चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर

यह चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर आपको मदद करता है यह अनुमान लगाने में कि आप अपनी जमा राशि पर कितना पैसा कमाएंगे। समझदारी से वित्तीय निर्णय लेने के लिए, आपको अंतिम परिणाम का पूर्वानुमान लगाने की क्षमता होनी चाहिए। इसलिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि चक्रवृद्धि ब्याज की गणना कैसे की जाती है। चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का वास्तविक जीवन में सबसे सामान्य प्रयोग नियमित बचत की गणना है।

निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर पाने के लिए आगे पढ़ें:

• ब्याज दर की परिभाषा क्या है?
• चक्रवृद्धि ब्याज की परिभाषा क्या है, और चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र क्या है?
• साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज दर में क्या अंतर है?
• चक्रवृद्धि ब्याज की गणना कैसे की जाती है?
• सबसे सामान्य चक्रवृद्धि आवृत्ति (कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसीज़) क्या हैं?

वित्त में, ब्याज दर को संपत्ति के प्रयोग के लिए एक उधारकर्ता द्वारा उधार लेने वाले से लिए गए राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, उधार लेने वाले के लिए, ब्याज दर ऋण की लागत है, जबकि उधारकर्ता के लिए, यह लाभ की दर है।

ध्यान दें कि जब आप एक बैंक में पैसा जमा करते हैं (उदाहरण स्वरूप, अपने बचत खाते में पैसा डालें), आपने, वित्तीय दृष्टिकोण से, बैंक को पैसा उधार दिया है। ऐसे मामले में, ब्याज दर आपके लाभ को दर्शाती है।

ब्याज दर सामान्यत: मुख्य राशि (बाकी ऋण या जमा की मौलिक मूल्य) के प्रतिशत के रूप में प्रकट की जाती है। आमतौर पर, इसे वार्षिक आधार पर प्रस्तुत किया जाता है, जिसे वार्षिक प्रतिशत उत्पादन (APY) या प्रभावी वार्षिक दर (EAR) के रूप में जाना जाता है।

आमतौर पर, चक्रवृद्धि ब्याज को ऐसा ब्याज माना जाता है जो केवल प्रारंभिक निवेशित राशि पर ही नहीं, बल्कि उस पर अब तक जमा किए गए अन्य ब्याज पर भी प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में कहें तो, चक्रवृद्धि ब्याज वह है जिसमें प्रारंभिक मूलधन और इस मूलधन पर अब तक जमा ब्याज, दोनों पर ब्याज होता है। इसलिए, चक्रवृद्धि ब्याज की मौलिक विशेषता यह है कि ब्याज स्वयं ब्याज उत्पन्न करता है। इस अवधारणा को जोड़ने से जमा राशि या ऋण तेजी से बढ़ता है।

आप चक्रवृद्धि ब्याज समीकरण का उपयोग निर्धारित अवधि के बाद निवेश की मौलिक मूल्य को जानने या कुछ निवेशों को खरीदने और बेचने पर प्राप्त हुई दर का अनुमान लगाने के लिए कर सकते हैं। यह आपको कुछ अन्य प्रश्नों का भी उत्तर देने में मदद करता है, जैसे आपके निवेश को दोगुना करने में कितना समय लगेगा।

नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इन प्रश्नों का उत्तर देंगे।

आपको जानना चाहिए कि साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज में अंतर है। साधारण ब्याज सिर्फ और सिर्फ प्रारंभिक राशि पर ही गणना किया जाता है। वहीं, चक्रवृद्धि ब्याज वह है जिसमें प्रारंभिक राशि के अलावा अब तक जमा ब्याज पर भी ब्याज की गणना होती है।

