquierda).

El primer uso del símbolo de la raíz cuadrada √ no incluía la "barra" horizontal sobre los números dentro del símbolo de la raíz cuadrada (o radical), √‾. La "barra" se conoce en latín como vinculum, que significa unión. Aunque el símbolo radical con vinculum es ahora de uso cotidiano, solemos omitir esta sobrebarra en muchos textos, como en los artículos de Internet. La notación de los grados superiores de una raíz fue sugerida por Albert Girard, que colocó el índice de grado dentro de la abertura del signo radical, por ejemplo, ³√ o ⁴√.

La última pregunta es, ¿por qué la operación raíz cuadrada se llama raíz independientemente de su verdadero origen? La explicación debería ser más evidente si escribimos la ecuación x = ⁿ√a de otra forma: xⁿ = a. x se llama raíz o radical porque es la base oculta de a. Así, la palabra radical no significa extremo, sino fundamental, que llega a la raíz.

En matemáticas, las operaciones tradicionales con números son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Sin embargo, a veces añadimos a esta lista algunas operaciones y manipulaciones más avanzadas: raíces cuadradas, exponentes, logaritmos e incluso funciones trigonométricas (por ejemplo, seno y coseno). En este artículo, nos centraremos únicamente en la definición de raíz cuadrada.

La raíz cuadrada de un número dado x es todo número y cuyo cuadrado y² = y × y da como resultado el número original x. Por tanto, la fórmula de la raíz cuadrada puede expresarse como

√x = y ⟺ x = y²,

donde ⟺ es un símbolo matemático que significa si y sólo si. Cada número real positivo tiene siempre dos raíces cuadradas: la primera es positiva y la segunda negativa. Sin embargo, para muchos fines prácticos, solemos utilizar la positiva. El único número que tiene una raíz cuadrada es el cero. Esto se debe a que √0 = 0, y el cero no es ni positivo ni negativo.

También existe otra notación común de las raíces cuadradas que podría ser más conveniente en muchos cálculos complejos. Esta fórmula alternativa de la raíz cuadrada dice que la raíz cuadrada de un número es un número elevado al exponente de la fracción un medio:

√x = x^(1/2) = x^0.5

En interpretación geométrica, la raíz cuadrada del área de un cuadrado da la longitud de su lado. Por eso √ lleva la palabra cuadrado en su nombre. Algo parecido ocurre con la raíz cúbica, ∛. Si tomas la raíz cúbica del volumen de un cubo, obtienes la longitud de sus aristas. Mientras que las raíces cuadradas se utilizan cuando se consideran áreas superficiales, las raíces cúbicas son útiles para determinar cantidades relacionadas con el volumen, por ejemplo, la densidad.

Quizá no estemos siendo muy modestos, pero creemos que la mejor respuesta a la pregunta de cómo hallar la raíz cuadrada es sencilla: ¡Usa nuestra calculadora de raices cuadradas! Puedes utilizarla tanto en tu computadora como en tu smartphone para calcular rápidamente la raíz cuadrada de un número dado. Por desgracia, a veces hay situaciones en las que sólo puedes confiar en ti mismo. ¿Y entonces qué? Para prepararte para ello, debes recordar varias raíces cuadradas perfectas básicas:

• Raíz cuadrada de 1: √1 = 1, ya que 1 × 1 = 1.

• Raíz cuadrada de 4: √4 = 2, ya que 2 × 2 = 4.

• Raíz cuadrada de 9: √9 = 3, ya que 3 × 3 = 9.

• Raíz cuadrada de 16: √16 = 4, ya que 4 × 4 = 16.

• Raíz cuadrada de 25: √25 = 5, ya que 5 × 5 = 25.

• Raíz cuadrada de 36: √36 = 6, ya que 6 × 6 = 36.

• Raíz cuadrada de 49: √49 = 7, ya que 7 × 7 = 49.

• Raíz cuadrada de 64: √64 = 8, ya que 8 × 8 = 64.

• Raíz cuadrada de 81: √81 = 9, ya que 9 × 9 = 81.

• Raíz cuadrada de 100: √100 = 10, ya que 10 × 10 = 100.

• Raíz cuadrada de 121: √121 = 11, ya que 11 × 11 = 121.

