Calculateur d'inverse d'une matrice

Bienvenue sur le calculateur d'inverse d'une matrice, aussi appelé calculateur de matrice inversible ou calculateur de matrice inverse, où vous aurez l'occasion d'apprendre tout ce qu'il faut savoir sur l'inversion des matrices. Cette opération est similaire à la recherche de la fraction d'un nombre donné, sauf que nous multiplions des matrices et que nous voulons obtenir la matrice identité comme résultat.

Mais ne vous inquiétez pas ! Avant de donner, par exemple, l'inverse d'une matrice $4\times4$, nous allons découvrir quelques définitions de base, notamment celles d'une matrice singulière et d'une matrice non singulière. Ensuite, nous verrons la formule générale de l'inverse d'une matrice, dont l'inverse d'une matrice $2\times2$, et quelques propriétés utiles d'une matrice inversible. Enfin, nous donnerons un exemple avec des calculs approfondis pour trouver l'inverse d'une matrice $3\times3$.

N'attendez plus et essayez notre outil de calcul des matrices inverses !

À l'école primaire, on vous enseigne les nombres naturels, $1$, $2$, ou $143$, et ils sont parfaitement logiques : vous avez $1$ petite voiture, $2$ bandes dessinées, et $143$ jours terriblement longs jusqu'à Noël. On vous dit ensuite qu'il existe aussi des fractions (ou nombres rationnels, comme on les appelle), telles que $1/2$, ou des décimales, comme $1,\!25$, ce qui semble encore raisonnable. Après tout, vous avez donné $1/2$ de votre barre de chocolat à votre frère, et elle a coûté $1,\!25\ \~€$. Ensuite, vous rencontrez les nombres négatifs comme $-2$ ou $-30$, et ils sont un peu plus difficiles à comprendre. Mais, en y réfléchissant bien, cela a du sens, un élève de votre classe a reçu $-2$ points à un examen pour avoir triché, et il y avait $-30\ \~€$ sur les jeans le jour du Black Friday.

Enfin, l'école introduit les nombres réels et des symboles mathématiques comme les racines carrées ou $\pi$. On nous dit alors que $\sqrt{4}$ est égale à $2$, $\sqrt{3}$ est égale à quelque chose comme $1,\!732\,05...$ et des poussières.

Ensuite, on apprend l'existence des nombres complexes. Et puis des matrices.
Une matrice est un tableau d'éléments (généralement des nombres) qui possède un ensemble de lignes et de colonnes :

De plus, on dit qu'une matrice a des cellules dans lesquelles on écrit les éléments de notre tableau. Par exemple, la matrice $A$ ci-dessus contient la valeur $2$ dans la cellule qui se trouve dans la deuxième ligne et la deuxième colonne. Nous commençons par les matrices à une cellule, qui sont en fait la même chose que les nombres réels.

Comme vous pouvez le constater, les matrices sont un outil utilisé pour écrire les nombres de manière concise et opérer avec l'ensemble comme un seul objet. En tant que telles, elles sont extrêmement utiles dans les cas suivants :

• les systèmes d'équations, en particulier lorsque vous utilisez la règle de Cramer ou comme nous l'avons vu dans notre calculateur de conditionnement d'une matrice 🇺🇸 ;
• les vecteurs et les espaces vectoriels ;
• la géométrie dans l'espace à 3 dimensions (par exemple, le produit scalaire et le produit vectoriel) ;
• les valeurs propres et vecteurs propres ; et
• la théorie des graphes, ainsi que les mathématiques discrètes.

Les calculs avec les matrices sont beaucoup plus délicats qu'avec les nombres. Par exemple, si nous voulons les additionner, nous devons d'abord nous assurer que nous pouvons le faire. Mais comme nous sommes ici sur le calculateur de matrice inversible, notre outil de calcul de matrice inverse, nous laissons l'addition pour plus tard. Mais d'abord, familiarisons-nous avec quelques définitions.

Que vous souhaitiez calculer l'inverse d'une matrice $2\times2$ ou l'inverse d'une matrice $4\times4$, vous devez d'abord comprendre une chose : l'inverse n'existe pas toujours. Pensez à une fraction, par exemple $a / b$. Une telle chose est parfaitement correcte à condition que $b$ ne soit pas nul. Si c'est le cas, l'expression n'a pas de sens, et il en va de même pour les matrices.

Une matrice singulière est une matrice qui n'a pas d'inverse. Une matrice non singulière est (surprise, surprise) une matrice qui en a une. Par conséquent, chaque fois que vous êtes confronté·e à un exercice avec une matrice inverse, vous devez commencer par vérifier si elle n'est pas singulière. Sinon, il ne sert à rien de s'acharner sur les calculs. C'est tout simplement impossible.
Vous pouvez toujours vous approcher de l'inverse d'une matrice singulière en calculant à la place sa pseudo-inverse de Moore-Penrose. Si vous ne savez pas ce qu'est la pseudo-inverse, n'attendez plus et sautez sur le calculateur de pseudo-inverse 🇺🇸 !