अधिकांश वित्तीय सलाहकार आपको बताएंगे कि चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी एक वर्ष में चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है। लेकिन अगर आप सुनिश्चित नहीं हैं कि चक्रवृद्धि क्या है, तो यह परिभाषा आपके लिए अर्थहीन होगी... इस शब्द को समझने के लिए, आपको यह जानना चाहिए कि चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी प्रत्येक वर्ष मुख्य राशि पर ब्याज कितनी बार जोड़ा जाता है, इस प्रश्न का उत्तर है। दूसरे शब्दों में, चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी वह समय अवधि है जिसके बाद प्रारंभिक राशि पर ब्याज की गणना की जाएगी।

उदाहरण स्वरूप:

• वार्षिक (1/वर्ष) चक्रवृद्धि में चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी एक होती है,
• त्रैमासिक (4/वर्ष) चक्रवृद्धि में चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी चार होती है,
• मासिक (12/वर्ष) चक्रवृद्धि में चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी बारह होती है।

ध्यान दें कि चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी जितनी अधिक होती है, अंतिम संतुलन उतना ही अधिक होता है। हालांकि, जब फ्रीक्वेंसी असमान रूप से अधिक होती है, तो अंतिम मौल्य एक विशेष सीमा से अधिक नहीं हो सकता।

कैलकुलेटर का मुख्य ध्यान चक्रवृद्धि तंतु पर है, इसलिए हमने एक चार्ट डिज़ाइन किया है जहाँ आप वार्षिक ब्याज संतुलन की प्रगति को देख सकते हैं। अगर आप वार्षिक चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी से अधिक चुनते हैं, तो डायग्राम उस अतिरिक्त या अधिक ब्याज को दिखाएगा जो उच्च फ्रीक्वेंसी द्वारा वार्षिक चक्रवृद्धि पर प्राप्त हुआ है। इस प्रकार, आप चक्रवृद्धि की असली शक्ति को आसानी से देख सकते हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र एक समीकरण है जो आपको अनुमान लगाने में मदद करता है कि आप अपने बचत खाते से कितना कमाएंगे। यह काफी जटिल है क्योंकि इसमें केवल वार्षिक ब्याज दर और वर्षों की संख्या को ध्यान में रखकर ही नहीं बल्कि प्रति वर्ष ब्याज कितनी बार जुड़ा जाता है, इस बात को भी ध्यान में रखते हुए तैयार किया गया है।

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र इस प्रकार है:

जहाँ:

• $\mathrm{FV}$ – निवेश का भविष्य मूल्य, हमारे कैलकुलेटर में यह अंतिम शेष है।
• $P$ – प्रारंभिक शेष (निवेश का मूल्य);
• $r$ – वार्षिक ब्याज दर (दशमलव में);
• $m$ – ब्याज प्रति वर्ष कितनी बार जोड़ा जाता है (चक्रवृद्धि अवधि); और
• $t$ – पैसा कितने सालों तक निवेश के लिए रखा जाता है।

यह जानना भी महत्वपूर्ण है कि जब चक्रवृद्धि अवधि एक होती है ($m = 1$), तब ब्याज दर ($r$) को CAGR (संयुक्त वार्षिक वृद्धि दर) कहा जाता है: आप इस मात्रा के बारे में हमारे CAGR कैलकुलेटर 🇺🇸 पर जान सकते हैं।

वास्तव में, आपको अपने निवेश के भविष्य मूल्य का अनुमान लगाने के लिए पिछले अनुभाग से चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र याद करने की आवश्यकता नहीं है। आपको चक्रवृद्धि ब्याज की गणना कैसे करनी है, इसका भी पता होने की जरूरत नहीं है! हमारे चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर की मदद से, आप कुछ ही सेकंड में इसे कर सकते हैं, कभी भी और जहां भी चाहें।

हमारे स्मार्ट कैलकुलेटर के साथ, आपको अपने निवेश का भविष्य मूल्य की गणना करने के लिए उपयुक्त फ़ील्ड में जानकारी भरनी है:

