Erwartungswert Rechner

Quält dich die Frage nach der Berechnung des Erwartungswertes? Unser Erwartungswert-Rechner bietet dir die Lösung! Gib einfach die Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten ein und er erledigt den Rest. Wenn du dich noch nicht so gut mit den Wahrscheinlichkeiten auskennst, solltest du zuerst unseren Wahrscheinlichkeitsrechner besuchen.

Im folgenden Text erfährst du die Erwartungswertformel, die Erwartungswertdefinition und wie man den Erwartungswert von Hand berechnet.

Der Erwartungswert ist eine Annäherung an den Mittelwert einer Zufallsvariablen — eine Vorhersage darüber, wie der Durchschnitt aussehen würde, wenn wir das Experiment viele Male wiederholen würden. Wenn wir zum Beispiel tausendmal einen Würfel werfen, was wäre dann der wahrscheinlichste Durchschnitt der Ergebnisse? Diese Zahl wird als Erwartungswert bezeichnet.

Mathematisch gesehen ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen $X$ die Summe aller möglichen Werte $x$ von $X$, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dieses Wertes, $P(x)$.

Sieh dir die Formel für den Erwartungswert an:

dabei ist $P(x_i)$ die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert $x_i$ eintritt ($i = 1, \ldots, n$) und $n$ die Anzahl aller möglichen Werte, die unsere Zufallsvariable annimmt.

Wir können die obige Formel unter Verwendung des Summenzeichens wie folgt umformulieren:

Wenn du bereits unseren Gewichteter Mittelwert Rechner besucht hast, ist dir vielleicht aufgefallen, dass die Ermittlung des Erwartungswerts der Berechnung des gewichteten Mittelwerts ähnelt, aber statt Gewichten verwenden wir Wahrscheinlichkeiten.

Lernen wir zunächst, wie man den Erwartungswert findet, wenn man keine Zeit für manuelle Berechnungen hat.

Gib die Werte deiner zufälligen Variablen zusammen mit ihren Wahrscheinlichkeiten in den Rechner ein. Du kannst bis zu 20 Zahlen eingeben. Wenn du das letzte Feld ausfüllst, werden neue Zeilen angezeigt, sofern du sowohl den Wert als auch die Wahrscheinlichkeit angegeben hast.

Denke daran, dass die Wahrscheinlichkeit nicht kleiner als Null und nicht größer als Eins sein kann. Eine Wahrscheinlichkeit von Null bedeutet, dass das Ereignis nicht eintreffen kann, und eine Wahrscheinlichkeit von Eins beschreibt eine 100%ige Sicherheit für das Eintreten des Ereignisses.

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss genau Eins ergeben. Ist dies nicht der Fall, zeigt der Rechner eine Warnmeldung an, diese verschwindet nach Ausbesserung.

Wenn die Wahrscheinlichkeiten korrekt sind und in Summe Eins ergeben, wird unten der erwartete Wert angezeigt.

Lass uns als Beispiel den Erwartungswert eines Würfelwurfs berechnen.

Es gibt sechs mögliche Ereignisse für einen Wurf: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Alle Ereignisse sind gleich wahrscheinlich, also ist die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Ereignisse gleich 1/6. Jetzt müssen wir nur noch alles in die Erwartungswertgleichung einsetzen:

E(x) = 1 ∙ 1/6 + 2 ∙ 1/6 + 3 ∙ 1/6 + 4 ∙ 1/6 + 5 ∙ 1/6 + 6 ∙ 1/6

E(x) = 21/6

E(x) = 3,5

Das Ergebnis der obigen Erwartungswert-Definition ist 3,5. Du kannst dies mit unserem Würfelwurf Rechner überprüfen.

Gehen wir nun ein praktischeres Erwartungswert-Beispiel durch.
Du schließt mit einem Freund eine Wette ab. Er gibt dir 100€, wenn du gewinnst, und du gibst ihm nur 45€, wenn er gewinnt. Du schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst, auf 35% und die Wahrscheinlichkeit, dass dein Freund gewinnt, auf 65%. Solltest du die Wette annehmen? Um diese Frage zu beantworten, kannst du die Erwartungswertgleichung verwenden:

E(x) = 100 ∙ 0,35 + (-45) ∙ 0,65 = 35 - 29,25 = 5,75

Der Erwartungswert dieser Wette beträgt 5,75€. Das Ergebnis legt nahe, dass du die Wette annehmen solltest. Wenn du viele Spiele spielst, bei denen der Erwartungswert positiv ist, überwiegen die Gewinne auf lange Sicht die Kosten.

Um den Erwartungswert zu ermitteln, benutze die Formel:
E(x) = x₁ ∙ P(x₁) + ... + x_n ∙ P(x_n).
Mit anderen Worten:

1. Multipliziere jeden Zufallswert mit seiner Auftretenswahrscheinlichkeit.
2. Addiere alle Produkte aus Schritt 1.
3. Das Ergebnis ist der Erwartungswert.

Ja, der Erwartungswert kann negativ sein. Betrachten wir zum Beispiel folgendes Szenario: 10 Schüler*innen beantworten einen Fragebogen, in dem sie aufgefordert werden, ihre Klasse auf einer Skala von -2 bis 2 zu bewerten. Fünf Schüler/innen geben eine Bewertung von -2 ab, zwei geben 1 an und drei geben 0 an. In diesem Fall wäre der Erwartungswert 5/10 ∙ (-2) + 2/10 ∙ 1 + 3/10 ∙ 0 = -0,8.

So berechnest du den Erwartungswert für eine bestimmte Zelle in einer Kreuztabelle:

1. Addiere die Zahlen in der Zeile der Zelle.

2. Addiere die Zahlen in der Spalte der Zelle.

3. Addiere alle Zellen in der Tabelle.

4. Um den Erwartungswert für eine bestimmte Zelle zu ermitteln, multipliziere ihre Zeilensumme (Schritt 1) mit ihrer Spaltensumme (Schritt 2) und dividiere durch die Summe aller Zellen (Schritt 3).