Par définition, l'inverse d'une matrice $A$ est une matrice $A^{-1}$ pour laquelle :

Où $\mathbb{I}$ désigne la matrice d'identité, c'est-à-dire une matrice carrée qui n'a que des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs. Par exemple, la matrice identité $3\times3$ est :

En d'autres termes, lorsque l'on nous donne une matrice arbitraire $A$, nous voulons en trouver une autre pour laquelle le produit des deux (dans n'importe quel ordre) donne la matrice d'identité. Considérez $\mathbb{I}$ comme étant $1$ (l'élément d'identité) dans le monde des matrices. Après tout, pour une fraction $a / b$, son inverse est $b / a$, mais pas seulement parce que nous la « retournons » (du moins, pas par définition). C'est dû à une propriété de multiplication similaire :

Nous avons passé suffisamment de temps sur les définitions, ne pensez-vous pas ? Voyons enfin la formule de calcul de la matrice inverse et apprenons à trouver l'inverse d'une matrice $2\times2$, $3\times3$, et $4\times4$.

Avant de jeter un coup d'œil sur des cas particuliers, comme l'inverse d'une matrice $2\times2$, regardons de plus près la définition générale.

Soit $A$ une matrice carrée non singulière de taille $n$. L'inverse $A^{-1}$ (si elle existe) est alors donné par la formule :

Le $|A|$ est le déterminant de $A$ (à ne pas confondre avec la valeur absolue d'un nombre). Le $A_{ij}$ désigne les mineurs $i,j$ de $A$, c'est-à-dire le déterminant de la matrice obtenue à partir de $A$ en oubliant sa $i^{\mathrm{ème}}$ ligne et sa $j^{\mathrm{ème}}$ colonne (c'est une matrice carrée de taille $n-1$). Ce que nous avons obtenu s'appelle la comatrice de $A$. Enfin, le $^{\mathrm{T}}$ à l'extérieur du tableau est la transposition. Cela signifie qu'une fois que nous connaissons les cellules à l'intérieur, nous devons les « inverser » de sorte que la $i^{\mathrm{ème}}$ ligne devienne sa colonne $i^{\mathrm{ème}}$ et vice versa, comme nous vous l'avons appris dans le calculateur de transposée d'une matrice 🇺🇸. On obtient ainsi la matrice adjointe de $A$. Toutes ces étapes sont détaillées dans le calculateur de matrice adjointe 🇺🇸 d'Omni, au cas où vous auriez besoin d'une explication plus formelle.

Pfiou… ça fait beaucoup de symboles et de charabia technique. Certains d'entre nous se détendent en regardant des comédies romantiques, et d'autres écrivent des définitions qui ont l'air intelligent. Qui sommes-nous pour les juger ?

Dans la section suivante, nous soulignons quelques faits importants à prendre en compte lorsque l'on jette un coup d'œil à l'inverse d'une matrice $4\times4$, ou quelle que soit sa taille. Mais avant de les voir, prenons le temps de comprendre ce que devient la formule de l'inverse de la matrice ci-dessus lorsque c'est l'inverse d'une matrice $2\times2$ que nous recherchons.

Laissez :

Ensuite, les mineurs (les $A_{ij}$ ci-dessus) proviennent de la suppression d'une des lignes et d'une des colonnes. Mais si nous faisons cela, nous nous retrouverons avec une seule cellule ! Et le déterminant d'une telle chose (une matrice $1\times1$ ) est juste le nombre dans cette cellule. Par exemple, $A_{12}$ vient de l'oubli de la première ligne et de la deuxième colonne, ce qui fait qu'il ne reste que $c$ (ou plutôt $\begin{pmatrix}c\end{pmatrix}$ puisqu'il s'agit d'une matrice). C'est pourquoi,

De plus, dans ce cas particulier, le déterminant est suffisamment simple : $|A| = a\times d - b\times c$. Donc, après avoir pris les moins et la transposée, nous arrivons à une belle et jolie formule pour l'inverse d'une matrice $2\times2$ :

On peut soutenir que l'inverse d'une matrice $4\times4$ n'est pas aussi facile à calculer que dans le cas $2\times2$. Il existe une autre façon de calculer l'inverse d'une matrice ; cette méthode implique des opérations élémentaires sur les lignes et ce que l'on appelle l'élimination de Gaussien (pour plus d'informations, n'oubliez pas de consulter le calculateur de matrice échelonnée 🇺🇸). À titre d'exemple, nous décrivons ci-dessous comment trouver l'inverse d'une matrice $3\times3$ en utilisant l'algorithme alternatif.

