Kalkulator modulo

Kalkulator modulo jest przydatnym narzędziem służącym do określenia wyniku operacji modulo. Wszystko, co musisz zrobić, to wprowadzić początkową liczbę x i liczbę całkowitą y, aby wyznaczyć modulo r, zgodnie z wyrażeniem x mod y = r. Czytaj dalej, aby dowiedzieć się, czym są operacje modulo i kongruencja modulo, jak obliczyć modulo i jak prawidłowo korzystać z naszego kalkulatora.

Wyobraź sobie zegar wiszący na ścianie. Powiedzmy, że jest późno w nocy — godzina 23:00 🕚. Zastanawiasz się, co będzie wskazywał zegar, gdy obudzisz się po 8 godzinach snu. Nie możesz po prostu dodać 8 do 23, ponieważ nie ma takiej godziny jak 31:00. Aby znaleźć poprawną odpowiedź, musisz wykonać operację modulo (mod 24) — dodajesz te dwie liczby i odejmujesz 24, aż otrzymasz liczbę mniejszą niż 24. W tym przypadku 7. Właśnie obliczyliśmy, że obudzisz się o 7 rano 🕖.

Operacje modulo, w przypadku zegara, są tak intuicyjne, że nawet ich nie zauważamy. W matematyce istnieje wiele rodzajów bardziej skomplikowanych operacji modulo, które wymagają więcej wysiłku. Możemy zapisać, wyrażenie:

x mod y = r

jeśli istnieje taka liczba całkowita q (nazywana ilorazem), która spełnia równanie:

y · q + r = x

Innymi słowy, liczba r jest resztą z dzielenia, gdzie x jest dzielną, a y jest dzielnikiem (nasz kalkulator reszty wyjaśnia jak otrzymać resztę z dzielenia).

Jeśli definicja modulo nie przemawia do ciebie i nadal nie masz pewności, jak obliczyć modulo, spójrz na następny akapit, a wszystko powinno stać się krystalicznie jasne.

Mówi się, że dwie liczby, a i b, są kongruentne modulo n, gdy ich różnica a - b jest podzielna przez n (więc (a - b) jest wielokrotnością n).

Matematycznie, wzór przystawania modulo można zapisać jako:

a ≡ b (mod n)

a n jest nazywane modułem przystawania.

Alternatywnie, można powiedzieć, że a i b są kongruentne modulo n, gdy obie mają tę samą resztę przy dzieleniu przez n:

a mod n = r
b mod n = r

gdzie r jest wspólną resztą.

Mówiąc prościej — kongruencja modułów występuje, gdy dwie liczby mają tę samą resztę po tym samym dzielniku. Na przykład 24 modulo 10 i 34 modulo 10 dają tę samą odpowiedź: 4. Zatem 24 i 34 są przystające modulo 10.

Spójrzmy na inny przykład:

9 ≡ 21 (mod 6)

Ponieważ 21 - 9 = 12 jest wielokrotnością 6. Można to również zapisać w skrócie jako 6 | (21 - 9). Lub, równoważnie, 21 i 9 mają tę samą resztę, gdy podzielimy je przez 6:

9 mod 6 = 3
21 mod 6 = 3

Ręczne obliczenie modulo nie jest trudnym zadaniem. Wystarczy wykonać poniższe kroki!

1. Zacznij od wybrania liczby początkowej (przed wykonaniem operacji modulo). Powiedzmy, że jest to 250. To jest nasza dzielna.
2. Wybierz dzielnik, na przykład 24. Operacja, którą chcemy obliczyć, to 250 mod 24 (250 % 24, jeśli używamy innej konwencji zapisu modulo).
3. Podziel jedną liczbę przez drugą, zaokrąglając w dół: 250 / 24 = 10. To jest iloraz. Możesz również pomyśleć o tej operacji jako o dzieleniu, w którym nie przejmujemy się ułamkową częścią wyniku.
4. Pomnóż dzielnik przez iloraz. W naszym przykładzie jest to więc 10 · 24 = 240.
5. Odejmij tę liczbę od liczby początkowej (dzielnej). Tutaj: 250 - 240 = 10.
6. Otrzymana liczba jest wynikiem operacji modulo. Możemy ją zapisać jako 250 mod 24 = 10.

Wyznaczanie modulo za pomocą naszego kalkulatora jest łatwe i wygodne. Aby znaleźć wynik operacji modulo między liczbami całkowitymi, należy:

1. Wpisać liczbę początkową — dzielną — w pierwszym polu. Weźmy przykład z poprzednich akapitów: wpisz 250.
2. Wpisz dzielnik. W naszym przypadku jest to 24.
3. Tadaaa! Nasz kalkulator modulo zwróci ci wynik — resztę! Nie powinno być to niespodzianką, że wynosi ona 10, czyli tyle ile obliczyliśmy wcześniej.