• Raíz cuadrada de 144: √144 = 12, ya que 12 × 12 = 144.

Los números anteriores son las raíces cuadradas más sencillas, porque cada vez obtienes un número entero. ¡Intenta recordarlos! Pero, ¿qué puedes hacer cuando hay un número que no tiene una raíz cuadrada tan bonita? Hay múltiples soluciones. En primer lugar, puedes intentar predecir el resultado por ensayo y error. Digamos que quieres calcular la raíz cuadrada de 52:

1. Sabes que √49 = 7 y √64 = 8, así que √52 debería estar entre 7 y 8.

2. El número 52 está más cerca del 49 (su raíz, más cerca del 7), así que puedes intentar adivinar que √52 es 7.3.

3. Entonces, elevas al cuadrado 7.3, obteniendo 7.3² = 53.29 (como dice la fórmula de la raíz cuadrada), que es mayor que 52. Tienes que intentarlo con un número más pequeño, digamos 7.2.

4. El cuadrado de 7.2 es 51.84. Ahora tienes un número más pequeño, pero mucho más cercano al 52. Si esa precisión te satisface, puedes terminar aquí la estimación. Si no, puedes repetir el procedimiento con un número entre 7.2 y 7.3; por ejemplo, 7.22, y así sucesivamente.

Otro método consiste en simplificar primero la raíz cuadrada y luego utilizar las aproximaciones de las raíces cuadradas de los números primos (normalmente redondeadas a dos decimales):

• Raíz cuadrada de 2: √2 ≈ 1.41,
• Raíz cuadrada de 3: √3 ≈ 1.73,
• Raíz cuadrada de 5: √5 ≈ 2.24,
• Raíz cuadrada de 7: √7 ≈ 2.65,
• Raíz cuadrada de 11: √11 ≈ 3.32,
• Raíz cuadrada de 13: √13 ≈ 3.61,
• Raíz cuadrada de 17: √17 ≈ 4.12,
• Raíz cuadrada de 19: √19 ≈ 4.34, etc.

Volvamos a intentar hallar la raíz cuadrada de 52. Puedes simplificarla a √52 = 2√13 (aprenderás a simplificar la raíz cuadrada en el siguiente apartado) y luego sustituirla por √13 ≈ 3.61. Por último, haz una multiplicación √52 ≈ 2 × 3.61 = 7.22. ¡El resultado es el mismo que antes!

En algunas situaciones, no necesitas conocer el resultado exacto de la raíz cuadrada. Si es así, nuestra calculadora de raíces cuadradas es la mejor opción para estimar el valor de todas las raíces cuadradas que desees. Por ejemplo, supongamos que quieres saber si 4√5 es mayor que 9. Por la calculadora, sabes que √5 ≈ 2.23607, así que 4√5 ≈ 4 × 2.23607 = 8.94428. Está muy cerca del 9, ¡pero no es mayor que él! La calculadora de raíz cuadrada da el valor final con una precisión relativamente alta (de cinco dígitos en el ejemplo anterior).

Recuerda que nuestra calculadora recalcula automáticamente los números introducidos en cualquiera de los campos. Puedes hallar la raíz cuadrada de un número concreto rellenando la primera ventana u obtener el cuadrado de un número que hayas introducido en la segunda ventana. La segunda opción es útil para encontrar cuadrados perfectos que son esenciales en muchos aspectos de las matemáticas y la ciencia. Por ejemplo, si introduces 17 en el segundo campo, descubrirás que 289 es un cuadrado perfecto.

En algunas aplicaciones de la raíz cuadrada, sobre todo las que pertenecen a ciencias como la química y la física, se prefieren los resultados en notación científica. En resumen, una respuesta en notación científica debe tener un punto decimal entre los dos primeros números distintos de cero. Se representará como el decimal multiplicado por 10 elevado a un exponente. Por ejemplo, el número 0.00345 se escribe como 3.45 × 10^-3 en notación científica, mientras que 145.67 se escribe como 1.4567 × 10² en notación científica. Los resultados obtenidos con la calculadora de raíz cuadrada pueden convertirse a notación científica con la calculadora de notación científica.

