Calcolatore per Ottagoni

Il calcolatore per ottagoni è lo strumento completo per tutto ciò che è ottagonale. Qui troverai un ottimo calcolatore di diagonali, circonferenza, raggio del cerchio inscritto e circoscritto, perimetro e area di un ottagono regolare. Nel seguente articolo ci concentreremo su molteplici argomenti:

• Che cos'è un ottagono? Definizione di ottagono
• Come si calcola l'area dell'ottagono?
• Come sono le diagonali di un ottagono?
• Come si calcola il raggio del cerchio inscritto e di quello circoscritto a un ottagono?
• Come costruire un ottagono? Costruzione di un ottagono inscritto in una circonferenza
• Come si usa il calcolatore per ottagoni?
• Ottagoni nella vita reale
• Qual è il numero fisso di un ottagono?

Insomma, ripasseremo la definizione di ottagono, vedremo come disegnare un ottagono, e nella sezione FAQ vedremo delle risposte ad altre domande cocenti e degli esempi pratici.

La definizione standard di ottagono è come segue — "Un ottagono è un poligono con 8 lati che delimita un'area chiusa". Chiunque abbia una conoscenza di base del greco dovrebbe essere in grado di rispondere comodamente alla domanda "quanti lati ha un ottagono?" senza alcuna nozione di matematica. Dato che "Octo-" in greco significa otto, viene spontaneo pensare che un ottagono abbia otto lati.

Ci addentreremo un po' di più nell'origine greca della forma dell'ottagono quando parleremo degli angoli dell'ottagono, ma, per il momento, limitiamoci ai lati dell'ottagono. Se qualcuno chiede — "Quanti lati ha un ottagono?", la risposta è sempre la stessa, ma se si chiede la lunghezza di questi lati, non possiamo dare una sola risposta. Ogni lato di un ottagono può avere lunghezze diverse e rimanere comunque un ottagono — non ci sono restrizioni in questo senso. Tuttavia, quando tutti gli angoli interni e le lunghezze dei lati di un ottagono sono uguali, viene chiamato ottagono regolare e ha delle proprietà speciali, come vedremo nelle prossime sezioni.

Se guardiamo all'origine della parola "Ottagono", essa deriva dal greco e significa "otto angoli". Il risultato è un poligono composto da otto vertici uniti da otto linee rette. Gli otto lati sono una conseguenza necessaria della presenza di otto angoli. In realtà, la definizione standard di ottagono definisce l'ottagono come avente otto lati piuttosto che otto angoli, ma sai già che entrambe le definizioni sono praticamente uguali. Quindi alla domanda "Che cos'è un ottagono?" si può rispondere in due modi: "un poligono con otto lati" e "un poligono con otto angoli".

Mentre i lati di un ottagono possono avere quasi tutte le lunghezze, gli angoli dell'ottagono sono limitati. Non c'è una restrizione imposta su ogni angolo, ma sulla loro somma. Questa restrizione è dovuta al fatto che sarebbe impossibile unire otto lati senza seguire questa regola.

Quindi, qual è la somma degli angoli interni di un ottagono?

La somma di tutti gli angoli interni di un ottagono è sempre pari a 1080°.

Ciò significa che in un ottagono regolare, la somma degli angoli interni è uguale a 1080°/8 = 135° (se preferisci altre unità di misura, usa pure il nostro convertitore di angoli 🇺🇸). A nostro avviso, un ottagono regolare è molto più bello di tutti gli altri ottagoni. Più avanti nel testo vedremo come si calcola l'area dell'ottagono e analizzeremo la costruzione di un ottagono dato il lato e data la circonferenza, tra altri.

La formula più semplice per calcolare l'area di un ottagono regolare è la seguente:

Area di un poligono regolare = perimetro × apotema / 2

Dunque, si tratta del semiprodotto tra il perimetro dell'ottagono e l'apotema, che è la distanza tra il centro dell'ottagono e il punto medio di uno dei suoi lati. È la formula utilizzata dal nostro calcolatore per ottagoni.

Il trucco per ricordare questa formula è capire da dove deriva. Se guardi l'apotema, puoi vedere che è l'altezza di un triangolo i cui lati sono due linee condotte da vertici vicini al centro dell'ottagono, e il lato tra quei vertici, che coincide con la base del triangolo.

Area del triangolo = base del triangolo × altezza del triangolo / 2

Tale triangolo è sempre un triangolo isoscele. Questa formula proviene dal nostro calcolatore per l'area del triangolo. Poiché esistono tanti triangoli quanti sono i lati del poligono (in un ottagono sono otto), devi moltiplicare l'area di uno di questi triangoli per il numero di lati. Otterrai così l'area totale dell'ottagono:

Area dell'ottagono = 8 × base del triangolo × altezza del triangolo / 2 = perimetro dell'ottagono × apotema dell'ottagono / 2

Questi trucchi funzionano per qualsiasi poligono, ad esempio gli esagoni e qualsiasi altro poligono ti venga in mente, purché sia regolare. Oltre all'uso dei triangoli, ci sono altri trucchi che puoi utilizzare per calcolare l'area di un ottagono se non ricordi la formula, ma non funzionano per altri poligoni. Ad esempio, se immagini un ottagono all'interno di un quadrato, puoi vedere che la differenza tra le aree di queste due figure è l'area dei quattro triangoli ai vertici del quadrato. Potresti chiederti — "Come si trova l'area di un ottagono regolare con queste informazioni?". Beh, è molto semplice:

1. Calcola l'area del quadrato (il lato è uguale a due volte l'apotema dell'ottagono);
2. Trova la lunghezza dei lati dei triangoli rettangoli utilizzando il calcolatore per triangoli rettangoli speciali;
3. Sottrai l'area di tutti e quattro i triangoli rettangoli dall'area del quadrato; e
4. Goditi il successo!

