Trapez Rechner

Willkommen beim Trapez-Rechner von Omni, wo wir alles über diese vierseitigen Formen lernen. Wir zeigen dir, wie man den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet, wie man die Höhe eines Trapezes findet oder wie die Trapez-Umfangsformel aussieht. Wir beschreiben zudem einige besondere Arten von Vierecken: das gleichschenklige Trapez und das rechtwinklige Trapez. Und keine Sorge, wir lassen nichts aus – wir erwähnen auch den Median und die Trapezwinkel im Rechner.

Es sieht so aus, als gäbe es einiges zu besprechen, also lass uns loslegen!

Ein Trapez ist ein Viereck (eine Form mit vier Seiten), das mindestens ein Paar gegenüberliegende Seiten hat, die parallel zueinander sind. Beachte, dass wir „mindestens ein Seitenpaar” gesagt haben – wenn die Form zwei solche Paare hat, ist sie lediglich ein Rechteck. Und mach keinen Fehler – jedes Rechteck ist ein Trapez. Der umgekehrte Fall ist natürlich nicht wahr.

Die beiden parallelen Seiten werden in der Regel Grundseiten genannt. Normalerweise zeichnen wir Trapeze so, wie wir es oben getan haben. Das könnte ein Grund dafür sein, warum wir oft zwischen unterer und oberer Grundseite unterscheiden. Die beiden anderen nicht parallelen Seiten werden Schenkel genannt (ähnlich wie die beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks).

Wir möchten hier ein paar Sonderfälle von Trapezen erwähnen.

1. Rechteck

   Wir haben dies bereits am Anfang dieses Abschnitts erwähnt – ein Rechteck ist ein Trapez, das zwei Paare von gegenüberliegenden Seiten hat, die parallel zueinander sind.

2. Gleichschenkliges Trapez

   Ein Trapez, dessen Schenkel die gleiche Länge haben (ähnlich wie wir gleichschenklige Dreiecke definieren).

3. Rechtwinkliges Trapez

   Ein Trapez, bei dem ein Schenkel senkrecht auf der Grundseite steht. Beachte hierbei zwei Dinge. Erstens: Nur einer der Schenkel diese Bedingung erfüllen muss – der andere kann, aber muss nicht. Zweitens: Wenn ein Schenkel senkrecht auf einer der Grundseiten steht, ist er automatisch auch senkrecht auf der anderen, da die beiden parallel sind.

Mit diesen Sonderfällen im Hinterkopf kann ein scharfes Auge feststellen, dass Rechtecke die Bedingungen 2 und 3 erfüllen. Wenn jemand nicht weiß, was ein Rechteck ist, können wir einfach sagen, dass es ein gleichschenkliges Trapez ist, das auch ein rechtwinkliges Trapez ist. Eine ziemlich ausgefallene Definition im Vergleich zu der üblichen, aber sie lässt uns sehr schlau klingen, findest du nicht auch?

Bevor wir zum nächsten Abschnitt übergehen, möchten wir noch zwei Segmente erwähnen, die alle Trapeze haben.

Die Höhe eines Trapezes ist die Entfernung zwischen den Grundseite, d.h. die Länge einer Verbindungslinie, die senkrecht auf beiden steht. Dieser Wert ist sogar entscheidend, wenn es darum geht, den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen, und bekommt deshalb einen eigenen Abschnitt.

Der Median eines Trapezes ist die Gerade, die die Mittelpunkte der Schenkel miteinander verbindet. Mit anderen Worten: Es ist die Gerade, die das Trapez waagerecht in zwei Hälften schneidet. Sie verläuft immer parallel zu den Grundseiten, und mit der Notation wie in der Abbildung haben wir $\mathrm{Median} = (a + b) / 2$. Wenn du dich für den Namen interessierst, schau dir den Median Rechner von Omni an (Achtung: er betrifft keine Trapeze).

Nun kennen wir unsere Form jetzt ziemlich gut; wir haben sogar eine Trapezformel gesehen! Gehen wir noch einen Schritt weiter und versuchen, das Thema noch besser zu verstehen. Wir beginnen diese gründliche Analyse mit der Formel für den Umfang des Trapezes und seinen Innenwinkeln.

Der Umfang eines Polygons ist die Summe seiner Seitenlängen. Für den Star des heutigen Artikels sieht es nicht anders aus. Mit der Notation wie auf dem Bild im ersten Abschnitt (und im Trapez-Rechner) leiten wir die Formel für den Umfang eines Trapezes ab:

Ziemlich einfach, findest du nicht auch?

