Calcolatore di Potenza Modulo n

Il calcolatore di potenza modulo n di Omni è qui per aiutarti ogni volta che hai bisogno di calcolare potenze in aritmetica modulare. Questo calcolatore utilizza uno degli algoritmi di esponenziazione modulare più veloci, quindi non c'è il rischio di incorrere in calcoli enormi. Se dovessi avere bisogno di calcolare una potenza modulo n a mano, ti spieghiamo diversi metodi utili che puoi utilizzare, tra cui il piccolo teorema di Fermat.

Hai già visitato il resto dei nostri calcolatori per potenze?

• Calcolatore per la moltiplicazione di potenze 🇺🇸;
• Calcolatore per la divisione di potenze 🇺🇸;
• Calcolatore di potenze a esponente frazionario 🇺🇸;
• Calcolatore per la regressione esponenziale 🇺🇸; e
• Calcolatore di crescita esponenziale.

L'operazione di potenza modulo n, chiamata anche esponenziazione modulare o potenza modulare, significa che eseguiamo l'elevamento a potenza dell'operazione modulo. In altre parole, per numeri interi dati $a,b,n$ vogliamo trovare $c$, per $0 \leq c < n$, tale che:

$c = a^b \operatorname{mod}n$.

Il calcolo di potenza modulo n è legata all'inverso modulare, che puoi scoprire con l'aiuto del nostro calcolatore dell'inverso di modulo n.

Puoi eseguire questo calcolo a mano, ma questo potrebbe richiedere molto tempo. In alternativa, alcuni teoremi matematici ti permettono di semplificare il problema in questione — continua a leggere per scoprire come. Esistono anche algoritmi veloci, che ti daranno il risultato quasi immediatamente. In questo calcolatore di potenza modulo n utilizziamo uno di questi algoritmi.

Questo calcolatore di potenza modulo n è molto semplice da usare, quindi non avrai problemi ad utilizzarlo. Devi solo:

1. Inserire i dati per calcolare la potenza di $x^y$ in aritmetica modulare:
   • Base $x$,
   • Esponente $y$, e
   • $n$ per permettere l'esecuzione dell'operazione $\text {mod}\ n$;
2. I tuoi dati saranno riassunti nella parte inferiore del calcolatore. Verifica che tutto sia corretto; e
3. Il risultato dell'esponenziazione modulare apparirà in basso. Ecco fatto!

Il nostro calcolatore di potenza modulo n sarà il tuo migliore amico se ti trovi spesso di fronte al problema di calcolare le potenze nell'aritmetica modulare. Continua a leggere se vuoi sapere come calcolare le potenze modulo n a mano.

Qui vedremo diversi esempi di esponenziazione modulare fatta a mano, utilizzando diversi metodi.

Esempio 1 — Metodo diretto

Calcoliamo $5^4\operatorname{mod}3$.

Sappiamo che $5^4 = 625$, quindi il nostro problema è in realtà $625\operatorname{mod}3$.

Chiaramente, $625$ non è divisibile per $3$, ma per $624$ sì — la somma delle sue cifre è $6+2+4 = 12$, che è divisibile per $3$.

Quindi $625 - 1$ è divisibile per $3$, il che significa che $5^4\operatorname{mod}3 = 625\operatorname{mod}3 = 1$.

Esempio 2 — Metodo intelligente

Calcoliamo $5^{44}\operatorname{mod}2$.

Sarà molto difficile calcolare $5^{44}$, perché questo numero è molto, molto grande. Quindi, dobbiamo essere intelligenti. Ricordiamo che $\operatorname{mod}2$ significa che stiamo chiedendo se il numero in questione è pari o dispari: se è pari, allora è uguale a $0\operatorname{mod}2$. Se è dispari, è uguale a $1\operatorname{mod}2$.

Quando calcoliamo potenze consecutive di $5$, otteniamo $5, 25, 625,...$ Come puoi vedere, abbiamo sempre $5$ come ultima cifra. Infatti, se l'ultima cifra di un numero è $5$, allora la moltiplicazione di questo numero per $5$ avrà come risultato un numero che finisce anch'esso con un $5$. Per capirle ciò, immagina di eseguire l'algoritmo della moltiplicazione lunga: $5 \times 5=25$. Quindi $5$ va nella riga dei risultati e $2$ viene trasferito nella colonna successiva. Indipendentemente da ciò che succede dopo, l'ultima cifra è $5$.

Un numero che ha $5$ come ultima cifra è dispari. Quindi $5^{44}\operatorname{mod}2 = 1$.

Esempio 3 — Ultima cifra

Calcoliamo $5^{444}\operatorname{mod}10$.

Innanzitutto, devi capire che calcolare $\operatorname{mod}10$ equivale a calcolare l'ultima cifra del numero. Abbiamo già stabilito che elevando $5$ a qualsiasi potenza intera positiva si ottiene un numero che finisce con $5$ (vedi sopra). Anche $5^{444}$ termina con $5$; quindi $5^{444}\operatorname{mod}10 = 5$.

Esempio 4 — Il piccolo teorema di Fermat

Calcoliamo $162^{60}\operatorname{mod}61$.

Il piccolo teorema di Fermat afferma che se $n$ è un numero primo, allora per qualsiasi numero intero $a$, è vero che:

$a^n \operatorname{mod} n = a$.

Se inoltre $a$ non è divisibile per $n$, allora:

$a^{n-1} \operatorname{mod} n = 1$.

Quindi, poiché nel nostro caso abbiamo $n = 61$, che è un numero primo, e $a = 162$, che non è divisibile per $61$, otteniamo:

$162^{60}\operatorname{mod}61 = 1$.