Kalkulator średniej ważonej

Aby zrozumieć, jak działa kalkulator średniej ważonej, musisz najpierw zrozumieć, czym jest średnia ważona. Średnia ważona nie ma nic wspólnego z przeliczaniem jednostek wagi, ale ludzie czasami mylą te dwa pojęcia. Typowa średnia, czyli średnia arytmetyczna jest wtedy, gdy wszystkie wartości są dodawane i dzielone przez całkowitą liczbę elementów w zbiorze. Możemy to obliczyć za pomocą naszego kalkulatora średniej, ręcznie lub za pomocą prostego kalkulatora, ponieważ wszystkie wartości mają równe wagi.

Ale co się dzieje, gdy wartości mają różne wagi, co oznacza, że nie są równie ważne? Poniżej zobaczysz, jak obliczyć średnią ważoną za pomocą odpowiedniego wzoru. Znajdziesz również przykłady, w których można zastosować metodę średniej ważonej — np. obliczanie ocen końcowych z przedmiotów szkolnych.

Wolisz oglądać niż czytać? Dowiedz się wszystkiego w 90 sekund dzięki poniższemu filmowi, który stworzyliśmy dla ciebie:

Średnia ważona to koncepcja podobna do standardowej średniej arytmetycznej (nazywanej po prostu średnią), ale w średniej ważonej nie wszystkie elementy mają równy wkład w końcowy wynik. Można powiedzieć, że niektóre wartości są ważniejsze od innych, więc są one mnożone przez współczynnik zwany wagą.

Na przykład podczas studiów możesz spotkać się z sytuacją, w której ocena z egzaminu jest dwa razy ważniejsza niż ocena z kolokwium — i właśnie to nazywamy metodą średniej ważonej. Aby zdefiniować ją w bardziej matematyczny sposób, możemy zapisać formułę średniej ważonej jako:

gdzie $x_1$, $x_2$,…, $x_n$ to nasze liczby, a $w_1$, $w_2$,…, $w_n$ to nasze wagi — znaczenie liczb w uśrednianiu.

Tak więc, mając 5 z egzaminu i 3 z kolokwium, średnia arytmetyczna mówi nam, że końcowa ocena to 4, ale zakładając, że egzamin jest dwa razy ważniejszy, otrzymujemy ocenę końcową 4,5.

Sprawdź jak obliczyć średnią ważoną — najłatwiej jest spojrzeć na prosty przykład:

Załóżmy, że student ma dwa zajęcia za cztery punkty ECTS, oraz po jednym za trzy i dwa ECTS. Załóżmy, że oceny z kursów są następujące:

• 5 za zajęcia z czterema punktami;
• 4 z drugiego przedmiotu za 4 ECTS;
• 5 za zajęcia z trzema punktami; oraz
• 3 z przedmiotu za dwa ECTS.

Jeśli korzystasz z nieliczbowego systemu ocen, takiego jak GPA (ang. grade point average), załączyliśmy tabelę przedstawiającą typową konwersję ocen liczbowych na literowe. Większość szkół w USA stosuje tak zwaną skalę 4.0 GPA, która jest 4-punktową skalą ocen.

Teraz gdy mamy już wszystkie informacje, możemy przyjrzeć się, jak obliczyć końcową ocenę z semestru z wykorzystaniem średniej ważonej.

1. Podsumuj oceny 5 + 4 + 5 + 3 = 17, to najłatwiejsza część.
2. Weź każdą z ocen i pomnóż ją przez odpowiednią liczbę punktów ECTS. W naszym przypadku będzie to:

• 4 ECTS: 5 · 4 = 20;
• 4 ECTS: 4 · 4 = 16;
• 3 ECTS: 5 · 3 = 15;
• 2 ECTS: 3 · 2 = 6.

3. Dodaj wszystkie wartości. 20 + 16 + 15 + 6 = 57.
4. Podziel sumę przez całkowitą liczbę ECTS. Tak więc, dla naszego przykładu, ten iloraz jest równy 57/13 = 4,38.

Całą formułę średniej ważonej możemy zapisać jako:

(5·4 + 4·4 + 5·3 + 3·2) / (4 + 4 + 3 + 2) = 4,38

Porównajmy ten wynik ze średnią, która nie jest ważona. Wtedy nie bierzemy pod uwagę punktów i dzielimy sumę ocen przez ich całkowitą liczbę.

(5 + 4 + 5 + 3) / 4 = 4,25

Zauważ, jak zmieniła się nasza średnia. Czasami może to być naprawdę znacząca różnica — na przykład decydująca o ocenie końcowej, a nawet o zaliczeniu całego przedmiotu.

