Calcolatore di Probabilità dei Dadi

Il calcolatore di probabilità dei dadi è un ottimo strumento se vuoi stimare la probabilità di lancio di un dado in numerose varianti. Sono inclusi molti dadi poliedrici diversi, quindi puoi esplorare la probabilità di un dado a 20 facce così come quella di un normale dado cubico.

Quindi, valuta le probabilità e gioca! Nel testo troverai anche brevi descrizioni di ogni opzione.

Tutti sanno cos'è un normale dado a 6 facce e, molto probabilmente, molti di voi hanno già giocato migliaia di partite in cui ne hanno utilizzato uno (o più). Ma sapevate che esistono diversi tipi di dado? Tra le innumerevoli possibilità, i dadi più popolari sono inclusi nel set di dadi Dungeons & Dragons, che contiene sette diversi dadi poliedrici:

• Dadi a 4 facce, noti anche come a tetraedro — Ogni faccia è un triangolo equilatero;
• Dadi a 6 facce, un classico a cubo — Ogni faccia è un quadrato;
• Dadi a 8 facce, noti anche come a ottaedro — Ogni faccia è un triangolo equilatero;
• Dado a 10 facce, noto anche come a trapezioedro pentagonale oppure deltoedro pentagonale — Ogni faccia è un aquilone;
• Dado a 10 facce da 00 a 90 con intervalli da 10 — Utilizzato per lanci percentili con l'altro dado a 10 facce;
• Dadi a 12 facce, noti anche come a dodecaedro — Ogni faccia è un pentagono regolare; e
• Dado a 20 facce, noto anche come a icosaedro — Ogni faccia è un triangolo equilatero.

Non preoccuparti, nel nostro calcolatore per la probabilità dei dadi teniamo conto di ognuno di questi dadi. Puoi scegliere quello che preferisci e, ad esempio, far finta di lanciare cinque dadi a 20 facce contemporaneamente!

Beh, la domanda è più complessa di quanto sembri a prima vista, ma vedrai che la risposta non è poi così spaventosa! Si tratta di matematica e statistica.

Prima di tutto, dobbiamo determinare il tipo di probabilità di lancio dei dadi che vogliamo trovare. Ne possiamo distinguere alcuni, che puoi vedere in questo calcolatore per la probabilità dei dadi.

Prima di effettuare qualsiasi calcolo, definiamo alcune variabili che utilizzeremo nelle formule:
n — Numero di dadi;
s — Numero di facce del singolo dado;
p — Probabilità di lanciare un qualsiasi valore da un dado; e
P — Probabilità complessiva del problema. Esiste una semplice relazione; p = 1/s, quindi la probabilità di ottenere 7 su un dado a 10 facce è doppia rispetto a quella di un dado a 20 facce.

1. La probabilità di ottenere lo stesso valore su ogni dado — Mentre la probabilità di ottenere un determinato valore su un singolo dado è p, dobbiamo moltiplicare questa probabilità per un numero di volte pari al numero di dadi. In altre parole, la probabilità P è uguale a p alla potenza n, o P = pⁿ = (1/s)ⁿ. Se consideriamo tre dadi a 20 facce, la probabilità di lanciare 15 su ognuno di essi è; P = (1/20)³ = 0,00012 5 (o P = 1,25 × 10^-4 in notazione scientifica). E se sei interessato a lanciare un insieme di valori identici — non solo tre 15, ma tre numeri qualsiasi — devi semplicemente moltiplicare il risultato per il totale delle facce del dado; P = 0,00012 5 × 20 = 0,0025.

2. La probabilità di lanciare tutti i valori uguali o superiori a y — Il problema è simile al precedente, ma questa volta p è 1/s moltiplicato per tutte le possibilità che soddisfano la condizione iniziale. Ad esempio, supponiamo di avere un dado normale e y = 3. Vogliamo che il valore del lancio sia 6, 5, 4 o 3. La variabile p è quindi 4 × 1/6 = 2/3 e la probabilità finale è P = (2/3)ⁿ.

3. La probabilità di lanciare tutti i valori uguali o inferiori a y — Questa opzione è quasi identica alla precedente, ma questa volta siamo interessati solo ai numeri che sono uguali o inferiori al nostro obiettivo. Se prendiamo le stesse condizioni (s = 6, y = 3) e le applichiamo a questo esempio, possiamo vedere che i valori 1, 2 e 3 soddisfano le regole e la probabilità è; P = (3 × 1/6)ⁿ = (1/2)ⁿ.

4. La probabilità di lanciare esattamente X valori uguali (pari a y) dall'insieme — Immagina di avere un insieme di sette dadi a 12 facce e di voler conoscere la probabilità di ottenere esattamente due 9. È in qualche modo diverso rispetto a prima perché solo una parte dell'intero insieme deve corrispondere alle condizioni. È qui che la probabilità binomiale si rivela utile. La formula della probabilità binomiale è:

   P(X = k) = nCk × p^k × (1-p)^n-k,

   dove k è il numero di elementi che vogliamo selezionare e nCk è il numero di combinazioni che soddisfano questa condizione (noto anche come "n scegli k" o, in alternativa, "n scegli r").

   Nel nostro esempio abbiamo n = 7, p = 1/12, k = 2, nCk = 21, quindi il risultato finale è; P(X = 2) = 21 × (1/12)² × (11/12)⁵ = 0,09439, ovvero P(X = 2) = 9,439% in percentuale.

5. La probabilità di lanciare almeno X valori uguali (pari a y) dall'insieme — Il problema è molto simile a quello precedente, ma questa volta il risultato è la somma delle probabilità per X = 2, 3, 4, 5, 6, 7. Passando ai numeri, abbiamo; P = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 0,11006 = 11,006%. Come ci si può aspettare, il risultato è un po' più alto. A volte la formulazione precisa del problema aumenta le tue possibilità di successo.