• मुख्य गुण

1. प्रारंभिक शेष – धनराशि जिसे आप निवेश या जमा करने जा रहे हैं।
2. ब्याज दर – वार्षिक आधार पर व्यक्त की गई ब्याज दर।
3. अवधि – समय अवधि जिसमें आप पैसा निवेश करने जा रहे हैं।
4. चक्रवृद्धि अवधि – इस फ़ील्ड में, आपको चुनना चाहिए कि चक्रवृद्धि आपके शेष पर कितनी बार लागू होती है। आमतौर पर, ब्याज मुख्य राशि में दैनिक, साप्ताहिक, मासिक, त्रैमासिक, अर्ध-वार्षिक या वार्षिक रूप से जोड़ा जाता है। लेकिन आप इसे निरंतर चक्रीयता के रूप में भी सेट कर सकते हैं, जो चक्रीय फ्रीक्वेंसी की सैद्धांतिक सीमा है। इस मामले में, जब चक्रीयता होती है, उस समय की संख्या अनंत है।

• अतिरिक्त जमा

1. कितना – धनराशि जिसे आप खाते में जमा करने की योजना बना रहे हैं।
2. कितनी बार – यहाँ आप अतिरिक्त जमा की फ़्रीक्वेंसी चुन सकते हैं।
3. कब – आपको अतिरिक्त जमा के लेन-देन का समय चुनना चाहिए। विशेष रूप से, आप पैसे खाते में आरंभ में या अवधि के अंत में रख सकते हैं।
4. जमा की वृद्धि दर – यह विकल्प आपको अतिरिक्त जमा की वृद्धि दर सेट करने की अनुमति देता है। यह विकल्प लंबे समय तक विशेष रूप से उपयोगी हो सकता है, जब आपकी आजीविका संभावना से बढ़ सकती है, उदाहरण स्वरूप, मुद्रास्फीति और/या पदोन्नतियों के कारण।

बस इतना ही! हमारे चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर तुरंत आपके लिए सभी आवश्यक गणना करता है और आपको परिणाम प्रदान करता है।

दो मुख्य परिणाम हैं:

• अंतिम शेष, जो निर्दिष्ट अवधि के बाद आपको मिलने वाली कुल धनराशि है, और
• कुल ब्याज, जो कुल चक्रवृद्धि ब्याज भुगतान है।

अगर आप अतिरिक्त जमा फ़ील्ड सेट करते हैं, तो हमने आपको चक्रवृद्धि प्रारंभिक शेष और चक्रवृद्धि अतिरिक्त शेष के परिणाम दिए हैं।

इसके अलावा, हम आपको कुल ब्याज राशि में उनका योगदान भी दिखाते हैं, अर्थात, प्रारंभिक शेष पर ब्याज और अतिरिक्त जमा पर ब्याज।

• क्या आपको चक्रवृद्धि ब्याज समीकरण को समझने में दिलचस्पी है?
• क्या आप चक्रवृद्धि ब्याज दर की विस्तृत जानकारी जानना चाहते हैं?
• क्या आप जानना चाहते हैं कि हमारा कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
• क्या आप चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के परिणाम कैसे समझें, इसकी जानकारी चाहते हैं?
• क्या आप चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र के सभी उपयोगों को जानना चाहते हैं?

निम्न उदाहरण आपके इन प्रश्नों का उत्तर देने में मददगार होंगे। हम उम्मीद करते हैं कि इन्हें पढ़ने के बाद आपको चक्रवृद्धि ब्याज को समझने और उसे प्रयोग में लाने में किसी भी प्रकार की परेशानी नहीं होगी।

पहला उदाहरण सबसे साधारण है, जिसमें हम एक प्रारंभिक निवेश के भविष्य मूल्य की गणना करते हैं।

प्रश्न

आप 10 वर्षों के लिए ₹10,000 निवेश करते हैं, जिसकी वार्षिक ब्याज दर 5% है। ब्याज वार्षिक रूप से जोड़ा जाता है। 10 वर्षों के बाद आपके निवेश का मूल्य क्या होगी?

