Calculateur d'écart type

Le calculateur d'écart type vous montre comment calculer la moyenne et l'écart type d'un ensemble de données. Si vous avez des cours sur les statistiques, il est essentiel d'apprendre à trouver l'écart type, car il est très largement utilisé.

Vous allez adorer les caractéristiques particulières de notre calculateur d'écart type.

• Il fonctionne comme un calculateur d'écart type de population ou d'échantillon.
• Nous vous montrons les étapes à suivre pour une meilleure compréhension du sujet.
• C'est un excellent outil d'apprentissage et de calcul pour les petits ensembles de données.
• La définition et la formule de l'écart type sont expliquées ci-dessous.

Alors, lisez la suite !

L'écart type est une mesure de la variabilité d'un ensemble de données. En d'autres termes, l'écart type décrit à quel point les données « s'étalent » autour de la moyenne. Ce calculateur traite des points de données séparés, mais nous disposons également d'un calculateur d'écart type pour les données groupées 🇺🇸 dédié aux données groupées.

Un grand écart type indique qu'un ensemble de données est plus propagé.

Un petit écart type indique que les données sont plus étroitement regroupées autour de la moyenne ou moins propagées.

Pouvez-vous imaginer à quoi ressemble un écart type ? Bien que vous puissiez calculer l'écart type pour n'importe quel ensemble de données, il peut être utile de visualiser l'écart type pour les données normalement distribuées. La règle empirique stipule que pour tout ensemble de données qui se rapproche d'une loi normale centrée, environ 68 % des données se situent à moins d'un écart type de la moyenne, comme le montre la figure ci-dessous.

L'écart type est non seulement une mesure de variation largement utilisée, mais il constitue également la base d'autres outils qui caractérisent la variation, notamment les quantités calculées par le calculateur d'écart type relatif 🇺🇸 et le calculateur d'intervalle de confiance.

La définition mathématique de l'écart type (σ) est la racine carrée positive de la variance ($\sigma^2$) :

L'équation de l'écart type semble simple, mais comment calculer la variance ?

La variance est définie comme la différence moyenne au carré par rapport à la moyenne pour tous les points de données. Elle s'écrit comme suit :

où :

• $\sigma^2$ – variance
• $\mu$ – moyenne
• $x_i$ – le i^ème point de données sur $N$ points de données totaux

Vous pouvez calculer la variance en trois étapes :

1. Trouvez la différence par rapport à la moyenne pour chaque point. Utilisez la formule :
   $x_i - \mu$

2. Élevez au carré la différence par rapport à la moyenne pour chaque point :
   $(x_i - \mu)^2$

3. Trouvez la moyenne des différences élevées au carré par rapport à la moyenne que vous avez trouvée à l'étape 2 :
   $\frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$

   Il s'agit de la variance pour les données de population. Notez que cette étape est légèrement différente pour les données d'échantillon (voir la section suivante).

Rappelons que l'écart type est la racine carrée (positive) de la variance, de sorte que l'équation complète de l'écart type (pour les données de population) s'écrit :

Dans de nombreuses expériences scientifiques, seul un échantillon d'une population est mesuré pour des raisons pratiques. Cet échantillon nous permet de faire des déductions sur la population. Toutefois, lorsque les données d'un échantillon sont utilisées pour estimer la variance d'une population, la formule de variance $\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$ sous-estime la variance de la population.

Pour éviter de sous-estimer la variance d'une population (et par conséquent, l'écart type), nous remplaçons $N$ par $N - 1$ dans les formules de variance et d'écart type, lorsque des données d'échantillon sont utilisées. Cet ajustement est connu sous le nom de correction de Bessel.

La formule de la variance de l'échantillon devient alors :

et la formule complète de l'écart-type devient :

où :

• $s^2$ – estimation de la variance
• $s$ – estimation de l'écart type
• $\={x}$ (prononcé « x-barre ») – moyenne de l'échantillon

Supposons que nous ayons un ensemble de données avec sept nombres : 2, 4, 5, 6, 6, 9, 10. Comment calculer l'écart type ? Suivez ces étapes :

1. Calculez la moyenne.

Pour calculer la moyenne (x̄), divisez la somme de tous les nombres par le nombre de points de données :

$\={x} = \frac{2 + 4 + 5 + 6 + 6 + 9 + 10}{7} = 6$

2. Calculez les différences élevées au carré par rapport à la moyenne.

Maintenant que nous connaissons la moyenne (x̄ = 6), nous allons calculer la différence au carré par rapport à la moyenne pour chaque point de données :

$(x_i - \={x})^2$

Pour le premier point dont la valeur est 2, le calcul serait :

$(2-6)^2 = (-4)^2 = 16$

Les différences calculées au carré par rapport à la moyenne pour tous les points de données sont indiquées dans le tableau ci-dessous :

3. Calculez la variance et l'écart type;

Comme nous utilisons des données d'échantillon, nous calculons la variance en utilisant l'équation de variance de l'échantillon et les différences au carré par rapport à la moyenne que nous avons trouvées à l'étape 2 :

$s^2 = \frac{1}{N-1}\sum (x_i - \={x})^2$

ce qui donne

$s^2 = \frac{16 + 4 + 1 + 0 + 0 + 9 + 16}{7 - 1} = 7,\!666\,7$

L'écart type (s) est la racine carrée de la variance, notre dernière étape est donc :

$s = \sqrt{7,\!666\,7} = 2,\!768\,9$.

L'écart type de l'échantillon de données est de 2,8. Maintenant que vous savez comment trouver l'écart type, essayez de le calculer vous-même, puis vérifiez votre réponse en utilisant notre calculateur !

Si vous calculez l'écart type avec une calculatrice de poche, il existe une formule plus simple à utiliser pour calculer la variance. Cette formule alternative est mathématiquement équivalente, mais plus facile à taper dans une calculatrice.

La formule facile à taper pour la variance (pour les données de population) est la suivante :

La formule simple de la variance de l'échantillon est la suivante :

Pour calculer l'écart type, vous devez d'abord calculer la variance en utilisant l'une des deux formules ci-dessus. L'écart type est alors la racine carrée de la variance.

Par exemple, avec un échantillon de données 1, 2, 4, 6, le calcul de la variance de l'échantillon serait le suivant :
$\sum(x_i^2) = (1^2 + 2^2 + 4^2 + 6^2) = 57$
$(\sum x_i)^2 = \frac{(1 + 2 + 4 + 6)^2}{4} = \frac{169}{4} = 42,\!25$

ce qui donne

$\sigma^2 = \frac{57 - 42,\!25}{4-1} = 4,\!916\,7$.

L'écart type serait alors la racine carrée de la variance :

$\sqrt{4,\!916\,7} \approx 2,\!2$

Essayez vous-même, puis vérifiez votre réponse avec notre calculateur d'écart type !

Tableau 1. Variables pour les données de population

Tableau 2. Variables pour les données de l'échantillon