Supposons que vous souhaitiez calculer l'inverse d'une matrice :

Nous construisons ensuite une matrice à trois lignes et deux fois plus de colonnes comme celle ci-dessous :

Et nous utilisons l'élimination de Gauss-Jordan sur les lignes à 6 éléments de la matrice pour la transformer en quelque chose de la forme :

Où les $x$, $y$ et $z$ sont obtenus en cours de route à partir des transformations. Dans ce cas :

Quelle que soit la méthode que vous préférez, il peut être utile de vérifier quelques propriétés du calul de l'inverse de la matrice pour faciliter un peu nos études.

Vous trouverez ci-dessous quelques observations et les propriétés de l'inverse de la matrice.

1. L'inverse d'une matrice n'existe pas toujours. Jetons un coup d'œil plus attentif à la formule de calcul de la matrice inverse dans la section ci-dessus. Elle contient le déterminant de la matrice. Cela signifie que, tout d'abord, nous devons avoir une matrice carrée même pour commencer à penser à son inverse. Deuxièmement, le déterminant apparaît au dénominateur d'une fraction dans la formule de la matrice inverse. Par conséquent, si ce déterminant est égal à $0$, cette expression n'a aucun sens et l'inverse n'existe pas.

2. L'inverse d'une inverse est la matrice initiale. En d'autres termes, si vous inversez une matrice deux fois, vous obtiendrez ce avec quoi vous avez commencé. Symboliquement, nous pouvons écrire cette propriété sous la forme $(A^{-1})^{-1} = A$ pour une matrice arbitraire non singulière $A$.

3. L'inverse d'un produit est le produit des inverses dans l'ordre inverse. Cela signifie que si vous avez deux matrices carrées $A$ et $B$ de même taille et que vous voulez calculer l'inverse de leur produit, vous pouvez trouver leurs inverses individuels et les multiplier, mais dans l'ordre inverse. En bref :

   $(A\times B)^{-1} = B^{-1}\times A^{-1}$

4. L'inverse de la transposée est la transposée de l'inverse. En substance, il importe peu que vous transposiez d'abord une matrice et que vous calculiez ensuite son inverse ou que vous trouviez d'abord l'inverse et que vous ne la transposiez qu'ensuite. En notation symbolique, cela se traduit par $(A^{\mathrm{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathrm{T}}$. En particulier, observez que cela repose sur le fait que le déterminant d'une matrice reste le même après la transposition.

Nous espérons que vous êtes suffisamment intrigué·e par cette théorie et que vous avez hâte d'en parler à vos amis autour d'une tasse de café. Cependant, avant de propager vos connaissances, nous allons parcourir un exemple ensemble et voir comment trouver l'inverse d'une matrice $3\times3$ dans la pratique.

Nous allons maintenant étudier étape par étape comment trouver l'inverse d'une matrice $3\times3$. Supposons que l'on vous donne un tableau :

Avant de passer aux calculs de la matrice inverse, voyons comment nous pouvons utiliser le calculateur de matrice inverse pour faire tout cela à notre place.

Tout d'abord, nous avons affaire à une matrice $3\times3$, nous devons donc en informer le calculateur de matrice inversible en choisissant l'option appropriée sous « Taille de la matrice ». Cela nous montrera un exemple symbolique d'un tel tableau avec des cellules désignées par $a_1$, $a_2$, et ainsi de suite. Nous devons saisir les nombres donnés par notre matrice sous les symboles corrects de l'image. Par exemple, $a_3$ se trouve dans la première ligne de la troisième colonne, nous trouvons donc la cellule correspondante dans notre matrice et vérifions qu'elle contient $5$. Nous entrons donc $a_3 = 5$ dans le calculateur de matrice inverse. De même, nous obtenons les autres cellules.

Nous définissons les autres cellules :

Ensuite :

Et.. :

Au moment où nous introduisons le dernier nombre, le calculateur de matrice inverse affichera la réponse ou nous dira que l'inverse n'existe pass. Mais, si vous ne voulez pas de spoilers, nous pouvons aussi faire les calculs à la main.

A priori, nous ne savons même pas si $A^{-1}$ existe. Pour s'en assurer, calculons son déterminant :

C'est une matrice non singulière.

Rappelez-vous la formule de calcul de l'inverse d'une matrice et observez qu'il est maintenant temps de calculer les $A_{ij}$ pour $i$ et $j$ entre $1$ et $3$. Prenons, par exemple, $A_{11}$ et $A_{23}$. Le premier des deux est le déterminant de ce que nous obtenons en oubliant la première ligne et la première colonne de $A$. Cela signifie que :

De même, $A_{23}$ est obtenu en rayant la deuxième ligne et la troisième colonne :

Cela donne :

Et… :

La première ligne complète est :

Pour la deuxième ligne, nous trouvons :

Et la troisième ligne est :

Il ne reste plus qu'à utiliser la formule de calcul de la matrice inverse et à y introduire tous les nombres que nous avons calculés ci-dessus :

Ce n'était pas si mal, n'est-ce pas ? Malgré tout, le calculateur de l'inverse d'une matrice est très utile puisqu'il nous évite tous ces tracas.