समाधान

सबसे पहले हम तय करते हैं कि कौन-कौन सी मात्राएँ दी गई हैं और हमें क्या खोजना है। हम जानते हैं कि आप ₹10,000 निवेश करने जा रहे हैं - यह आपकी प्रारंभिक राशि P है, और आपके पैसा निवेश करने के लिए वर्षों की संख्या 10 है। इसके अलावा, ब्याज दर r 5% के बराबर है, और ब्याज वार्षिक रूप से जोड़ा जाता है, इसलिए संचित ब्याज सूत्र में m 1 के बराबर है।

हम यह जानना चाहते हैं कि आपको इस निवेश से कितना पैसा मिलेगा। अर्थात, हम आपके निवेश के भविष्य मूल्य FV को खोजना चाहते हैं।

इसे पाने के लिए, हमें संचित ब्याज सूत्र में उपयुक्त संख्याओं को डालना होगा:

उत्तर

10 वर्षों के बाद आपके निवेश का मूल्य ₹16,288.95 होगा।

आपकी कुल मुनाफा राशि होगी: ₹16,288.95 - ₹10,000 = ₹6,288.95।

ध्यान दें कि गणना करते समय आपको पूर्णांकन के साथ बहुत सतर्क रहना चाहिए। अन्यथा, आपका उत्तर गलत हो सकता है। सटीकता आपके गणना की मात्राओं पर निर्भर है। सामान्य गणनाओं के लिए, दशमलव बिंदु के बाद छह अंक पर्याप्त होने चाहिए।

दूसरे उदाहरण में, हम ब्याज को मासिक रूप से जोड़ते हुए प्रारंभिक निवेश के भविष्य मूल्य की गणना करते हैं।

प्रश्न

आप ₹10,000 का निवेश करते हैं, जिस पर 5% वार्षिक ब्याज दर है। ब्याज मासिक रूप से जोड़ा जाता है। 10 वर्षों के बाद आपके निवेश का मूल्य क्या होगा?

समाधान

पहले उदाहरण की तरह, हमें पहले मौलिक मूल्यों को निर्धारित करना चाहिए। प्रारंभिक राशि $P$ ₹10,000 है, आप जितने साल पैसा निवेश करने जा रहे हैं वह $10$ है, ब्याज दर $r$ 5% के बराबर है, और संयोजन आवृत्ति $m$ 12 है। हमें निवेश का भविष्य मूल्य $\mathrm{FV}$ प्राप्त करना है।

चलिए संयोजित ब्याज सूत्र में उपयुक्त संख्याएँ डालते हैं:

उत्तर

10 वर्षों के बाद आपके निवेश का मूल्य ₹16,470.09 होगा।

आपका लाभ $\mathrm{FV} - P$ होगा। यह ₹16,470.09 - ₹10,000.00 = ₹6,470.09 है।

क्या आपने ध्यान दिया कि यह उदाहरण पहले वाले से काफी समान है? वास्तव में, एकमात्र अंतर संयोजन आवृत्ति में है। ध्यान दें कि केवल अधिक अक्सर संयोजन की वजह से इस बार आप समान अवधि में ₹181.14 अधिक कमाएंगे: ₹6,470.09 - ₹6,288.95 = ₹181.14।

अब, आइए एक ऐसे प्रश्न का प्रयास करते हैं जिसे संयुक्त ब्याज के सूत्र का उपयोग करके उत्तर दिया जा सकता है। इस बार, कुछ मौलिक बीजगणित परिवर्तनों की आवश्यकता होगी। इस उदाहरण में, हम एक ऐसी स्थिति पर विचार करेंगे जिसमें हमें प्रारंभिक संतुलन, अंतिम संतुलन, वर्षों की संख्या और संयोजन आवृत्ति का पता हो, लेकिन हमसे ब्याज दर जानने के लिए कहा जाता है। इस प्रकार की गणना को तब लागू किया जा सकता है जब आप एक संपत्ति (जैसे, संपत्ति) को खरीदने और बेचने पर प्राप्त दर जानना चाहते हैं जिसे आप निवेश के रूप में उपयोग कर रहे हैं।