En primer lugar, vamos a preguntarnos qué raíces cuadradas pueden simplificarse. Para responder, tienes que tomar el número que está después del símbolo de la raíz cuadrada y encontrar sus factores. Si alguno de sus factores son números cuadrados (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, etc.), entonces puedes simplificar la raíz cuadrada. ¿Por qué estos números son cuadrados? Se pueden expresar respectivamente como 2², 3², 4², 5², 6², 7², etc. Según la definición de raíz cuadrada, puedes llamarlos cuadrados perfectos. Veamos algunos ejemplos:

• ¿Puedes simplificar √27? Con la calculadora antes mencionada, obtienes factores de 27: 1, 3, 9, 27. ¡Aquí está el 9! Esto significa que puedes simplificar √27.

• ¿Puedes simplificar √15? Los factores de 15 son 1, 3, 5 y 15. No hay cuadrados perfectos en esos números, así que esta raíz cuadrada no se puede simplificar.

Entonces, ¿cómo simplificar raíces cuadradas? Para explicarlo, utilizaremos una práctica propiedad de la raíz cuadrada de la que hemos hablado antes; la fórmula alternativa de la raíz cuadrada:

√x = x^(1/2)

Podemos utilizar esas dos formas de expresar una raíz cuadrada y alternar entre ellas siempre que queramos. En particular, recordamos que la multiplicación de dos números elevados a la misma potencia, es equivalente a multiplicar ambos números y luego elevar el resultado a la potencia dada. Por tanto, podemos escribir:

(x × y)^(1/2) = x^(1/2) × y^(1/2) ⟺ √(x × y) = √x × √y,

¿Cómo puedes utilizar estos conocimientos? El argumento de una raíz cuadrada no suele ser un cuadrado perfecto que puedas calcular fácilmente, pero puede contener un cuadrado perfecto entre sus factores. En otras palabras, puedes escribirlo como una multiplicación de dos números, donde uno de los números es el cuadrado perfecto, por ejemplo, 45 = 9 × 5 (9 es un cuadrado perfecto). El requisito de tener al menos un factor que sea un cuadrado perfecto es necesario para poder simplificar la raíz cuadrada. Llegados a este punto, ya deberías saber cuál será el siguiente paso. Tienes que poner esta multiplicación bajo la raíz cuadrada. En nuestro ejemplo

√45 = 45^(1/2) = (9 × 5)^(1/2) = 9^(1/2) × 5^(1/2) = √9 × √5 = 3√5.

¡Has simplificado con éxito tu primera raíz cuadrada! Por supuesto, no hace falta que escribas todos estos cálculos. Mientras recuerdes que la raíz cuadrada equivale a elevar un número a 1/2, puedes acortarlos. Practiquemos la simplificación de raíces cuadradas con otros ejemplos:

• ¿Cómo simplificar la raíz cuadrada de 27?

  √27 = √(9 × 3) = √9 × √3 = 3√3

• ¿Cómo simplificar la raíz cuadrada de 8?

  √8 = √(4 × 2) = √4 × √2 = 2√2

• ¿Cómo simplificar la raíz cuadrada de 144?

  √144 = √(4 × 36) = √4 × √36 = 2 × 6 = 12

En el último ejemplo, no has tenido que simplificar la raíz cuadrada en absoluto porque 144 es un cuadrado perfecto. Te bastaba con recordar que 12 × 12 = 144. Sin embargo, queríamos mostrarte que, con el proceso de simplificación, también puedes calcular fácilmente las raíces cuadradas de cuadrados perfectos. Es útil cuando tratas con números grandes.

Por último, puedes preguntar cómo simplificar raíces de órdenes superiores, por ejemplo, raíces cúbicas 🇺🇸. De hecho, el proceso es muy análogo al de las raíces cuadradas, pero en el caso de las raíces cúbicas, tienes que encontrar al menos un factor que sea un cubo perfecto, no un cuadrado perfecto, es decir, 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³ y así sucesivamente. Entonces divides tu número en dos partes y las colocas bajo la raíz cúbica. Tomemos el siguiente ejemplo de simplificación ³√192:

∛192 = ∛(64 × 3) = ∛64 × ∛3 = 4∛3

Puede parecer un poco complicado a primera vista, pero después de un poco de práctica, serás capaz de simplificar las raíces en tu cabeza. ¡Confía en nosotros!

