Calculadora de octógonos

Hola y bienvenido a la calculadora de octógonos, o calculadora de octágonos, la herramienta definitiva para todo lo relacionado con lo octogonal. Esperamos que aquí que encuentres una herramienta excelente para calcular las diagonales, el perímetro, el circunradio, el inradio y el área de un octógono regular. En esta calculadora del área de un octógono también encontrarás las respuestas a las siguientes preguntas: qué es un octógono, cuántos lados tiene un octógono, cómo hallar el área de un octógono regular o cómo dibujar un octógono.

Repasaremos la definición de octógono, discutiremos los ángulos del octógono y cómo afectan a la forma del octógono. Además, veremos algunos ejemplos de octógonos del mundo real, como baldosas octogonales, revestimiento de pisos, y la famosa “Octagon House”.

La definición estándar de octógono es algo como “Un octógono es un polígono de 8 lados que delimita un área cerrada”. Cualquiera con conocimientos básicos de griego debería poder responder cómodamente a la pregunta cuántos lados tiene un octógono sin tener nociones de matemáticas. Esto se debe a que “Octo-” en griego significa ocho, por lo que es seguro suponer que un octógono tiene ocho lados o que un octópodo tiene ocho patas.

Profundizaremos un poco más en el origen griego de la forma octogonal cuando hablemos de los ángulos del octógono, pero, por ahora, ciñámonos a los lados del octógono. Si alguien pregunta “¿cuántos lados tiene un octógono?”, la respuesta es siempre la misma, pero si preguntan por la longitud de esos lados, no podemos dar una única respuesta. Cada lado de un octógono puede tener longitudes diferentes y seguir siendo un octógono; no hay restricciones al respecto. Sin embargo, cuando todos los ángulos internos y las longitudes de los lados de un octógono son iguales, se denomina octógono regular y tiene propiedades especiales, como veremos en los siguientes apartados.

Si nos fijamos en el origen de la palabra “Octógono”, procede del griego y significa “ocho ángulos”. El resultado es un polígono compuesto por ocho vértices unidos por ocho rectas. Los ocho lados son una consecuencia necesaria de tener ocho ángulos. De hecho, la definición estándar de octógono define que el octógono tiene ocho lados en lugar de ocho ángulos, pero ya sabes que ambas definiciones son prácticamente iguales. Así que a la pregunta “¿qué es un octógono?” se responde igual de bien diciendo “un polígono de ocho lados” que “un polígono con ocho ángulos”.

Mientras que los lados de un octógono pueden tener casi cualquier longitud, los ángulos del octógono están restringidos. No se impone una restricción a cada ángulo, sino a la suma de ellos. Esta restricción es geométrica, ya que sería imposible unir los ocho lados sin seguir esta regla. Para cualquier octógono, la suma de todos sus ángulos internos es siempre 1080°.

Eso significa que un octógono regular tendrá ángulos internos de exactamente 1080°/8 = 135° (si prefieres utilizar otras unidades, no dudes en utilizar nuestro convertidor de ángulos 🇺🇸). En nuestra opinión, un octógono regular es mucho más bonito que todos los demás octógonos. Más adelante, en el texto, veremos cómo hallar el área de un octógono y los trucos asociados a un octógono regular.

Si quieres saber cómo hallar a mano el área de un octógono regular, el procedimiento más sencillo es aplicar la fórmula para el área de un polígono regular. La fórmula es la siguiente:

área de un polígono regular = perímetro × apotema / 2,

donde la apotema es la distancia desde el centro del polígono al punto medio de un lado.

Un truco para recordar esta fórmula es entender de dónde viene. Si te fijas en la apotema, verás que es la altura de un triángulo que se forma tomando una línea desde los vértices del polígono/octógono hasta el centro del mismo. El triángulo resultante es lo que se llama un triángulo isósceles, y su área es:

área del triángulo = base × altura / 2
(como explicamos en la calculadora del área de un triángulo).

Observa que la base del triángulo es la longitud de un lado del octógono. Como hay tantos triángulos como lados tiene el polígono (ocho para un octógono), tienes que multiplicar el área de este triángulo por el número de lados. Obtendrás el área total del octógono:

área del octógono = 8 × base × altura / 2 = perímetro × apotema / 2.