Powtórzmy, jak wygląda formuła średniej ważonej:

Ale co to tak naprawdę oznacza? Aby dowiedzieć się, jak obliczyć średnią ważoną, musimy znać wagę każdej wartości w zbiorze. Zazwyczaj przedstawiamy wagi w postaci wartości procentowej lub (w statystyce) prawdopodobieństwa wystąpienia.

Załóżmy na przykład, że egzaminy, kolokwia i zadania domowe składają się na ocenę końcową. Każdy z trzech egzaminów jest wart 25% oceny, kolokwia są warte 15%, a zadania domowe są warte 10%. Aby obliczyć średnią, mnożymy procent przez oceny i dodajemy je do siebie. Jeśli wyniki testów wynoszą 75, 90 i 88 punktów, średnia z kolokwiów to 70 punktów, a ocena z pracy domowej to 86 punktów, średnia ważona wygląda następująco:

(0,25 · 75 + 0,25 · 90 + 0,25 · 88 + 0,15 · 70 + 0,10 · 86) / 1 = 82,35

Porównajmy to ze średnią arytmetyczną równą (75 + 90 + 88 + 70 + 86) / 5 = 81,8

W statystyce często spotkasz się z dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, który zawiera wartości x i związane z nimi prawdopodobieństwa. Ponieważ prawdopodobieństwa dla każdej wartości x prawdopodobnie nie będą takie same, możemy zastosować formułę średniej ważonej. Po prostu pomnóż każdą wartość x przez prawdopodobieństwo jej wystąpienia i zsumuj wyniki.

Często używamy średniej ważonej do obliczania tak zwanej oceny końcowej z danego przedmiotu lub całego semestru. Przyjrzyjmy się bliżej temu tematowi.

Pierwsza rzecz, którą musimy podkreślić: musisz precyzyjnie określić wagę danego przedmiotu lub kursu. Wagą mogą być punkty ECTS (dla studentów) lub waga numeryczna przypisana przez nauczyciela, lub dyrektora.

Jakie są więc metody obliczania średniej ocen ucznia (GPA, ang. grade point average) w szkole lub na studiach? Przyjrzyjmy się dwóm przykładom:

1. Średnia nieuwzględniająca poziomu trudności kursów/przedmiotów. W modelu nieuwzględniającym poziomu trudności kursu lub przedmiotu nie bierzemy pod uwagę jego stopnia zaawansowania. Metoda ta skupia się wyłącznie na uzyskanych ocenach:

   a) oraz ignoruje punkty ETCS danego przedmiotu:

   Średnia ocen = Σ ocena / liczba przedmiotów

   b) oraz uwzględnia punkty ETCS danego przedmiotu:

   Średnia ocen = Σ (ocena × ECTS) / Σ ECTS

2. Średnia ważona, która uwzględnia poziom trudności kursów/przedmiotów.

   a) oraz ignoruje punkty ETCS danego przedmiotu:

   Średnia ocen = Σ ocena ważona / liczba przedmiotów

   b) oraz uwzględnia punkty ETCS danego przedmiotu:

   Średnia ocen = Σ (ocena ważona × ECTS) / Σ ECTS

Może to wyglądać nieco przytłaczająco, ale spójrzmy na hipotetyczny arkusz wyników, a wszystko stanie się jasne:

• 1 a) Średnia ocen nieuwzględniająca poziomu trudności, ani punktów ECTS.

Wszystkie przedmioty mają taką samą skalę ocen i punktów, bez względu na trudność zajęć. Możemy więc przeliczyć nasze oceny na liczby:

Następnie możemy obliczyć średnią w następujący sposób:

Średnia ze szkoły = Σ ocena / liczba przedmiotów

= (4,0 + 3,3 + 2,3 + 3,7) / 4 = 13,3 / 4 = 3,325 ≈ 3,33

Czy zauważyłeś/aś, że jest to średnia arytmetyczna? To po prostu zsumowanie wszystkich wyników i podzielenie rezultatu przez całkowitą liczbę obserwacji (4 przedmioty).

• 1 b) Średnia ocen uwzględniająca punkty ECTS.

Sprawy komplikują się, gdy weźmiemy pod uwagę punkty ECTS za dany przedmiot. Niektóre źródła ignorują punkty zaliczeniowe dla nieważonych wyników średniej, ale inne je uwzględniają. Tak więc, jeśli twoje zajęcia mają jakieś punkty, możesz obliczyć średnią ważoną ocen i punktów.