Sumar raíces cuadradas y restar raíces cuadradas

Por desgracia, sumar o restar raíces cuadradas no es tan fácil como sumar/restar números normales. Por ejemplo, si 2 + 3 = 5, no significa que √2 + √3 sea igual a √5. **Para entenderlo, imagina que tienes dos tipos de figuras diferentes: triángulos 🔺 y círculos 🔵. ¿Qué ocurre cuando añades un triángulo a un círculo 🔺 + 🔵? ¡Nada! Sigues teniendo un triángulo y un círculo 🔺 + 🔵. Por otra parte, ¿qué ocurre cuando intentas sumar tres triángulos a cinco triángulos? 3🔺 + 5🔺? Acabarás con ocho triángulos 8🔺.

Sumar raíces cuadradas es muy parecido a esto. El resultado de sumar √2 + √3 sigue siendo √2 + √3. No puedes simplificarlo más. Sin embargo, la situación es distinta cuando ambas raíces cuadradas tienen el mismo número bajo el símbolo de la raíz. Entonces podemos sumarlas como números normales (o triángulos). Por ejemplo, 3√2 + 5√2 es igual a 8√2. Lo mismo ocurre al restar raíces cuadradas. Veamos más ejemplos que ilustran esta propiedad de la raíz cuadrada:

• ¿Qué es 6√17 + 5√17? Respuesta: 6√17 + 5√17 = 11√17.

• ¿Qué es 4√7 - 7√7? Respuesta: 4√7 - 7√7 = -3√7.

• ¿Qué es 2√2 + 3√8? Respuesta: 2√2 + 3√8 = 2√2 + 6√2 = 8√2, porque hemos simplificado √8 = √(4 × 2) = √4 × √2 = 2√2.

• ¿Cuánto es √45 - √20? Respuesta: √45 - √20 = 3√5 - 2√5 = √5, porque hemos simplificado √45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3√5 y √20 = √(4 × 5) = √4 × √5 = 2√5.

• ¿Cuánto es 7√13 + 2√22? Respuesta: 7√13 + 2√22, no podemos simplificarlo más.

• ¿Qué es √3 - √18? Respuesta: √3 - √18 = √3 - 3√2, no podemos simplificarlo más, pero al menos hemos simplificado √18 = √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√2.

Multiplicar raíces cuadradas y dividir raíces cuadradas

Ahora que sumar raíces cuadradas es pan comido para ti, vayamos un paso más allá. ¿Qué te parece multiplicar raíces cuadradas y dividir raíces cuadradas? ¡No te asustes! Ya lo has hecho la lección sobre simplificación de raíces cuadradas. La multiplicación de raíces cuadradas se basa en la propiedad de la raíz cuadrada que hemos utilizado antes unas cuantas veces, es decir

√x = x^(1/2)

¿Recuerdas cómo multiplicar números elevados a la misma potencia? A modo de recordatorio:

xⁿ × yⁿ = (x × y)ⁿ,

y, por tanto:

x^(1/2) × y^(1/2) = (x × y)^(1/2) ⟺ √x × √y = √(x × y).

A diferencia de la suma, puedes multiplicar cualquier raíz cuadrada. Recuerda que la multiplicación tiene propiedades conmutativas, lo que significa que el orden en que se multiplican dos números no importa. Unos cuantos ejemplos aclararán esta cuestión:

• ¿Qué es √3 × √2? Respuesta: √3 × √2 = √6.

• ¿Qué es 2√5 × 5√3? Respuesta: 2√5 × 5√3 = 2 × 5 × √5 × √3 = 10√15, porque la multiplicación es conmutativa.

• ¿Qué es 2√6 × 3√3? Respuesta: 2√6 × 3√3 = 2 × 3 × √6 × √3 = 6√18 = 18√2, simplificamos √18 = √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√2.

Dividir una raíz cuadrada es casi lo mismo, ya que:

x^(1/2) / y^(1/2) = (x / y)^(1/2) ⟺ √x / √y = √(x / y).

