Calculadora de exponenciación modular

La calculadora de exponenciación modular de Omni está aquí para ayudarte siempre que necesites calcular potencias en aritmética modular. Utiliza uno de los algoritmos rápidos de exponenciación modular, por lo que no hay riesgo de enfrentarse al problema del desbordamiento. Si alguna vez necesitas realizar la exponenciación módulo n a mano, te explicamos varios métodos útiles que puedes utilizar en casa, incluido el pequeño teorema de Fermat.

¿Has consultado ya el resto de nuestras calculadoras de exponenciación y exponentes?

• Calculadora de multiplicación de exponentes 🇺🇸;
• Calculadora de división de exponentes 🇺🇸;
• Calculadora de exponentes de fracciones 🇺🇸;
• Calculadora de regresión exponencial 🇺🇸;
• Calculadora de crecimiento exponencial.

Exponenciación modular significa que realizamos la exponenciación sobre un módulo, es decir, para los números enteros a,b,n queremos encontrar c tal que

$c = a^b \operatorname{mod}n$

y $0 \leq c < n$. La potencia de cálculo en aritmética modular está ligada a los inversos modulares, que puedes descubrir con ayuda de nuestra calculadora de inverso multiplicativo modular 🇺🇸.

Puedes realizar este cálculo manualmente, pero puede llevar mucho tiempo. Como alternativa, algunos teoremas matemáticos te permiten simplificar el problema en cuestión, véase más abajo. También hay algoritmos rápidos, que te darán el resultado casi inmediatamente. En esta calculadora de exponenciación modular utilizamos uno de estos algoritmos.

Esta calculadora de exponenciación modular es muy fácil de usar, así que no te costará nada utilizarla. Sólo necesitas

1. Introducir los datos para calcular la potencia de xʸ en aritmética modular:
   • Base x;
   • Exponente y;
   • Módulo n.
2. Tus datos aparecerán resumidos al final del cálculo. Comprueba si todo está correcto.
3. Allí aparecerá también el resultado de la exponenciación modular. Eso es todo.

Nuestra calculadora de exponenciación modular será tu mejor amiga si te enfrentas con frecuencia al problema de calcular potencias en aritmética modular. Sigue leyendo si necesitas saber cómo calcular a mano la exponenciación módulo n.

Aquí veremos varios ejemplos de realización manual de la exponenciación en módulo utilizando distintos métodos.

Ejemplo 1. Método directo

Calculemos 5⁴ mod 3.

Sabemos que 5⁴ = 625, así que nuestro problema es en realidad 625 mod 3.

Está claro que 625 no es divisible por 3, pero 624 sí lo es (porque la suma de sus dígitos es 6+2+4 = 12, que es divisible por 3).

Así que 625 - 1 es divisible por 3, lo que significa que 5⁴ mod 3 = 625 mod 3 = 1.

Ejemplo 2. Método inteligente

Calculemos 5⁴⁴ mod 2.

Va a ser muy difícil calcular 5⁴⁴, porque este número es muy, muy grande. Así que tenemos que ser inteligentes. Recuerda que mod 2 significa que estamos pidiendo si el número que tenemos a mano es par o impar: si es par, entonces es igual a 0 mod 2. Si es impar, es igual a 1 mod 2.

Si calculamos potencias consecutivas de 5, obtenemos 5, 25, 625,.... Como puedes ver, siempre tenemos 5 como último dígito. De hecho, si tienes un número con la última cifra igual a 5, y multiplicas este número por 5, seguro que vuelves a obtener 5 en el último lugar. Para verlo, imagina que realizas el algoritmo de la multiplicación larga: empiezas multiplicando 5 × 5, y así obtienes 25. Entonces 5 pasa a la fila del resultado, y 2 se transfiere a la siguiente columna. Pase lo que pase después, tienes 5 como último dígito.

Un número que tiene 5 como último dígito es impar. Así que 5⁴⁴ mod 2 = 1.

Ejemplo 3. Última cifra

Calculemos 5⁴⁴⁴ mod 10.

En primer lugar, debes saber que calcular mod 10 es lo mismo que calcular la última cifra del número. Ya hemos establecido que elevar 5 a cualquier potencia entera positiva da un número que termina en 5 (ver más arriba). Por lo tanto, 5⁴⁴⁴ también termina en 5, así que 5⁴⁴⁴ mod 10 = 5.

Ejemplo 4. Pequeño teorema de Fermat

Calculemos 162⁶⁰ mod 61.

El pequeño teorema de Fermat afirma que si n es un número primo, entonces para cualquier número entero a, tenemos:

$a^n \operatorname{mod} n = a$

Si además a no es divisible por n, entonces

$a^{n-1} \operatorname{mod} n = 1$

Por tanto, como en nuestro caso tenemos n = 61, que es un número primo, y a = 162, que no es divisible por 61, obtenemos

162⁶⁰ mod 61 = 1.