Lass uns als Nächstes über die Winkel sprechen. Genau wie bei jedem anderen Viereck ist die Summe der Winkel in einem Trapez $360\degree$ (oder $2\pi$ radians). Die Notation aus der Abbildung im ersten Abschnitt bedeutet Folgendes:

Die Bedingung, ein Trapez zu sein (d.h. ein Paar parallele Seiten zu haben), zwingt den einzelnen Schenkeln jedoch zusätzliche Eigenschaften auf. Um genau zu sein, sind die Winkelpaare entlang eines der Schenkel zusätzliche Winkel. Das bedeutet, dass ihre Summe gleich $180\degree$ (oder $\pi$ radians) sein muss, wie du in unserem Supplementärwinkel Rechner 🇺🇸 und in der folgenden Abbildung sehen kannst:

Die gleiche Eigenschaft können wir auch auf dem anderen Schenkel des Trapezes beobachten, wie wir unten sehen können:

Beachte, dass unser Tool auch die Winkel in der unteren Gruppe der Variablenfelder anzeigt. So kann es auch als Trapez-Winkel-Rechner dienen, wenn wir nach diesen Werten suchen. Und in der Tat sind sie oft nützlich – sie spielen eine wesentliche Rolle, wenn wir lernen, wie man die Höhe eines Trapezes bestimmt, und das wiederum taucht auf, wenn wir lernen, wie man den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet. Beginnen wir jedoch mit der letzteren Frage.

Lass uns das Bild aus dem ersten Abschnitt noch einmal ansehen, damit du nicht den ganzen Artikel durchscrollen musst, wenn du dir die Schreibweise ins Gedächtnis rufen möchtest.

Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet wie folgt:

Wie wir schon ein paar Mal erwähnt haben, ist es wichtig zu wissen, wie man die Höhe eines Trapezes findet, um seinen Flächeninhalt zu berechnen. Außerdem kommen die Schenkel in der Gleichung nicht vor. Sie bestimmen zwar die Form unseres Vierecks, aber ihre Längen werden nur in der Formel für den Umfang des Trapezes verwendet, die wir im obigen Abschnitt besprochen haben.

Zum Schluss wollen wir noch klarstellen, dass es in der obigen Flächeninhalt-Formel eines Trapezes keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge wir durch** $2$ teilen. Wir können entweder zuerst $(a + b) \cdot h$ berechnen und dann das Ganze durch $2$ dividieren, oder zuerst $h/2$ ermitteln und dann mit $(a + b)$ multiplizieren. Ein aufmerksames Auge wird feststellen, dass $(a + b) / 2$ der Median ist, den wir im ersten Abschnitt erwähnt haben. Mit anderen Worten, wir können alternativ die Formel $A = \mathrm{Median} \cdot h$ verwenden, um $A$ zu finden.

Gut, wir haben gelernt, wie man den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet, und es scheint alles ganz einfach zu sein, wenn man uns alle Daten angibt. Aber was ist, wenn wir nicht alle Werte kennen? Die Grundseiten sind ziemlich einfach, aber was ist mit $h$? Nun, es ist an der Zeit zu sehen, wie man die Höhe eines Trapezes findet.

Die entscheidende Tatsache, mit der wir die Höhe eines Trapezes bestimmen, ist, dass es sich um ein Segment handelt, das senkrecht zur Grundseite steht. Dadurch haben wir an beiden Endpunkten einen rechten Winkel, was uns erlaubt, rechtwinklige Dreiecke zu verwenden. Und das Erste, was uns in den Sinn kommt, wenn wir den Ausdruck rechtwinkliges Dreieck hören, ist natürlich der Satz des Pythagoras.

Ziehen wir eine Linie von einem der oberen Scheitelpunkte, die in einem Winkel von $90\degree$ auf die untere Grundseite $a$ fällt. Beachte, dass bei stumpfen Trapezen wie dem im rechten Bild oben die Höhe $h$ außerhalb der Form liegt, d.h. auf die Linie, die $a$ enthält, und nicht auf $a$ selbst, trotzdem gilt das, was wir weiter unten beschreiben, auch für solche Vierecke. Die Länge dieser Gerade ist gleich der Höhe unseres Trapezes, also genau das, was wir suchen. So wie wir die Gerade gezeichnet haben, bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck mit einem der Schenkel $c$ oder $d$ (je nachdem, welchen oberen Scheitelpunkt wir gewählt haben).

Wenn wir die Länge des Schenkels eines Trapezes kennen und die andere Seite des rechtwinkligen Dreiecks herausfinden können (d.h. $e$ oder $f$ in der obigen Abbildung), dann wissen wir, wie wir die Höhe eines Trapezes bestimmen können – wir benutzen den Satz des Pythagoras. Es gibt aber auch eine andere Möglichkeit, sie zu berechnen.