Basta con sustituir el signo de multiplicación por una división. Sin embargo, ¡la división no es un operador conmutativo! Tienes que calcular por separado los números que están delante de las raíces cuadradas y los números que están debajo de las raíces cuadradas. Como siempre, aquí tienes algunos ejemplos prácticos:

• ¿Cuánto es √15 / √3? Respuesta: √15 / √3 = √5;

• ¿Qué es 10√6 / 5√2? Respuesta: 10√6 / 5√2 = (10 / 5) × (√6 / √2) = 2√3;

• ¿Qué es 6√2 / 3√5? Respuesta: 6√2 / 3√5 = (6 / 3) × (√2 / √5) = 2√(2/5) = 2√(0.4), ahí pasamos de una fracción simple 2/5 a la fracción decimal 2/5 = 4/10 = 0.4.

Calcular la raíz cuadrada de números elevados a una potencia o la raíz cuadrada de fracciones puede que no te resulte claro. Pero con los conocimientos que has adquirido en el apartado anterior, ¡te resultará más fácil de lo que esperabas! Empecemos por las raíces cuadradas de potencias. En ese caso, te resultará más fácil utilizar la forma alternativa de raíz cuadrada √x = x^(1/2). ¿Recuerdas la regla de las potencias? Si no es así, aquí tienes un rápido recordatorio rápido:

(xⁿ)^m = x^{(n × m)}

donde n y m son números reales cualesquiera. Ahora bien, si colocas 1/2 en lugar de m, no obtendrás otra cosa que una fracción como exponente:

√(xⁿ) = (xⁿ)^(1/2) = x^(n/2)

Y así es como se halla la raíz cuadrada de un número elevado a una potencia. Hablando de potencias, la ecuación anterior se parece mucho a la función de densidad de la distribución normal estándar, muy utilizada en estadística.

Si aún no estás seguro de cómo sacar raíces cuadradas de potencias, aquí tienes algunos ejemplos:

• Raíz cuadrada de 2⁴:

  √(2⁴) = (2⁴)^(1/2) = 2^(4/2) = 2² = 4

• Raíz cuadrada de 5³:

  √(5³) = (5³)^(1/2) = 5^(3/2)

• Raíz cuadrada de 4⁵:

  √(4⁵) = (4⁵)^(1/2) = 4^(5/2) = (2²)^(5/2) = 2⁵ = 32

Como puedes ver, a veces es imposible obtener un resultado bonito como el del primer ejemplo. Sin embargo, en el tercer ejemplo te mostramos un pequeño truco para expresar 4 como 2². A menudo, este método puede simplificar ecuaciones más complicadas.

¿Qué pasa con las raíces cuadradas de fracciones? Echa un vistazo a la sección anterior, donde escribimos sobre la división de raíces cuadradas. Allí encontrarás la siguiente relación que debería explicarlo todo:

(x / y)^(1/2) ⟺ √x / √y = √(x / y)

donde x / y es una fracción. A continuación encontrarás algunos ejemplos de raíces cuadradas de una fracción:

• Raíz cuadrada de 4/9:

  √(4/9) = √4 / √9 = 2/3

• Raíz cuadrada de 1/100:

  √(1/100) = √1 / √100 = 1/10

• Raíz cuadrada de 1/5:

  √(1/5) = √1 / √5 = 1/√5 = √5/5

Dejar raíces en el denominador no es una buena costumbre. Por eso nos deshicimos de ella en el último ejemplo. Nos limitamos a multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número (siempre podemos hacerlo, ya que el número por el que multiplicamos es igual a 1), en este caso, por √5.

Las funciones desempeñan un papel vital no sólo en matemáticas, sino en muchas otras áreas como la física, la estadística o las finanzas. La función f(x) no es más que una fórmula que dice cómo cambia el valor de f(x) con el argumento x. Allí encontrarás algunas funciones que puedes aplicar en la vida real. Son de gran ayuda si quieres saber cómo calcular el interés compuesto o estimar el valor futuro de una renta vitalicia.

A continuación encontrarás la gráfica de la raíz cuadrada, formada por la mitad de una parábola. Compruébala e intenta validar, por ejemplo, si la función raíz cuadrada de x = 9 es 3 y de x = 16 es 4 (como debería ser).

Volvamos a la función raíz cuadrada f(x) = √x y exploremos cuáles son sus propiedades básicas. Consideramos aquí sólo la parte positiva de f(x) (como puedes ver en la gráfica de la raíz cuadrada de arriba). Por tanto, la función raíz cuadrada:

• Es continua y creciente para todo x no negativo.