डेटा और प्रश्न
आपने 2,000 रुपये में एक चित्र खरीदा। छह साल बाद, आपने उस चित्र को 3,000 रुपये में बेच दिया। अगर हम मान लें कि आपने चित्र को निवेश के रूप में देखा, तो आपने कितनी वार्षिक दर कमाई?

समाधान
सबसे पहले, हमें दिए गए मानों को समझना है। प्रारंभिक राशि, जिसे $P$ कहा जाता है, 2,000 रुपये है और अंत में प्राप्त राशि, जिसे $\mathrm{FV}$ कहा जाता है, 3,000 रुपये है। निवेश की समय सीमा 6 वर्ष है और ब्याज की गणना प्रतिवर्ष होती है, इसलिए गणना की आवृत्ति $1$ है। अब हमें ब्याज दर $r$ जाननी है।

इस समझ के साथ, हम ब्याज की गणना के लिए मौलिक चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

अतः

हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके इस समीकरण को हल कर सकते हैंः
दोनों पक्षों को $2000$ से विभाजित करें:

दोनों पक्षों को 1/6 घात पर उठाएँः

दोनों पक्षों से $1$ घटाएँः

अंत में $r$ के लिए हल करेंः

उत्तर

इस उदाहरण में आपने छह साल के भीतर ₹2,000 के प्रारंभिक निवेश से ₹1,000 कमाए, इसका मतलब है कि आपकी वार्षिक दर 6.9913% थी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस बार सूत्र बहुत साधारण नहीं है और बहुत सारी गणना की आवश्यकता होती है। इसलिए हमारे चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर का परीक्षण करना लाभकारी है, जो आपको समय और प्रयास बचाने में मदद करता है, और तुरंत समान समीकरणों को हल करता है।

क्या आपने कभी सोचा है कि आपके निवेश का मूल्य दोगुना होने में कितना समय लगेगा? हमारे कैलकुलेटर से आप इस सवाल का जवाब पा सकते हैं। इसे समझने के लिए, निम्नलिखित उदाहरण पर ध्यान दें।

डेटा और प्रश्न

आपने ₹1,000 को अपने बचत खाते में जमा किया। मान लीजिए कि वार्षिक ब्याज दर 4% है और यह प्रतिवर्ष संचित होता है। जानिए कितने सालों में आपका प्रारंभिक निवेश दोगुना होगा।

समाधान

हमें पता है कि प्रारंभिक निवेश ₹1,000 है और इसे दोगुना करने पर यह ₹2,000 हो जाएगा। ब्याज दर 4% है और यह प्रतिवर्ष संचित होता है। हमें यह जानना है कि इस निवेश को दोगुना होने में कितना समय लगेगा।

इसे जानने के लिए, हमें चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र इस्तेमाल करना होगा।

यह जानते हुए कि $m = 1$, $r = 4\%$, और $\mathrm{FV} = 2 \cdot P$ है, हम लिख सकते हैं:

इसे ऐसे भी लिखा जा सकता है:

$P$ से दोनों पक्षों को विभाजित करें ($P$ को $0$ नहीं होना चाहिए!):

$t$ के लिए हल करने के लिए, आपको दोनों पक्षों का प्राकृतिक लॉग ($\ln$) लेना होगा:

अतः

उत्तर

हमारे उदाहरण में, प्रारंभिक निवेश को दोगुना करने में 18 वर्ष लगते हैं (17.67 से अधिक निकटतम पूर्णांक 18 है)।

