Calculateur de variance

Le calculateur de variance est un excellent outil pédagogique pour apprendre à calculer la variance d'un ensemble de données. Le calculateur fonctionne à la fois pour les ensembles de données de la population et de l'échantillon.

Poursuivez votre lecture pour en savoir plus sur :

• la définition de la variance en statistiques ;
• la formule de la variance ;
• le calcul de la variance ; et
• comment calculer la variance à la main.

La variance est une mesure de la variabilité des valeurs dans un ensemble de données.

Une variance élevée indique qu'un ensemble de données est plus étalé ou propagé.

Une variance faible indique que les données sont plus étroitement groupées autour de la moyenne, ou moins étalées.

Apprendre à calculer la variance est une étape clé pour calculer l'écart type. Ces deux mesures constituent la base du calcul de l'écart type relatif et des intervalles de confiance.

Vous n'êtes pas sûr·e des deux dernières notions que nous avons utilisées ? Découvrez-les en visitant nos outils dédiés :

• Calculateur d'écart type relatif 🇺🇸
• Calculateur d'intervalle de confiance

La variance (notée σ²) est définie comme la différence moyenne au carré par rapport à la moyenne pour tous les points de données. Nous l'écrivons comme suit :

$\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

où :

• σ² – variance
• μ – moyenne
• xᵢ – i^ème point de données sur N points de données totaux

Vous pouvez calculer la variance en trois étapes :

1. Trouvez la différence par rapport à la moyenne pour chaque point. Utilisez la formule : $x_i - \mu$

2. Élevez au carré la différence par rapport à la moyenne pour chaque point : $(x_i - \mu)^2$

3. Trouvez la moyenne des différences élevées au carré par rapport à la moyenne que vous avez trouvée à l'étape 2 : $\frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

   Voici la formule de la variance de la population. Notez que cette formule est légèrement différente pour les données d'échantillon (voir la section suivante) et pour les données groupées. En fait, pour ces dernières, nous disposons d'un calculateur d'écart type pour données groupées 🇺🇸, qui détermine l'écart-type ainsi que la variance ou la moyenne pour les données groupées.

Dans de nombreuses expériences scientifiques, seul un échantillon de la population est mesuré pour des raisons pratiques. Cet échantillon nous permet de faire des déductions sur la population. Cependant, lorsque nous utilisons des données d'échantillon pour estimer la variance d'une population, la formule de variance habituelle, $\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$, sous-estime la variance de la population.

Pour éviter de sous-estimer la variance d'une population (et par conséquent, l'écart type), nous remplaçons N par N - 1 dans la formule de variance lorsque des données d'échantillon sont utilisées. Cet ajustement est connu sous le nom de correction de Bessel.

La formule de variance de l'échantillon devient alors :

$s^2 = \frac 1{N-1} \sum_{i=1}^N(x_i - \bar{x})^2$

où :

• s² – estimation de la variance
• x̄ – (prononcé comme « x-barre ») – moyenne de l'échantillon
• x_i – i^ème point de données sur N points de données totaux.

Calculons la variance des résultats de huit étudiants à un quiz : 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9. Procédez comme suit :

1. Calculez la moyenne .

Pour calculer la moyenne (x̄), divisez la somme de tous les nombres par le nombre de points de données :

$\overline{x} = \frac 18 (5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9)$

$\overline{x} = 7$

2. Calculez la différence par rapport à la moyenne et les différences au carré par rapport à la moyenne

Maintenant que nous savons que la moyenne est 7, nous allons calculer la différence par rapport à la moyenne en utilisant la formule :

$x_i - \overline{x}$

Le premier point a une valeur de 5, donc la différence par rapport à la moyenne est 5 - 7 = -2.

La différence au carré (ou « l'écart au carré ») par rapport à la moyenne est simplement le carré de l'étape précédente :

$(x_i - \overline{x})^2$

Ainsi, la différence au carré est alors :

$(5 - 7)^2 = (-2)^2= 4$

Le tableau ci-dessous présente les écarts au carré calculés par rapport à la moyenne pour toutes les notes de quiz. La colonne « Écart » correspond à la note moins 7, et la colonne « Écart² » correspond à la colonne précédente élevée au carré.

3. Calculez la variance et l'écart type.

Ensuite, nous utilisons les écarts au carré par rapport à la moyenne que nous avons trouvés à l'étape 2 dans l'équation de la variance :

$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

$\sigma^2 =\frac 18 (4 + 4 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4)$

$\sigma^2 = 2,\!75$

La variance des résultats du quiz est de 2,75.

Notez que si nous utilisions des données d'échantillon pour estimer la variance d'une population, nous utiliserions plutôt l'équation de la variance de l'échantillon :

$s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

Maintenant que vous savez comment trouver la variance, essayez de la calculer vous-même, puis vérifiez votre réponse en utilisant notre calculateur !

Vous trouverez peut-être intéressant que la variance puisse être utilisée pour calculer la dispersion 🇺🇸 des données.

Si vous calculez la variance à l'aide d'une calculatrice de poche, il existe une formule plus facile à utiliser. Cette formule alternative est mathématiquement équivalente, mais plus facile à taper sur une calculatrice.

La formule facile à taper pour la variance (pour les données de la population) est la suivante :

La formule simple de la variance de l'échantillon est la suivante :

Par exemple, avec un échantillon de données 1, 2, 4, 6, le calcul de la variance de l'échantillon serait le suivant :

Essayez vous-même, puis vérifiez votre réponse avec notre calculateur de variance !

Tableau 1. Variables pour les données de la population

Tableau 2. Variables pour les données de l'échantillon