Calculateur de déterminant d'une matrice

Bienvenue sur le calculateur de déterminant d'une matrice, où vous aurez l'occasion de calculer, comme son nom l'indique, les déterminants de matrices. Ce calculateur utilise la formule du déterminant pour calculer le déterminant de toute matrice carrée jusqu'à une matrice 4×4. Nous examinerons également certaines propriétés de base des déterminants qui pourront nous aider à calculer le déterminant d'une matrice 4×4.

Qu'est-ce qu'un déterminant, et pourquoi doit-on s'en préoccuper ? Nous vous donnerons la définition du déterminant un peu plus bas, mais, pour l'instant, disons simplement qu'il est extrêmement utile lorsqu'il s'agit de systèmes d'équations ; consultez notre calculateur de système d'équations 🇺🇸 pour plus de détails. Fondamentalement, résoudre un système à trois équations revient à trouver le déterminant d'une matrice 3×3.

Poursuivez votre lecture pour en savoir plus sur le calcul du déterminant !

Pourquoi ne pas commencer par ce qu'est une matrice ? En mathématiques, c'est le nom que l'on donne à un tableau d'éléments (généralement des nombres) avec un ensemble de lignes et de colonnes. Voici un exemple de matrice :

Comme vous pouvez le voir, les nombres sont placés entre deux grands crochets, $[$ et $]$. On dit aussi que, par exemple, le nombre $2$ se situe dans la deuxième ligne et dans la deuxième colonne.

La définition du déterminant indique qu'il s'agit d'un nombre obtenu en multipliant et en additionnant les termes d'une matrice carrée selon une règle donnée. Jetons un coup d'œil sur quelques points importants.

• Comme le suggère la définition du déterminant, nous devons disposer d'une matrice carrée pour commencer les calculs. Cela signifie que nous pouvons trouver le déterminant d'une matrice 2×2 ou le déterminant d'une matrice 4×4, mais pas, par exemple, celui de la matrice $A$ ci-dessus, qui est une matrice 3×2 (trois lignes et deux colonnes).
• La formule du déterminant pour les matrices plus grandes devient assez compliquée. Son nombre de termes est égal au nombre de permutations du nombre qui correspond au côté de la matrice. Cela signifie que le déterminant d'une matrice 2×2 n'a que deux termes, mais pour les matrices 5×5, nous obtenons 120 sommets.
• Il existe des moyens de simplifier les calculs. Par exemple, la recherche du déterminant d'une matrice 4×4 peut être transformée en un problème de recherche du déterminant d'une matrice 3×3. Nous examinerons certaines de ces propriétés des déterminants dans la section Propriétés des déterminants.
• Le déterminant d'une matrice, $A$, est désigné par $|A|$ (il suffit de remplacer les crochets d'une matrice par des barres verticales $|$) ou $\det(A)$. Ne confondez pas la première notation avec la valeur absolue ! En général, le déterminant peut être un nombre négatif.

Alors, qu'est-ce qu'un déterminant ? C'est un nombre, nous venons juste de le voir. Mais pourquoi est-il utile ? Où apparaît-il ?

Le déterminant d'une matrice est un outil extrêmement utile et souvent utilisé en algèbre linéaire. Chaque fois que nous avons une matrice et que nous voulons la comprendre, le déterminant est l'une des premières choses vers lesquelles nous nous tournons. Par exemple, tout système d'équations linéaires peut être décrit par une matrice. Ses déterminants nous aident à trouver la solution, par exemple en utilisant la règle de Cramer, que vous pouvez trouver dans notre calculateur de règle de Cramer 🇺🇸. De plus, lorsque nous utilisons des matrices pour décrire une transformation linéaire, il est souvent préférable de les diagonaliser. Comment faire ? Avec les déterminants, bien sûr.
Le déterminant d'une matrice nous indique également si la matrice a une inverse et si l'inverse doit être approximé avec la pseudo-inverse de Moore-Penrose.
Enfin, nous avons généralement besoin des valeurs propres d'une telle transformation. Oui, vous l'avez deviné ; pour cela, nous utilisons également les déterminants.

Nous espérons avoir réussi à vous convaincre qu'il vaut la peine d'apprendre la définition du déterminant. Mais comment le calculer ? Existe-t-il une formule de calcul des déterminants courte et facile à utiliser au quotidien ?

Avant de jeter un coup d'œil à quelques exemples spécifiques, comme la recherche du déterminant d'une matrice 3×3, attaquons-nous à la définition générale du déterminant.

Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$, où $n$ est un nombre naturel quelconque. Dénotez les termes de $A$ par $a_{i,j}$, où $i$ est le numéro de la ligne, et $j$ est le numéro de la colonne. Dans ce cas :

où :

• $\sum$ – la somme de toutes les permutations de l'ensemble $\{1,2\ldots,n\}$
• $\prod$ – le produit des $i$ de $1$ à $n$

Joli, n'est-ce pas ? Si nous traduisons ces symboles en quelque chose de plus compréhensible, cela correspond plus ou moins à la définition ci-dessous.