Poniżej znajdziesz kilka typowych zapytań dotyczących modulo:

• 1 mod 1 = 0 (ponieważ mod 1 zawsze wynosi 0)
• 1 mod 2 = 1
• 1 mod 3 = 1
• 5 mod 2 = 1
• 5 mod 3 = 2
• 6 mod 3 = 0
• 7 mod 3 = 1
• 10 mod 3 = 1
• 18 mod 3 = 0
• 100 mod 3 = 1
• 100 mod 7 = 2

Jeśli nie widzisz tutaj tego, co chcesz znaleźć, nie wahaj się skorzystać z naszego kalkulatora modulo!

Arytmetyka modularna to, ogólnie rzecz biorąc, system arytmetyczny dla liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” wokół pewnej wartości. Podsumujmy to, czego nauczyliśmy się o różnych reprezentacjach operacji modulo — wszystkie poniższe stwierdzenia są równoważne:

• A ≡ B (mod C)
• A mod C = B mod C
• C | (A - B)
• A = B + K · C, gdzie K jest pewną liczbą całkowitą.

Możemy również wykonywać obliczenia na operacjach modulo.

1. Modularne dodawanie i odejmowanie

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C

(A - B) mod C = (A mod C - B mod C) mod C

Oznacza to, że modulo sumy dwóch liczb jest równe sumie modulo tych liczb obliczonych osobno, na której znowu wykonuje się operację modulo. Pierwszy etap jest wykonywany w celu pozbycia się części ilorazowej, a następnie operacja mod jest używana ponownie. Spójrz na przykład:

• A = 11, B = 7, C = 4

  (11 + 7) mod 4 = (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4

  lewa część równania: (11 + 7) mod 4 = 18 mod 4 = 2

  prawa część równania: (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4 = (3 + 3) mod 4 = 6 mod 4 = 2

Obliczenia są analogiczne dla odejmowania.

2. Mnożenie modularne

(A · B) mod C = (A mod C · B mod C) mod C

Takie równanie może być przydatne, gdy mamy do czynienia z dużymi liczbami i nie znamy od razu modulo tej dużej liczby. Spójrzmy na ten sam przykład (A = 11, B = 7, C = 4) — czy możesz od razu powiedzieć, jaki jest wynik 77 mod 4? 11 mod 4 i 7 mod 4 są łatwiejsze do obliczenia:

• (11 · 7) mod 4 = (11 mod 4 · 7 mod 4) mod 4.

  Lewa część równania: (11 · 7) mod 4 = 77 mod 4 = 1

  Prawa część równania: (11 mod 4 · 7 mod 4) mod 4 = (3 · 3) mod 4 = 9 mod 4 = 1

3. Potęgowanie modularne

A^B mod C = ((A mod C)^B) mod C

Wzór ten jest jeszcze bardziej przydatny, gdy mamy do czynienia z dużymi liczbami. Rozważmy ten sam przykład:

• (11⁷) mod 4 = ((11 mod 4)⁷) mod 4.

  Lewa część równania: (11⁷) mod 4 = 19487171 mod 4 = 3

  Prawa część równania: ((11 mod 4)⁷) mod 4 = (3⁷) mod 4 = 2187 mod 4 = 3

Użyteczność tego wzoru może nie być tak oczywista w tym konkretnym przykładzie, ponieważ nadal musimy użyć kalkulatora, aby znaleźć wynik potęgowania (zakładając, że nie znamy od razu, ile wynosi 3⁷). Spójrzmy więc na inny problem: chcemy obliczyć A^B mod C dla dużych wartości B — np. 100. Niestety, nasz kalkulator nie radzi sobie z tak dużymi liczbami z powodu przepełnienia — można w nim przechowywać tylko liczby nie większe niż 2⁶⁰. Można jednak użyć właściwości mnożenia, aby obejść ten problem:

2¹⁰⁰ = 2⁵⁰ · 2⁵⁰

2¹⁰⁰ mod 3 = (2⁵⁰ mod 3 · 2⁵⁰ mod 3) mod 3

2¹⁰⁰ mod 3 = (1 · 1) mod 3 = 1

Istnieją jeszcze szybsze metody potęgowania modularnego dla niektórych szczególnych przypadków (jeśli B jest potęgą 2). Jeśli chcesz o nich poczytać i poćwiczyć arytmetykę modularną, sprawdź nasz dedykowany kalkulator potęgi modulo.