Estos trucos sirven para cualquier polígono, por ejemplo, hexágonos y cualquier otro polígono que se te ocurra, siempre que sea regular. Aparte de utilizar triángulos, hay otros trucos que puedes utilizar para calcular el área de un octógono si no recuerdas la fórmula, pero no funcionarán para otros polígonos. Por ejemplo, si imaginas un octógono dentro de un cuadrado, verás que la diferencia es de solo cuatro triángulos rectángulos. “¿Cómo hallo el área de un octógono regular con esta información?”, te preguntarás. Pues es muy fácil:

1. Calcula el área del cuadrado (el lado es 2 × apotema),
2. Calcula los lados de los triángulos rectángulos usando la calculadora de triángulos rectángulos especiales.
3. Resta cuatro veces el área del triángulo rectángulo al área del cuadrado.
4. ¡Disfruta de tus resultados!

Como alternativa, puedes utilizar este truco. Si organizas correctamente los triángulos rectángulos, puedes construir un cuadrado a partir de los cuatro. En este caso, la hipotenusa es también el lado del octógono. Entonces puedes calcular el área del cuadrado que acabas de construir a partir de los cuatro triángulos rectángulos y restarla del área del cuadrado grande.

Además de esto, puedes ser aún más creativo. Por ejemplo, imagina que el octógono está compuesto por un rectángulo, un trapecio por encima del rectángulo, y otro trapecio por debajo. En este caso, será mucho más fácil calcular el área, ya que solo tienes que sumar el área del rectángulo más el doble del área de uno de los trapecios (ambos trapecios son iguales).

En total, un octágono tiene 20 diagonales; las más largas están en sus ejes de simetría, y se juntan en el punto central, O, que es también el origen de simetría. Hay tres tipos de diagonales (echa un vistazo a la imagen de arriba en la sección “Área de un octágono” como referencia):

• diagonales cortas, por ejemplo, AG, FH o CE;
• diagonales medianas, por ejemplo AF o BE (también llamadas altura de un octágono); y
• Diagonales largas, por ejemplo, AE o BF.

Puedes deducir la fórmula de cada una de ellas con facilidad utilizando los principios básicos de la geometría. Aquí tienes las fórmulas para la longitud de las diagonales:

• Diagonal corta s = a × √(2 + √2)
• Diagonal mediana m = a × (1 + √2)
• Diagonal larga l = a × √(4 + 2√2)

Si te da pereza o tienes prisa, usa la calculadora de octógonos.

También debemos hablar del circunradio y del inradio. Nuestra calculadora del área del octógono es capaz de hallar los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita.

Puedes observar que el circunradio es simplemente la mitad de la longitud de la diagonal más larga:

• R = l/2 = a / 2 × √(4 + 2√2)

Del mismo modo, el inradio es igual a la apotema, que es justo la mitad de la altura del octógono (diagonal media):

• r = m/2 = a/2 × (1 + √2)

A primera vista puede parecer fácil dibujar un octógono y, en principio, lo es. Basta con dibujar cualquier forma con ocho lados rectos, y ya está. Pero normalmente, lo que la gente quiere dibujar no es cualquier octógono, sino un octógono regular, ya que es la forma de octógono que primero le viene a la mente. Así que veamos cómo dibujar un octógono de la forma más regular y sencilla posible.

La forma más precisa sería utilizar herramientas de dibujo adecuadas y empezar a dibujar la forma del octógono regular lado a lado, uniéndolos con los ángulos correspondientes del octógono regular de 135°. Pero no todo el mundo tiene esas herramientas a mano, así que no es un método muy práctico. Para obtener la forma octogonal que buscamos, lo mejor es empezar por su circunferencia, ya que se puede dibujar a mano (no se recomienda) o usando un vaso, una taza o incluso una moneda.

Con la circunferencia dibujada, empieza a dividir el área del círculo correspondiente en mitades. Primero, harás dos semicírculos. Luego, vuelve a dividirlos por la mitad y obtendrás cuatro cuartos de círculo. Divídelo una vez más por la mitad y acabarás teniendo ocho octavos de círculo. Ahora podemos tomar los puntos de división a lo largo de la circunferencia y unir los adyacentes con líneas recta. El resultado es un octógono perfectamente regular, menos el error humano que puedas cometer al dibujar y dividir por la mitad.

Otro truco para dibujar un octógono sería el que ya hemos comentado al aprender cómo hallar el área de un octógono utilizando cuadrados. Empieza dibujando un cuadrado grande y luego “corta” sus esquinas. El término matemático para este procedimiento es truncar el cuadrado. Si lo haces bien, obtendrás un octógono regular. Este método no es tan preciso como el anterior, pero es más fácil de realizar sin ninguna herramienta.