• Es diferenciable para todo x positivo (para más información, consulta la sección derivadas de la raíz cuadrada.

• Se aproxima al límite del infinito a medida que x se aproxima al infinito (lim √x → ∞ cuando x → ∞).

• Es un número real para todo x no negativo y un número complejo para todo x negativo.

Las derivadas de una función nos indican a qué velocidad cambia dicha función con su argumento. Uno de los ejemplos más sencillos en física es la posición de un objeto y su velocidad (la rapidez de cambio de posición). Digamos que la función x(t) describe cómo cambia la distancia del automóvil en movimiento desde un punto concreto con el tiempo t. ¿Sabes qué determina la rapidez del cambio en la distancia recorrida? La respuesta es ¡la velocidad del automóvil! Así que la derivada de la posición x(t) es la velocidad v(t) (la velocidad también puede depender del tiempo). Para denotar la derivada, solemos utilizar el apóstrofo v(t) = x'(t) o el símbolo de la derivada v(t) = dx(t)/dt.

La derivada de la función general f(x) no siempre es fácil de calcular. Sin embargo, en algunas circunstancias, si la función adopta una forma específica, tenemos algunas fórmulas. Por ejemplo, si

f(x) = xⁿ,

donde n es cualquier número real, la derivada es la siguiente:

f'(x) = n × x^(n-1).

Puede que no lo parezca, pero esto responde a la pregunta cuál es la derivada de una raíz cuadrada. ¿Recuerdas la forma alternativa (exponencial) de una raíz cuadrada? Vamos a recordártela:

√x = x^(1/2).

Puedes ver que en este caso, n = 1/2, por lo que la derivada de una raíz cuadrada es:

(√x)' = (x^(1/2))' = 1/2 × x^(-1/2) = 1/(2√x).

Como un número elevado a una potencia negativa es uno sobre ese número, la estimación de la derivada implicará fracciones. Tenemos una herramienta que puede ser esencial a la hora de sumar o restar fracciones con distintos denominadores. Se llama calculadora de MCM 🇺🇸, y te indica cómo hallar el mínimo común múltiplo.

La derivada de una raíz cuadrada es necesaria para obtener los coeficientes en la llamada expansión de Taylor. No queremos profundizar demasiado en los detalles, así que, brevemente, la serie de Taylor te permite aproximar diversas funciones con los polinomios, que son mucho más fáciles de calcular. Por ejemplo, la expansión de Taylor de √(1 + x) en torno al punto x = 0 viene dada por:

√(1 + x) = 1 + 1/2 × x - 1/8 × x² + 1/16 × x³ - 5/128 × x⁴ + ...,

que es válida para -1 ≤ x ≤ 1. Aunque la expresión anterior tiene un número infinito de términos, para obtener el valor aproximado, puedes utilizar sólo unos pocos primeros términos. ¡Vamos a probarlo! Con x = 0.5 y los cinco primeros términos, obtienes

√(1.5) = 1 + 1/2 × 0.5 - 1/8 × 0.25 + 1/16 × 0.125 - 5/128 × 0.0625,

√(1.5) ≈ 1.2241,

y el valor real, proporcionado por nuestra calculadora, es √(1.5) ≈ 1.2247. ¡Bastante cerca!

Hasta aquí muchas matemáticas y ecuaciones. Para los que seáis lo bastante persistentes, hemos preparado la siguiente sección, que explica cómo calcular la raíz cuadrada de un número negativo.

En la escuela, probablemente te hayan enseñado que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. Esto es cierto cuando sólo consideras los números reales. Hace mucho tiempo, para realizar cálculos avanzados, los matemáticos tuvieron que introducir un conjunto más general de números: los números complejos. Se pueden expresar de la siguiente forma:

x = a + b × i,

donde x es el número complejo con la parte real a y la parte imaginaria b. Lo que diferencia un número complejo de uno real es el número imaginario i. Aquí tienes algunos ejemplos de números complejos: 2 + 3i, 5i, 1,5 + 4i y 2. Quizá te sorprenda ver ahí 2, que es un número real. Sí, lo es, pero también es un número complejo con b = 0. Los números complejos son una generalización de los números reales