Ne vous inquiétez pas ; maintenant que nous avons mis en évidence cette définition générale du déterminant, nous n'y penserons plus. Nous nous en tiendrons aux cas faciles, où la matrice n'est pas trop grande, pour montrer ce que cela signifie vraiment.

Plus la matrice est petite, plus la formule du déterminant est simple. Par souci de cohérence, nous utilisons la notation ci-dessous, comme dans le calculateur de déterminant de matrice.

Si :

Alors le déterminant de $A$ est

$|A| = a_1 \times b_2 - a_2 \times b_1$

Notez que cela revient à prendre les nombres de l'une des diagonales de la matrice carrée (du coin supérieur gauche au coin inférieur droit) moins l'autre (du coin supérieur droit au coin inférieur gauche).

Ensuite, si :

Alors, le déterminant de $B$ est :

Ici encore, nous pouvons utiliser certaines diagonales pour nous souvenir de la formule. Pour y voir plus clair, écrivons à nouveau les deux lignes supérieures sous la matrice :

Maintenant, comme dans le cas 2×2, commencez par la diagonale de la matrice carrée originale, qui va du coin supérieur gauche au coin inférieur droit ; c'est le premier terme $a_1 \times b_2 \times c_3$. Ensuite, nous prenons toute cette diagonale et la déplaçons d'un cran vers le bas, c'est-à-dire que dans chaque colonne, nous prenons l'élément situé en dessous de celui que nous avons pris précédemment. Ici, le tableau élargi que nous avons dessiné ci-dessus nous aide à voir que cela donne le deuxième total, $a_2 \times b_3 \times c_1$. Nous répétons l'opération une fois de plus pour obtenir $a_3 \times b_1 \times c_2$ et cela termine les diagonales vers le bas et les termes qui apparaissent avec un plus.

Ensuite, nous déplaçons vers l'autre diagonale de la matrice originale (du coin supérieur droit vers le coin inférieur gauche) et nous obtenons le premier terme négatif de la formule, $a_3 \times b_2 \times c_1$. Nous faisons la même chose que précédemment ; en déplaçons la diagonale vers le bas. La forme développée ci-dessus nous permet de voir facilement que cela donne les deux autres sommets négatifs, $a_1 \times b_3 \times c_2$ et $a_2 \times b_1 \times c_3$.

Enfin, si :

Alors le déterminant d'une telle matrice 4×4 est :

Ouf, enfin fini ! Vous voyez maintenant qu'il est très facile de trouver le déterminant d'une matrice 2×2, et que nous pouvons apprendre à trouver le déterminant d'une matrice 3×3 en une heure environ. Mais le déterminant d'une matrice 4×4 est un tout autre problème. Ne vous méprenez pas, c'est tout à fait faisable !

Alors, comment utiliser l'astuce de la diagonalisation ici ? La réponse est simple : nous ne le faisons pas. Malheureusement, le tour est joué pour les matrices de 4 ou plus.

Donc, comment peut-on calculer efficacement ce qui est un déterminant de 4×4 ? Ou 5×5 ? Nous vous montrerons cela dans la section suivante.

Nous allons maintenant énumérer quelques propriétés importantes des déterminants qui peuvent s'avérer utiles. Nous commençons par des propriétés simples, puis nous passons aux plus importantes à la toute fin.

1. Le déterminant d'un produit est le produit des déterminants. En d'autres termes, si nous multiplions deux matrices carrées et que nous voulons calculer le déterminant du résultat, nous pouvons obtenir la réponse en calculant les déterminants des facteurs et en les multipliant ensemble.

2. Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée. En substance, si au lieu de la matrice avec laquelle nous avons commencé, nous la « renversons » de sorte que sa première ligne soit la première colonne, que la première colonne soit la première ligne, etc. C'est ce qu'on appelle la transposition d'une matrice, alors leurs déterminants seront les mêmes. Par exemple :

3. Si deux lignes ou colonnes sont échangées, le déterminant reste le même, mais avec le signe opposé. Cela signifie que, par exemple, si nous voulons savoir comment trouver le déterminant d'une matrice 3×3, nous pouvons échanger, disons, sa première colonne avec sa troisième pour obtenir le même nombre, mais avec un signe différent (voir l'exemple ci-dessous) :

4. Nous pouvons ajouter n'importe quel multiple non nul d'une ligne à une autre ligne (ou d'une colonne à une colonne) sans changer le déterminant. Ceci est similaire à ce que nous faisons dans l'élimination de Gauss-Jordan lorsque nous voulons trouver la solution d'un système d'équations, sauf que là, nous ne traitions que des lignes (qui correspondaient à des équations). Notre calculateur de matrice échelonnée 🇺🇸 utilise cette propriété. Cela signifie que si nous ajoutons, disons, deux copies de la première ligne à la deuxième, nous obtiendrons une matrice avec le même déterminant. Par exemple :

Ce qui donne :

5. (Développement de Laplace) Vous vous souvenez de la question « Quel est le déterminant d'une matrice 5×5 ? » de la section ci-dessus ? Enfin, nous pouvons aborder ce sujet et présenter un outil puissant pour nous aider avec la formule du déterminant.

Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$. Disons que la $j$-ème ligne (ou colonne) de $A$ a pour éléments $a_1$, $a_2$,….., $a_n$. Dénotez par $A_i$ la matrice obtenue à partir de $A$ en supprimant la ligne et la colonne entières dans lesquelles nous avions $a_i$ ($A_i$ est alors une matrice carrée de taille $n-1$). Dans ce cas :

Maintenant, demandons-nous comment trouver le déterminant d'une matrice 3×3. Nous pouvons prendre un morceau de papier, choisir, disons, la troisième ligne de la matrice, et écrire avec enthousiasme :

Cela a dû vous prendre un temps fou pour lire toute cette théorie ! Si vous voulez en savoir plus, visitez notre calculateur d'expansion du cofacteur 🇺🇸. Enfin, nous allons voir un exemple.

Supposons que vous vouliez calculer le déterminant de la matrice suivante :

Quel est le déterminant d'une matrice 4×4 ? Nous avons vu la formule du déterminant d'une matrice dans la section Le déterminant d'une matrice 2×2, 3×3 et 4×4, donc nous savons que ce ne sera pas très divertissant, n'est-ce pas ? Mais nous avons appris quelques propriétés des déterminants depuis, alors pourquoi ne pas les utiliser ?

Mais avant cela, utilisons le calculateur de déterminant d'une matrice pour voir comment notre outil simplifie ce genre de problèmes. Tout d'abord, nous avons affaire à une matrice 4×4, nous devons donc le dire au calculateur en choisissant l'option appropriée sous « Taille de la matrice ».

Cela nous montrera un exemple d'une telle matrice avec la notation symbolique de ses éléments. Comme nous pouvons le voir, $a_1$, $b_1$, $c_1$, et $d_1$ désignent les nombres de la première ligne. Entrons les termes suivants dans le calculateur.

• $a_1=2$, $b_1=5$, $c_1=1$, $d_1=3$

De même, pour les autres lignes, nous avons :

• $a_2=4$, $b_2=1$, $c_2=7$, $d_2=9$
• $a_3=6$, $b_3=8$, $c_3=3$, $d_3=2$
• $a_4=7$, $b_4=8$, $c_4=1$, $d_4=4$

Dès que nous aurons écrit le dernier chiffre, le calculateur de déterminant de matrice fera sa magie et affichera la réponse :

$|A| = 630$

Très bien, maintenant que nous avons cette réponse, voyons comment nous pouvons la calculer à la main. Évidemment, une façon est de simplement utiliser la formule du déterminant à 24 termes, mais nous aimerions obtenir quelques points supplémentaires pour la créativité et nous voulons utiliser les propriétés des déterminants.

Nous utiliserons le développement de Laplace, mais d'une manière intelligente. Nous choisissons une ligne ou une colonne arbitraire, par exemple la première ligne de la matrice, et nous essayons de rendre le développement un peu plus facile. Après tout, si nous utilisons la formule directement, nous obtiendrons la somme de quatre déterminants 3×3. Ce n'est pas terrible, mais ce n'est pas génial non plus. Nous pouvons cependant faire quelque chose en premier : utiliser les opérations élémentaires sur les colonnes.

Nous avons vu dans la section ci-dessus que le déterminant restera le même si nous ajoutons n'importe quel multiple non nul d'une colonne à une autre colonne. Alors pourquoi ne pas ajouter un $(-2)$multiple de la troisième colonne à la première ?

Ce qui donne :

Rappelez-vous que dans le développement de Laplace, les termes étaient comme suit : $(-1)$ à une certaine puissance multipliée par l'élément de la ligne ou de la colonne que nous avons choisie multipliée par un déterminant plus petit. Par conséquent, si nous développons maintenant $|A|$ par rapport à la première ligne, la somme correspondant au premierterme de la première ligne sera $(-1)$ à une certaine puissance multipliée par $0$ multipliée par un certain déterminant. Et cela fait zéro parce que tout ce qui est multiplié par zéro est égal à zéro.

Génial, nous avons réduit le nombre de termes d'une unité ! Et si nous répétions la procédure pour en obtenir encore moins ? Pour ce faire, nous voulons plus de zéros dans la première ligne, alors transformons le $5$ et le $3$ en $0$. Comme nous l'avons fait précédemment, nous ajoutons à ces colonnes le multiple de la troisième colonne (celle avec $1$) :

Ce qui donne :

Avec cette forme, si nous utilisons le développement de Laplace à la première ligne, nous n'obtiendrons qu'un seul terme, parce que les trois autres seront $0$ fois quelque chose, qui est $0$. Pour être précis, nous obtenons :

Et nous savons très bien comment trouver le déterminant d'une matrice 3×3, n'est-ce pas ? Mais n'oubliez pas que si vous voulez vous amuser un peu plus, vous pouvez utiliser à nouveau le développement de Laplace pour obtenir le déterminant d'une matrice 2×2. Sinon, nous pouvons simplement utiliser la formule du déterminant et, sur la base de ce qui précède, obtenir :

Et voilà, c'est conforme à ce que nous avons obtenu plus haut ! Regardez combien de temps le calculateur de déterminants de matrices peut nous faire gagner.