Utilizar la calculadora de octógonos no es demasiado complicado, pero por si alguien tuviera tener alguna duda y para completar esta calculadora, vamos a repasar las características y usos de esta calculadora de área de octógonos. En primer lugar, veamos los distintos campos y lo que significan.

• longitud de un lado: es la longitud de cada a lado del octógono regular;
• perímetro: suma de la longitud de todos los lados del octógono;
• área: espacio encerrado por el propio octógono;
• diagonal más larga: longitud de la línea que une los 2 vértices más alejados;
• diagonal media: longitud de la línea que une 2 vértices con 2 vértices que se encuentran entre ellos;
• diagonal más corta: longitud de la línea que une 2 vértices con 1 vértice entre ellos;
• circunradio: radio de la circunferencia que contiene los 8 vértices del octógono regular; y
• inradio: radio de la circunferencia más pequeña que es tangente a los 8 lados.

Ahora que sabes lo que significa cada parámetro, es hora de ver cómo utilizar la calculadora de octógonos para obtener fácilmente los valores que buscas. La mejor característica de esta calculadora es que solo necesita que ingreses un valor para calcular el resto de los valores. Esta innovación convierte a la calculadora de octógonos, con un amplio margen, en la forma más rápida de calcular cualquier propiedad de un octógono.

Hasta ahora, hemos hablado de la definición de octógono y de cómo dibujar un octógono. Hemos visto dibujos de octógonos e incluso hemos respondido a la pregunta (ahora obvia) de cuántos lados tiene un octógono. Ahora ha llegado el momento de ver cómo se utilizan los octógonos en la vida real. La forma octogonal es más fácil de fabricar y usar en diseños que la circular, debido a los lados planos y a los ángulos octogonales. A menudo podemos encontrar baldosas octogonales como revestimiento en los pisos de los baños. Incluso hay casas que tienen forma octogonal, entre las que destaca la famosa “Octagon House”.

La Octagon House se construyó con forma octogonal en Washington D.C., EE. UU., para el coronel John Tayloe III. Por esta razón, también se la conoce como Casa del coronel John Tayloe III. Sigue la “tradición” estadounidense de dar a los edificios el nombre de su forma, como hicieron con el Pentágono (la sede del Departamento de Defensa de los Estados Unidos, construida en forma de pentágono regular).

La Octagon House tiene muchas características arquitectónicas interesantes, como una escalera de servicio triangular, una escalera ovalada más grande, y la evidente forma octogonal del edificio. Además de estas características singulares, la casa está rodeada de varias historias de fantasmas, en parte porque su propietario fue una figura importante de la historia estadounidense temprana.

Como cualquier polígono regular, la forma octogonal resulta útil en muchas aplicaciones diferentes. Ya hemos hablado de hacer casas con forma octogonal y, siguiendo con los edificios, los octógonos son especialmente populares en lo que respecta al revestimiento de pisos con baldosas octogonales. La forma de un octógono regular significa que podemos combinar baldosas octogonales y baldosas cuadradas para revestir por completo el piso de cualquier habitación, independientemente de sus metros cuadrados.

Utilizando un dibujo distinto en cada tipo de baldosa o usando colores diferentes, estas combinaciones te permitirían crear un bonito piso para tu cocina o baño.

Otra aplicación interesante de los octógonos es dentro de las cámaras fotográficas. En concreto, el obturador protege el sensor de la exposición a la luz cuando la cámara no está en uso. Este obturador, o apertura, se hace siempre siguiendo una forma poligonal regular, incluida la forma octogonal. Puedes aprender más sobre la apertura y cómo jugar con ella para conseguir fotos de aspecto más profesional con nuestra calculadora del área de apertura 🇺🇸.

Antes de que vayas a consultar esa calculadora, queremos darte un consejo/truco rápido. Cuando veas una foto de una fuente de luz brillante, te habrás dado cuenta de que parece una estrella con un número diferente de brazos puntiagudos, según la cámara. Esta observación es la clave para saber si tu cámara tiene una apertura octogonal o no: el número de brazos puntiagudos es exactamente igual al número de lados del polígono que forma la apertura. ¿Y cuántos lados tiene un octógono? ¡Exactamente! Así que solo tienes que buscar “formas de estrella” con 8 brazos puntiagudos, y sabrás que esta foto se tomó utilizando una apertura octogonal. Siempre funciona: es física y, más concretamente, un patrón de difracción.