Hasta ahora, el número imaginario i probablemente siga siendo un misterio para ti. ¿Qué es? Bueno, aunque parezca raro, se define mediante la siguiente ecuación:

i = √(-1),

y eso es todo lo que necesitas para calcular la raíz cuadrada de cualquier número, sea positivo o no. Veamos algunos ejemplos:

• Raíz cuadrada de -9: √(-9) = √(-1 × 9) = √(-1)√9 = 3i.
• Raíz cuadrada de -13: √(-13) = √(-1 × 13) = √(-1)√13 = i√13.
• Raíz cuadrada de -49: √(-49) = √(-1 × 49) = √(-1)√49 = 7i.

¿No es sencillo? Este problema no se plantea con la raíz cúbica, ya que puedes obtener el número negativo multiplicando tres números negativos idénticos (cosa que no puedes hacer con dos números negativos). Por ejemplo:

³√(-64) = ³√[(-4)×(-4)×(-4)] = -4.

¡Y eso es todo lo que necesitas saber sobre raíces cuadradas!

Sí, de hecho, todos los números positivos tienen 2 raíces cuadradas, una que es positiva y otra que es igual pero negativa a la primera. Esto se debe a que si multiplicas dos negativos juntos, los negativos se cancelan y el resultado es positivo.

A continuación te explicamos cómo hallar la raíz cuadrada de un número sin calculadora:

1. Haz una estimación de la raíz cuadrada. El número más cercano al cuadrado es aceptable, por si estás perdido.

2. Divide el número del que quieres hallar la raíz cuadrada por la estimación.

3. Suma la estimación al resultado del paso 2.

4. Divide el resultado del paso 3 entre 2. Esta es tu nueva estimación.

5. Repite los pasos 2-4 con tu nueva estimación. Cuantas más veces se repita, más exacto será el resultado.

Estimar la raíz cuadrada de un número:

1. Encuentra el número más cercano al cuadrado por encima y por debajo del número en el que estás pensando.

2. La raíz cuadrada estará entre las raíces cuadradas de estos números.

3. La cercanía del número a una raíz cuadrada indica lo cerca que está la raíz. Por ejemplo, 26 está muy cerca de 25, por lo que la raíz estará muy cerca de 5.

4. Inténtalo varias veces para pillarle el truco.

No, la raíz cuadrada de 2 no es racional. Esto se debe a que cuando 2 se escribe como una fracción, ²/₁, nunca puede tener sólo exponentes pares, y por tanto no se puede haber elevado al cuadrado un número racional para crearlo.

En álgebra, cuadrando ambos lados de la ecuación se eliminarán las raíces cuadradas. El resultado de esta operación es que las raíces cuadradas se sustituirán por cualquier número del que estuvieran hallando la raíz cuadrada.

Algunas raíces cuadradas son racionales, mientras que otras no lo son. Puedes averiguar si una raíz cuadrada es racional o no averiguando si el número que elevas al cuadrado puede expresarse sólo con exponentes pares (por ejemplo, 4 = 2² / 1²). Si es así, su raíz es racional.

La raíz cuadrada de 5 no es un número racional. Esto se debe a que 5 no puede expresarse como una fracción en la que tanto el numerador como el denominador tengan exponentes pares. Esto significa que no se puede elevar al cuadrado un número racional para obtener 5.

El resultado de elevar al cuadrado 7 es un número irracional. 7 no puede escribirse como una fracción con sólo exponentes pares, lo que significa que el número elevado al cuadrado para llegar a 7 no puede expresarse como una fracción de enteros y, por tanto, no es racional.

La derivada de la raíz cuadrada x es x^-1/2 / 2, o 1/(2√x). Esto se debe a que la raíz cuadrada de x puede expresarse como x^1/2, a partir de la cual la diferenciación se produce normalmente.

Para hallar la raíz cuadrada de un decimal:

1. Convierte el decimal en una fracción.

2. Encuentra la raíz cuadrada de la fracción o expándela. Haz la fracción igual a la raíz cuadrada que encontraste elevada al cuadrado.

3. Cancela la raíz cuadrada y el cuadrado dejándote la fracción.

4. Reescribe la fracción como decimal como respuesta final.