Wtedy średnia ocena będzie równa:

Średnia ze szkoły = Σ (ocena × ETCS) / Σ ECTS

= (4,0 · 0,5 + 3,3 · 1 + 2,3 · 0,5 + 3,7 · 1) / (0,5 + 1 + 0,5 + 1)

= 10,15 / 3 = 3,38333… ≈ 3,38

W naszym przykładzie kursy z wyższą liczbą punktów mają lepsze oceny, więc ogólna średnia jest również wyższa.

• 2 a) Średnia ważona: bierzemy pod uwagę trudność kursu i NIE bierzemy pod uwagę punktów ETCS

W zależności od typu kursu oceny literowe są tłumaczone na różne wartości liczbowe:

Kontynuując nasz przykład, teraz nasze cztery przedmioty mają przypisany typ kursu:

Ponieważ dwa przedmioty nie są standardowymi zajęciami, otrzymują dodatkowe punkty (A z matematyki — 4,5 zamiast 4,0, ponieważ jest to ważny przedmiot, A- z angielskiego — 4,7 zamiast 3,7, ponieważ jest to bardzo ważny przedmiot).

Wzór na obliczenie średniej ważonej to:

Końcowa średnia ważona = Σ (średnia ważona ocen) / liczb przedmiotów

= (4,5 + 3,3 + 2,3 + 4,7) / 4 = 14,8 / 4 = 3,7

gdzie średnia ważona ocen to:

• wartość oceny + 0 dla przedmiotów zwykłych;
• wartość oceny + 0,5 dla przedmiotów ważnych; oraz
• wartość oceny + 1 dla przedmiotów bardzo ważnych.

Pominęliśmy więc punkty kursów, ale wzięliśmy pod uwagę ich trudność. I wreszcie, mamy

• 2 b) Średnia ważona: bierzemy pod uwagę trudność przedmiotu i punkty ETCS.

Jeśli więc bierzemy pod uwagę zarówno punkty, jak i trudność kursu, wynik jest następujący:

Końcowa średnia ważona = Σ (średnia ważona ocen × punkty) / Σ punkty

= (4,5 · 0,5 + 3,3 · 1 + 2,3 · 0,5 + 4,7 · 1) / (0,5 + 1 + 0,5 + 1) = 11,4 / 3 = 3,8

To nie było takie trudne, prawda?

Wzory na te średnie wyglądają następująco:

• Średnia arytmetyczna:

• Średnia geometryczna:

• Średnia harmoniczna:

• Średnia ważona:

Zakładając, że wynik testu to 60% oceny końcowej, a aktywność na zajęciach i wynik testu są wyrażone jako ułamki 100, wykonaj następujące kroki, aby obliczyć średnią ważoną:

1. Pomnóż wynik z zajęć przez 2 i wynik testu przez 3.
2. Dodaj uzyskane iloczyny do siebie i podziel przez sumę wag: 5.

Aby obliczyć średnią ważoną, wykonaj następujące kroki:

1. Uzyskaj wagę każdej zmiennej w zbiorze danych.
2. Pomnóż każdy element zbioru przez przypisaną mu wagę.
3. Dodaj wszystkie iloczyny uzyskane w kroku 2.
4. Dodaj wszystkie wagi do siebie.
5. Podziel odpowiedź z kroku 3 przez odpowiedź z kroku 4.

Jeśli zakupiłeś/aś trzy produkty w różnych ilościach:

• 5 opakowań farby akrylowej w cenie 19,99 zł;
• 3 opakowania pędzli w cenie 13,99 zł; oraz
• 2 płótna artystyczne w cenie 25,00 zł.

Zastosuj się do poniższych kroków, aby obliczyć średnią ważoną swoich wydatków:

1. Pomnóż cenę przez ilość:
   5 ⋅ 19,99 = 99,95 zł
   3 ⋅ 13,99 = 41,97 zł
   2 ⋅ 25,00 = 50 zł
2. Znajdź sumę wydanych pieniędzy:
   99,95 + 41,97 + 50 = 191,92 zł
3. Znajdź liczbę sprzedanych produktów:
   5 + 3 + 2 = 10
4. Znajdź średnią ważoną:
   191,92/10 = 19,19 zł

Zakładając, że zakupiono:

• 3 paczki ołówków po 5 zł za sztukę;
• 2 paczki papieru po 10,00 zł każda; oraz
• 5 paczek długopisów po 15,00 zł.

Twoja średnia ważona wynosi 11 zł.

Aby to obliczyć, znajdź całkowitą kwotę wydanych pieniędzy, wykonując następujące kroki:

1. Znajdź kwotę wydanych pieniędzy.
2. Znajdź łączną kwotę zakupionych przedmiotów.
3. Podziel odpowiedź z kroku 1 przez odpowiedź z kroku 2.