क्या आपने ध्यान दिया कि उपरोक्त समाधान में हमें निवेश के प्रारंभिक और अंतिम संतुलन की जानकारी की जरूरत तक नहीं पड़ी? यह तीसरे चरण में किये गए सरलीकरण की वजह से है (दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करें)। हालांकि, हमारे संयोजन ब्याज दर कैलकुलेटर का उपयोग करते समय, आपको उपयुक्त फील्ड्स में इस जानकारी को प्रदान करना होगा। अगर आप केवल यह पता लगाना चाहते हैं कि दिए गए ब्याज दर में आपका निवेश कितने समय में दोगुना होगा, तो किसी भी संख्या में टाइप करें (उदाहरण स्वरूप, $1$ और $2$)।

यह भी जानना महत्वपूर्ण है कि वास्तव में निवेश को तिगुना करने (या वास्तव में किसी भी संख्या से गुणा करने) के लिए बिल्कुल वही गणना की जा सकती है। आपको बस उपरोक्त उदाहरण के दूसरे चरण में अलग P का गुणज का उपयोग करना होगा। आप हमारे कैलकुलेटर के साथ भी ऐसा कर सकते हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज की सारणियाँ कैलकुलेटर, पर्सनल कंप्यूटर, स्प्रेडशीट्स और Omni Calculator द्वारा प्रदान की गई अविश्वसनीय समाधानों के युग से पहले प्रतिदिन प्रयुक्त होती थीं 😂। यह सारणियाँ वित्तीय गणनाओं को और भी साधारण और तेज़ बनाने के लिए डिज़ाइन की गई थीं (हाँ, सच में...). ये कई पुरानी वित्तीय पाठ्यपुस्तकों में परिशिष्ट के रूप में शामिल हैं।

नीचे, आप देख सकते हैं कि चक्रवृद्धि ब्याज की सारणी कैसी दिखती है।

चक्रवृद्धि ब्याज सारणी के डेटा का उपयोग करके आप अपने निवेश की अंतिम राशि की गणना कर सकते हैं। आपको बस यह जानना है कि चक्रवृद्धि राशि का गुणक कॉलम संबंधित ब्याज दर (पहली पंक्ति) और t (पहला कॉलम) के लिए गुणक $(1 + r)^t$ का मान दिखाता है। इसलिए निवेश की अंतिम राशि की गणना करने के लिए, आपको प्रारंभिक राशि को सारणी से उपयुक्त मान से गुणा करना होगा।

ध्यान दें कि मौजूदा मूल्य का गुणक कॉलम के मानों का उपयोग तब किया जाता है जब आपको इसकी भविष्य की मूल्य का पता हो।

स्पष्ट रूप से, यह चक्रवृद्धि ब्याज सारणी का केवल एक मौलिक उदाहरण है। वास्तव में, वे आमतौर पर बहुत अधिक बड़ी होती हैं, क्योंकि उनमें अधिक समय अवधियां $t$, विभिन्न ब्याज दरें $r$ और विभिन्न चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी $m$ होती हैं। आपको चक्रवृद्धि राशि के गुणक या मौजूदा मूल्य के गुणक के उपयुक्त मान को ढूंढने के लिए कई पृष्ठों को पलटना पड़ता था।

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अब जब आपको चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करना आ गया है, तो यह सही समय है कि आप अपने निवेश से अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए अन्य अनुप्रयोग खोजें:

अलग-अलग चक्रवृद्धि अवधियों वाले बैंक की प्रस्तावों की तुलना करने के लिए, हमें वार्षिक प्रतिशत उपाज की गणना करनी होती है, जिसे प्रभावी वार्षिक दर (EAR) भी कहा जाता है। यह मान हमें बताता है कि हम एक साल में कितना लाभ कमाएंगे। इसे समझने का सबसे सहज तरीका APY कैलकुलेटर 🇺🇸 का उपयोग करना है, जो ब्याज दर और चक्रवृद्धि फ्रीक्वेंसी से EAR का अनुमान लगाता है।

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