Calculateur d'exponentiation modulaire

Le calculateur d'exponentiation modulaire d'Omni est là pour vous aider chaque fois que vous avez besoin de calculer des puissances en arithmétique modulaire. Il utilise l'un des algorithmes d'exponentiation modulaire les plus rapides, de sorte qu'il n'y a aucun problème de dépassement de capacité. Si vous devez effectuer l'exponentiation modulaire $\operatorname{mod}n$ à la main, continuez votre lecture pour apprendre plusieurs méthodes que vous pouvez utiliser par vous-même, y compris le petit théorème de Fermat.

Avez-vous déjà consulté le reste de nos calculateurs d'exponentiation et de puissances ?

• Calculateur de multiplication d'exposants 🇺🇸
• Calculateur de division d'exposants 🇺🇸
• Calculateur de puissance fractionnaire 🇺🇸
• Calculateur de régression exponentielle 🇺🇸
• Calculateur de croissance exponentielle

L'exponentiation modulaire signifie que nous effectuons l'exponentiation sur un modulo, c'est-à-dire que pour les entiers donnés $a,b,n$ nous voulons trouver $c$ pour $0 \leq c < n$, tel que :

$c = a^b \operatorname{mod}n$

Le calcul des puissances dans l'arithmétique modulaire est lié aux inverses modulaires, que vous pouvez découvrir à l'aide de notre calculateur d'inverse modulaire 🇺🇸.

Vous pouvez effectuer ce calcul à la main, mais cela peut prendre beaucoup de temps. Alternativement, certains théorèmes mathématiques vous permettent de simplifier le problème à main (voir ci-dessous). Il existe également des algorithmes rapides, qui vous donneront le résultat presque immédiatement. Nous utilisons l'un de ces algorithmes dans ce calculateur d'exponentiation modulaire.

Ce calculateur d'exponentiation modulaire est très intuitif, vous n'aurez donc aucun mal à l'utiliser. Vous devez :

1. Entrer les données pour calculer la puissance de $x^y$ en arithmétique modulaire avec :
   • base $x$ ;
   • exposant $y$ ; et
   • $n$ pour permettre l'opération $\text {mod}\ n$.
2. Vérifier que tout va bien : vos données seront résumées dans la partie inférieure du calculateur.
3. Le résultat de l'exponentiation modulaire y apparaîtra également. Le tour est joué !

Notre calculateur d'exponentiation modulaire sera votre meilleur ami si vous rencontrez fréquemment les puissances en arithmétique modulaire. Poursuivez votre lecture si vous avez besoin de savoir comment calculer $\operatorname{mod}n$ à la main.

Nous allons voir ici plusieurs exemples d'exponentiation modulaire calculés à la main en utilisant différentes méthodes.

Exemple 1 : méthode directe

Calculons $5^4\operatorname{mod}3$.

Nous savons que $5^4 = 625$, donc notre problème est en fait $625\operatorname{mod}3$.

Il est clair que $625$ n'est pas divisible par $3$, mais $624$ l'est, parce que la somme de ses chiffres est $6+2+4 = 12$, qui est divisible par $3$.

Donc $625 - 1$ est divisible par $3$, ce qui signifie que $5^4\operatorname{mod}3 = 625\operatorname{mod}3 = 1$.

Exemple 2 : méthode intelligente

Calculons $5^{44}\operatorname{mod}2$.

Il sera très difficile de calculer $5^{44}$, car ce nombre est très, très grand. Nous devons donc faire preuve d'intelligence. Rappelez-vous que $\operatorname{mod}2$ signifie que nous nous demandons si le nombre à main est pair ou impair. S'il est pair, alors il est égal à $0\operatorname{mod}2$. S'il est impair, il est égal à $1\operatorname{mod}2$.

Lorsque nous calculons des puissances consécutives de $5$, nous obtenons $5, 25, 625,...$. Comme vous pouvez le constater, nous avons toujours $5$ comme dernier chiffre. En effet, si vous avez un nombre dont le dernier chiffre est $5$, et que vous multipliez ce nombre par $5$, vous obtiendrez forcément $5$ comme dernier chiffre. Pour vous en convaincre, imaginez que vous exécutez l'algorithme de la multiplication longue : $5 \times 5=25$. Donc, $5$ va dans la ligne de résultat, et $2$ est transféré dans la colonne suivante. Quoi qu'il arrive ensuite, vous avez $5$ comme dernier chiffre.

Un nombre dont le dernier chiffre est $5$ est impair. Ainsi, $5^{44}\operatorname{mod}2 = 1$.

Exemple 3 : dernier chiffre

Calculons $5^{444}\operatorname{mod}10$.

Tout d'abord, vous devez comprendre que calculer $\operatorname{mod}10$ revient à calculer le dernier chiffre du nombre. Nous avons déjà établi qu'une puissance entière positive quelconque de $5$ donne un nombre qui se termine par $5$ (voir ci-dessus). Par conséquent, $5^{444}\operatorname{mod}10 = 5$.

Exemple 4 : le petit théorème de Fermat

Calculons $162^{60}\operatorname{mod}61$.

Le petit théorème de Fermat énonce que si $n$ est un nombre entier, alors pour tout entier $a$, on a :

$a^n \operatorname{mod} n = a$

Si en plus $a$ n'est pas divisible par $n$, alors :

$a^{n-1} \operatorname{mod} n = 1$

Ainsi, puisque dans notre cas nous avons $n = 61$, qui est un nombre premier, et $a = 162$, qui n'est pas divisible par $61$, nous obtenons :

$162^{60}\operatorname{mod}61 = 1$.