Calcolatore per gli Estremi

Benvenuto nel calcolatore per gli estremi di Omni, dove impareremo come trovare gli estremi di un segmento se conosciamo l'altro estremo e il suo punto medio. Come avrai intuito, questo argomento è collegato al calcolo del punto medio, motivo per cui la formula degli estremi è quasi simile a quella del calcolatore per il punto medio. Tuttavia, prima di entrare nei dettagli, esamineremo lentamente la definizione di estremi in geometria per capire meglio di cosa si tratta.

Quindi, siediti, preparati una tazza di tè per il viaggio e diamo inizio alla discussione!

Un estremo è il punto che si trova alla fine di un segmento. Siamo sicuri che questa affermazione è stata uno shock per te come lo è stata per noi quando l'abbiamo sentita per la prima volta. Ma, d'altra parte, il cavolfiore non sa per niente di cavoli, quindi non si è mai troppo sicuri quando si indovina il significato di una parola, vero?

Nella sua forma più semplice, la definizione di estremi in geometria si concentra sui segmenti, cioè le linee rette che collegano due punti. Sì, hai indovinato: questi punti sono chiamati estremi. Nota che secondo questa definizione, ogni segmento ha due estremi (a meno che non si tratti del caso degenerato in cui sono lo stesso punto, cioè l'intervallo è un unico punto).

Per rendere i calcoli più semplici, chiameremo uno di essi punto di partenza (come lo fa il calcolatore per gli estremi). Tieni presente, però, che l'inizio può essere anche la fine se lo guardi dall'altra parte.

Ora, questo suonava inquietantemente filosofico, non credi? Ma lasciamo le domande esistenziali per quando non riusciamo ad addormentarci. Dobbiamo concentrarci sui segmenti che abbiamo menzionato e su come trovare gli estremi.

Per ottenere gli estremi, dobbiamo avere un punto di riferimento per iniziare. Dato che stiamo lavorando con un segmento e uno dei suoi componenti, dobbiamo sapere come è fatto il resto.

La situazione più semplice e comune è quella in cui ci manca l'estremo mentre conosciamo il punto di partenza e il punto medio. Quest'ultimo fattore è semplicemente, come suggerisce il nome, il punto che segna la metà del segmento. Questo è tutto ciò di cui abbiamo bisogno per trovare l'estremo; dopo tutto, deve trovarsi all'altra estremità del punto medio rispetto al punto di partenza ed essere alla stessa distanza.

Pertanto, intuitivamente, possiamo già descrivere geometricamente come trovare l'estremo.

1. Dato il punto di partenza, $A$, e il punto medio, $B$, disegna il segmento che li collega.
2. Disegna una linea che si allontana da $B$ e si allontana da $A$ verso Dio-sa-dove.
3. Misura la distanza da $A$ a $B$ e segna la stessa distanza da $B$ andando nella direzione opposta.
4. Procedi con la danza della vittoria.

Tuttavia, ci sono persone (e non stiamo dicendo che siamo noi quelle persone) che non amano molto tracciare le linee. Dopotutto, per farlo serve un righello e Lorde è difficile da trovare... (Sì, questa era una battuta terribile e chiniamo il capo per la vergogna. Ma comunque con una leggera risatina.)

Ad ogni modo, per le persone che preferiscono i numeri e i calcoli (e forse stiamo insinuando che siamo quelle persone), ci concentreremo su come trovare gli estremi in modo algebrico nella prossima sezione. Non temere la parola "algebricamente" – tra poco vedrai come si traduce in "facilmente e senza sforzo" – il motto stesso del nostro calcolatore per l'estremo mancante.

Nella geometria delle coordinate, trattiamo oggetti che sono inseriti in quello che chiamiamo spazio Euclideo. Non è troppo importante in questo momento capire la sua definizione in matematica, ma, per i nostri scopi, è sufficiente sapere che ciò significa che in tali spazi, i punti, ad esempio, $A$ o $B$, hanno due coordinate: $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$.

I numeri $x_1$ e $x_2$ indicano la posizione dei punti rispetto all'asse orizzontale (solitamente indicati con $x$), mentre $y_1$ e $y_2$ sono utilizzati per l'asse verticale (spesso indicati con $y$). Insieme, questa coppia di numeri $(x_1, y_1)$ definisce un punto nello spazio. Inoltre, le coordinate ci aiutano ad analizzare oggetti più complessi nel nostro spazio Euclideo. Ad esempio, sono presenti nella formula dell'estremo.