Wenn du dich ein wenig mit Trigonometrie auskennst, kannst du die Höhe mithilfe des Innenwinkels des Trapezes ermitteln. Um genau zu sein, können wir die Winkel des Trapezes in unserem Rechner (d.h. in der Notation auf dem Bild) mithilfe der Definition der trigonometrischen Funktionen berechnen:

Dabei ist $\sin$ die Sinusfunktion. Tatsächlich kann es vorkommen, dass der Winkel gleich $30\degree$, $45\degree$ oder $60\degree$ ist. In diesem Fall können wir einfach die Eigenschaften der besonderen rechtwinkligen Dreiecke mit solchen Innenwinkeln nutzen.

Zum Schluss möchten wir noch erwähnen, dass die Suche nach $h$ in einem speziellen Fall super einfach ist – nämlich dann, wenn wir ein rechtwinkliges Trapez haben. Dann ist die Höhe unseres Trapezes einfach der Schenkel, der dem rechten Winkel anliegt. Beachte, dass in diesem Fall die obige trigonometrische Formel immer noch funktioniert, da $\sin(90\degree) = 1$.

Puh, das war eine Menge Theorie. Es ist höchste Zeit, dass wir diese Formeln für Trapeze anwenden und im nächsten Abschnitt dieses Textes sehen, wie man den Flächeninhalt und den Umfang eines Trapezes in der Praxis berechnet.

Schauen wir uns an, wie man den Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes mit Seiten und Winkeln wie im Trapez-Rechner und den folgenden Daten berechnet:

und:

Es sieht nicht nach viel aus, aber wir wollen mal sehen, was wir hier tun können. Zunächst können wir feststellen, dass unser Trapez-Rechner unser Problem auch mit so wenigen Informationen leicht lösen kann. Wenn wir nämlich die oben genannten Zahlen in unser Tool eingeben (beachte, dass wir zu anderen Einheiten wechseln können, indem wir sie anklicken und die passende aus der Liste auswählen), füllt er alle anderen Felder aus. Als Trapez-Winkel-Rechner wird er zum Beispiel die im zweiten Abschnitt genannten Identitäten verwenden, um $\beta$ und $\gamma$ zu berechnen. Beachte auch, dass wir zusätzlich die Option Erweiterter Modus öffnen können, um die Länge des Medians zu sehen.

Wenn das Tool das kann, können wir das auch! Schauen wir uns an, wie wir den Flächeninhalt und den Umfang eines Trapezes von Hand berechnen können.

Zunächst einmal stellen wir fest, dass wir es mit einem rechtwinkligen Trapez zu tun haben, da $\alpha=90\degree$ (tatsächlich haben wir auch $\beta = 90\degree$). Das bedeutet, dass die Seite $c$ senkrecht zu den Grundseiten steht und daher gleich der Höhe $c = h$ ist. Allerdings kennen wir $c$ nicht, also müssen wir sie noch finden.

Dazu zeichnest du die Höhe unseres Trapezes, die vom Scheitelpunkt zwischen $b$ und $d$ ausgeht. Zusammen mit $d$ und einem Teil von $a$ bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck. Außerdem kennen wir einen seiner Winkel – $\delta = 45\degree$. Das bedeutet, dass es sich um einen der Sonderfälle handelt – es ist die Hälfte eines Quadrats. Daher ist $h$ gleich der unteren Seite des Dreiecks, und $d$ ist in der Tat die Diagonale eines Quadrats, was folgenden Mittelwert ergibt:

(das letzte Ergebnis erhalten wir durch Rationalisierung des Nenners).

**Jetzt haben wir alles, was wir brauchen, um $A$ zu finden. Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet (#wie-berechnet-man-den-flacheninhalt-eines-trapezes) und verwende dein Wissen, um folgendes zu erhalten:

Wir haben auch alle Daten gesammelt, um $P$ seit $c = h = 1,\!5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ zu finden. Mit der Formel für den Umfang des Trapezes aus [dem zweiten Abschnitt] (#formel-fur-den-umfang-und-die-winkel-des-trapezes) erhalten wir:

Die Werte für die Seiten und Winkel, die wir am Anfang bekommen haben, schienen ziemlich willkürlich zu sein, aber wir haben es geschafft, sie gut zu nutzen. Wenn du Hunger auf mehr Geometrie und Formeln verspürst, solltest du dir die anderen Rechner für zweidimensionale Formen auf der Omni-Website ansehen – wir haben sie alle!