6. La probabilità di lanciare una somma esatta r su un insieme di n dadi a s facce — la formula generale è piuttosto complessa:

Tuttavia, possiamo anche provare a valutare questo problema a mano. Un approccio consiste nel trovare il numero totale di somme possibili. Con una coppia di dadi regolari, possiamo avere 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ma questi risultati non sono equivalenti!

Dai un'occhiata — c'è solo un modo per ottenere 2; 1+1, ma per 4 ci sono tre possibilità diverse; 1+3, 2+2, 3+1 e per 12 c'è, ancora una volta, una sola variante; 6+6. Si scopre che 7 è il risultato più probabile con sei possibilità; 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 e 6+1. Il numero di permutazioni con ripetizioni in questo insieme è 36. Il nostro calcolatore per la permutazione 🇺🇸 può essere utile per trovare permutazioni per altri tipi di dadi. Possiamo stimare le probabilità come il rapporto tra i risultati favorevoli e tutti i risultati possibili; P(2) = 1/36, P(4) = 3/36 = 1/12, P(12) = 1/36, P(7) = 6/36 = 1/6.

Più alto è il numero di dadi, più la funzione di distribuzione delle somme si avvicina alla distribuzione normale. Come ci si può aspettare, all'aumentare del numero di dadi e di facce, si consuma più tempo per valutare il risultato su un foglio di carta. Fortunatamente, questo non è il caso del nostro calcolatore di probabilità dei dadi!

7. La probabilità di ottenere un risultato non inferiore a X — come nel problema precedente, dobbiamo trovare tutti i risultati che corrispondono alla condizione iniziale e dividerli per il numero di tutte le possibilità. Prendendo in considerazione un set di tre dadi a 10 facce, vogliamo ottenere una somma almeno pari a 27. Come possiamo vedere, dobbiamo sommare tutte le permutazioni per 27, 28, 29 e 30, che sono rispettivamente 10, 6, 3 e 1. In totale, ci sono 20 risultati buoni. In totale, ci sono 20 risultati positivi su 1000 possibilità, quindi la probabilità finale è; P(X ≥ 27) = 20 / 1000 = 0,02.

8. La probabilità di lanciare una somma dall'insieme, non superiore a X — la procedura è esattamente la stessa del compito precedente, ma dobbiamo aggiungere solo somme inferiori o uguali all'obiettivo. Avendo lo stesso set di dadi di cui sopra, qual è la probabilità di tirare al massimo 26? Se dovessi farlo passo dopo passo, ci vorrebbero secoli per ottenere il risultato (sommare tutte le 26 somme). Ma, se ci pensi, abbiamo appena calcolato l'evento complementare nel problema precedente. La probabilità totale di eventi complementari è esattamente 1, quindi la probabilità in questo caso è; P(X ≤ 26) = 1 - 0,02 = 0,98.

Ci sono molti giochi da tavolo in cui a turno si tira un dado (o più dadi) e i risultati possono essere utilizzati in numerosi contesti. Supponiamo che tu stia giocando a Dungeons & Dragons e che stia attaccando. La classe armatura del tuo avversario è 17. Tiri un dado a 20 facce, sperando di ottenere un risultato di almeno 15, con il tuo modificatore di +2. Dovrebbe essere sufficiente. Con queste condizioni, la probabilità di successo dell'attacco è 0,30. Se conosci le probabilità di successo dell'attacco, puoi scegliere se attaccare questo bersaglio o sceglierne un altro con probabilità migliori.

Oppure stai giocando a I coloni di Catan e speri di ottenere la somma esatta di 8 con due dadi a 6 facce, perché questo risultato ti farà guadagnare risorse preziose. Utilizza il nostro calcolatore di probabilità dei dadi e vedrai che la probabilità è di circa 0,14 — ti conviene essere fortunato in questo turno!

Esistono vari tipi di giochi, come le lotterie, in cui il tuo compito è quello di fare una scommessa in base alle probabilità. Il lancio dei dadi è uno di questi. Anche se è inevitabile correre qualche rischio, puoi scegliere l'opzione più favorevole e massimizzare le tue possibilità di vincita. Dai un'occhiata a questo esempio.

Immagina di giocare a un gioco in cui hai una delle tre opzioni tra cui scegliere, che sono:

• La somma di cinque dadi a 10 facce è almeno 30;
• La somma di cinque dadi a 12 facce è al massimo 28; e
• La somma di cinque dadi a 20 facce è almeno 59.

Vinci solo se l'opzione che hai scelto viene selezionata. Puoi anche passare se pensi che nessuna di queste opzioni si verificherà. Intuitivamente, è difficile stimare il successo più probabile, ma con il nostro calcolatore di probabilità dei dadi basta un batter d'occhio per valutare tutte le probabilità.

I valori risultanti sono:

• P₁ = 0,38125 per i dadi a 10 facce;
• P₂ = 0,3072 per i dadi a 12 facce; e
• P₃ = 0,3256 per i dadi a 20 facce.

La probabilità che un passaggio abbia successo è il prodotto degli eventi complementari delle opzioni rimanenti:

• P₄ = (1 - P₁) × (1 - P₂) × (1 - P₃) = 0,61875 × 0,6928 × 0,6744 = 0,2891.

Possiamo notare che l'opzione più favorevole è la prima, mentre il superamento è l'evento meno probabile. Non possiamo assicurarti che vincerai sempre, ma ti consigliamo vivamente di scegliere l'insieme di dadi a 10 facce per giocare.