Supponiamo di avere un segmento che va da $A = (x_1, y_1)$ a...beh, non lo sappiamo ancora. Ora ti spiegheremo come trovare l'estremo $B = (x_2, y_2)$ se conosciamo il punto medio $M = (x, y)$.

Dalla definizione di punto medio, sappiamo che la distanza da $A$ a $M$ deve essere uguale a quella da $M$ a $B$. Solo che $B$ si trova dall'altra parte. Questo significa che per trovare $B$ è sufficiente "spostare" $M$ lungo la linea che passa per $A$ e $M$ della stessa lunghezza del segmento $AM$. O, se vuoi sembrare elegante, del vettore $AM$.

Cioè, abbiamo:

$x_2 = x + (x - x_1) = 2x - x_1$, e

$y_2 = y + (y - y_1) = 2y - y_1$.

In sintesi, se ti piace avere tutte le informazioni di cui hai bisogno in un solo paragrafo, eccoti accontentato.

Nota che sopra abbiamo menzionato la linea che passa per $A$ e $M$. Queste linee sono molto utili quando si impara a trovare l'estremo o il punto medio. Dopo tutto, il segmento $AB$ è contenuto in quella linea.

Uff, ci siamo dilungati un bel po' con la teoria! Che ne dici di abbandonare queste chiacchiere tecniche e di vedere un esempio numerico? Il tempo è denaro, dopo tutto!

Diciamo che quattro mesi fa hai iniziato a pubblicare dei video su YouTube. Niente di eclatante, solo alcune ricette di cucina tradizionali della tua regione. È iniziato come un hobby, ma le persone sembrano apprezzare il programma e vedi che il numero di spettatori aumenta linearmente con il tempo. Perché non proviamo a trovare l'estremo mancante con il nostro calcolatore per verificare quanti dovrebbero essere tra quattro mesi?

Prima di tutto, notiamo che, sebbene il problema non sembri affatto geometrico, possiamo trovare la risposta utilizzando la definizione di estremi della geometria. Dopo tutto, il punto di partenza, cioè il mese zero, è stato quando hai iniziato a pubblicare i video, quindi a quel punto avevamo 0 spettatori. Ora siamo al quarto mese, che sarà il nostro punto medio (dato che vogliamo trovare il numero di spettatori in altri quattro mesi). Cioè, l'estremo mancante sarà la nostra risposta.

Diciamo che attualmente hai 54 000 iscritti e cerchiamo di tradurre tutti questi dati in modo che il calcolatore per l'estremo capisca cosa vogliamo.

Secondo la sezione precedente, per trovare la risposta, abbiamo bisogno del punto di partenza e del punto medio. Indichiamo rispettivamente A = (x₁, y₁) e M = (x, y). Per noi, gli x indicheranno il numero di mesi in cui ci troviamo, mentre gli y saranno il numero di spettatori. Dato che il nostro punto di partenza era il mese zero e attualmente siamo a 4 mesi, abbiamo (e possiamo inserire nel calcolatore per l'estremo):

x₁ = 0,

x = 4.

Ora è il momento degli iscritti. Anche in questo caso, il punto di partenza era quando non avevamo nessuno, mentre ora, dopo quattro mesi, siamo a 54 000. Pertanto, abbiamo:

y₁ = 0,

y = 54 000.

Una volta inseriti tutti questi dati nel calcolatore per l'estremo, ci darà la risposta. Ma non sveliamola ancora! Che ne dici di vedere come trovare l'estremo da soli usando la formula dell'estremo?

Prendiamo un foglio di carta e ricordiamo le informazioni che abbiamo già citato in precedenza. Il nostro punto di partenza era al mese zero con zero iscritti, il che significa che il nostro punto di partenza è A = (0, 0). Ora siamo al quarto mese con 54 000 iscritti, che è a metà strada rispetto a quello che vorremmo calcolare. Ciò significa che il nostro punto medio è (4, 54 000).

Tutto ciò che dobbiamo fare ora è utilizzare la formula degli estremi dalla sezione precedente. Se indichiamo le coordinate dell'estremo con B = (x₂, y₂), allora:

x₂ = 2 × 4 - 0 = 8,

y₂ = 2 × 54 000 - 0 = 108 000.

Questo significa che se la tendenza continua, dovremmo arrivare a 108 000 iscritti in quattro mesi.