Słowo modulo pochodzi od łacińskiego słowa modus, oznaczającego miarę. Zwykle, gdy używamy słowa modulo, mamy na myśli operację modulo, np. 11 mod 3 równa się 2 — więc jest to po prostu znalezienie reszty. W ścisłej definicji modulo oznacza:

w odniesieniu do określonego modułu

lub

A jest takie samo jak B modulo C, z wyjątkiem różnic uwzględnionych lub wyjaśnionych przez C.

Jest to definicja, o której pisaliśmy w części wyjaśniającej kongruencję modulo.

Operacja modulo jest często używana w językach programowania. Zwykle do oznaczenia tej operacji wykorzystuje się znak procentu %. Alternatywnie stosuje się go czasami jako operator reszty dla liczb ujemnych. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o pochodzeniu znaku %, gorąco zachęcamy do przeczytania krótkiego akapitu, który przygotowaliśmy na temat historii znaku procentu.

Musisz być uważny, ponieważ istnieje pewna niejednoznaczność z definicją modulo, gdy brane są pod uwagę wartości ujemne. Istnieją dwie możliwe opcje dla reszty — jedna ujemna, a druga dodatnia — a wynik zależy od implementacji w wybranym języku programowania.

Może to nie być oczywiste na pierwszy rzut oka, ale istnieje wiele zastosowań modulo — od życia codziennego po problemy matematyczne i naukowe!

1. Najbardziej oczywistym i dobrze znanym przykładem jest tak zwana arytmetyka zegarowa 🕞. Może to być dodawanie godzin, jak w wyjaśnieniu modulo na początku tego tekstu, lub minut czy też sekund!

   Nikt nie powie, że „zostało ci 40 minut i 90 sekund”, prawda? Jedyną opcją jest wykonanie operacji modulo i znalezienie ilorazu i reszty — 60 · 1 + 30 = 90. 41 minut i 30 sekund brzmi znacznie lepiej.

2. Operacje modulo są używane do obliczania sum kontrolnych numerów seryjnych. Cyfry kontrolne są używane głównie w długich liczbach i są to cyfry obliczane przez algorytm. Służą one do informowania o błędach wynikających np. z literówek. Zastosowanie modulo można znaleźć w następujących przypadkach:

   • W naszym kalkulatorze cyfr kontrolnych 🇺🇸:
     • Cyfry kontrolne GTIN, UPC i EAN są używane do potwierdzenia integralności kodu kreskowego. Wzór na cyfry kontrolne wykorzystuje modulo 10.
     • ISBN i ISSN, które są unikalnymi identyfikatorami periodyków i książek, mają modulo 11 lub modulo 10.
   • IBAN — międzynarodowe numery kont bankowych — wykorzystują modulo 97, aby sprawdzić, czy klient nie pomylił numeru.
   • NPI — National Provider Identifier, wykorzystuje operację modulo 10 do obliczenia cyfry dziesiątek.

   Ponieważ cyfry kontrolne są używane do wychwytywania ludzkich błędów transkrypcji, są one często używane w przypadku długich numerów seryjnych. Inne przykłady algorytmów cyfr kontrolnych wykorzystujących operacje modulo to:

   • Krajowy numer identyfikacyjny (np. w Islandii, Turcji, Polsce),
   • Numer identyfikacji podatkowej (Hiszpania),
   • Numer identyfikacyjny pojazdu (USA),
   • …i wiele, wiele innych.

3. Jest stosowane w wielu dziedzinach nauki, takich jak algebra komputerowa, kryptografia, informatyka lub prosta matematyka szkolna — jak w algorytmie euklidesowym do obliczania największego wspólnego dzielnik.

4. Modulo jest przydatne, gdy trzeba coś podzielić. Przykładem może być dzielenie się pizzą z przyjaciółmi lub rodziną.

5. Istnieją nawet zastosowania modulo w grze Minecraft. mod 64 powie ci, ile pełnych stosów kostki brukowej będziesz potrzebować do zbudowania posągu Creepera.

Załóżmy, że masz dużą pizzę podzieloną na 10 części i jesteś w grupie trzech osób. Ile plasterków zostanie, gdy podzielicie się pizzą po równo?

To jest dokładnie ten przypadek, kiedy można użyć modulo! 10 mod 3 = 1. Innymi słowy, 10 podzielone przez 3 równa się 3, ale pozostaje 1 kawałek 🍕. To nie był najtrudniejszy przykład, ale mamy nadzieję, że widzisz przydatność modulo.

O nie! Robimy się głodni. Zostawmy tę pyszną zabawę i wróćmy na Ziemię. Jeśli chcesz poznać więcej ciekawych zastosowań arytmetyki modularnej, zajrzyj na anglojęzycznego bloga betterexplained.com.