In alternativa, puoi usare un altro trucco. Se organizzi correttamente i triangoli rettangoli, puoi costruire un quadrato da tutti e quattro. In questo caso, l'ipotenusa è anche il lato dell'ottagono. A questo punto puoi calcolare l'area del parallelogramma che hai appena creato con i quattro triangoli rettangoli e sottrarla dall'area del quadrato grande.

Oppure, puoi immaginare che l'ottagono sia composto da un rettangolo con due trapezi, uno sopra e uno sotto. In questo caso, sarà molto più facile calcolare l'area dell'ottagono, poiché dovrai solo sommare l'area del rettangolo più il doppio dell'area di uno dei trapezi, dato che essi sono uguali.

In totale, un ottagono ha 20 diagonali. Le più lunghe si trovano sugli assi di simmetria e si incontrano nel punto centrale, O, che è anche l'origine della simmetria. Esistono tre tipi di diagonali (guarda l'immagine nella sezione Area di un ottagono qui sopra per riferimento):

• Diagonali corte, s: per es. AG, FH o CE;
• Diagonali medie, m: per es. AF o BE (queste coincidono con le altezze dell'ottagono); e
• Diagonali lunghe, l: per es. AE o BF.

La formula delle diagonali di un ottagono può essere ricavata da alcuni principi di base della geometria:

• Diagonale corta s = lato × √(2 + √2);
• Diagonale media m = lato × (1 + √2); e
• Diagonale lunga l = lato × √(4 + 2√2).

Se sei di fretta, usa il calcolatore per ottagoni.

È ora di parlare del raggio del cerchio circoscritto e inscritto del nostro ottagono. Il nostro calcolatore per l'area dell'ottagono è in grado di trovare i raggi del cerchio circoscritto e quello inscritto.

Puoi notare che il cerchio circoscritto è semplicemente la metà della lunghezza della diagonale lunga:

• R = l / 2 = lato / 2 × √(4 + 2√2).

Allo stesso modo, il raggio del cerchio inscritto è uguale all'apotema, che è semplicemente la metà dell'altezza dell'ottagono:

• r = m / 2 = lato / 2 × (1 + √2).

All'inizio potrebbe sembrare facile disegnare un ottagono e, in linea di principio, lo è. Basta disegnare una qualsiasi forma con otto lati dritti e il gioco è fatto. Ma in genere non si vuole disegnare un ottagono qualsiasi, bensì un ottagono regolare, perché è la forma di ottagono che viene in mente per prima. Vediamo quindi come disegnare un ottagono nel modo più regolare e semplice possibile.

Il modo più preciso sarebbe quello di utilizzare strumenti di disegno adeguati e iniziare a disegnare la forma regolare dell'ottagono un lato alla volta, unendoli con i corrispondenti angoli regolari di 135°. Ma non tutti hanno a disposizione questi strumenti, quindi non è un metodo molto pratico. Vediamo quindi come disegnare un ottagono con pochi strumenti, ma in modo più preciso possibile.

Costruzione di un ottagono data la circonferenza

Per ottenere la forma di ottagono che stiamo cercando, è meglio iniziare dalla sua circonferenza, che può essere disegnata a mano, anche se lo sconsigliamo, o utilizzando un bicchiere, una tazza, o addirittura una moneta.

Se ne hai uno a disposizione, puoi utilizzare un compasso, che ti permetterà di costruire un ottagono inscritto in una circonferenza data.

Una volta disegnata la circonferenza, dividila con un segmento passante per il centro, poi ancora in due. Una volta ottenuti quattro quarti di cerchio, dividili ancora in due, ed ecco fatto! Adesso basta congiungere i punti ottenuti, come abbiamo fatto nella figura qui sopra. Il risultato è un ottagono perfettamente regolare, al limite dell'errore umano che puoi commettere durante il disegno e la divisione. Ecco tutti i passaggi per la costruzione di un ottagono data la circonferenza!

Costruzione di un ottagono dato il lato

Per costruire un ottagono data la lunghezza del lato, la procedura da seguire è un po' più complicata.

1. Disegna un segmento AB di lunghezza data. Questo sarà il primo lato dell'ottagono;
2. Traccia una linea perpendicolare al segmento ottenuto che passi per il centro di esso. Esistono molti modi per farlo, per esempio, prendendo un compasso e tracciando due archi da ciascuno degli estremi del segmento con un'apertura a piacere. In questo modo, otterremo due punti che, una volta congiunti, coincideranno con l'asse del segmento;
3. Una volta tracciata l'asse del segmento, impostiamo l'apertura del compasso alla metà della lunghezza del segmento e, puntando il compasso nel punto medio, tracciamo una semicirconferenza dal punto A al punto B. Abbiamo creato un punto di intersezione con l'asse del segmento;
4. Impostiamo l'apertura del compasso alla distanza tra uno degli estremi del segmento, A o B, e il nuovo punto che abbiamo trovato. Quindi, tracciamo un arco dal punto A fino all'asse del segmento. Ecco un altro punto, O: questo sarà il punto centrale del nostro ottagono;
5. Disegniamo una circonferenza di raggio OA (o OB) con il compasso;
6. Non ci resta che costruire l'ottagono inscritto in una circonferenza impostando il compasso a AB e tracciando questa lunghezza lungo la circonferenza fino a ottenere 8 punti; infine
7. Uniamo tutti i punti, et voilà! La costruzione del tuo ottagono dato il lato è terminata!

L'utilizzo del calcolatore per ottagoni non è troppo complicato, ma nel caso in cui qualcuno avesse dei dubbi e per completezza, esaminiamo le caratteristiche e gli usi di questo calcolatore per ottagoni. Prima di tutto, dobbiamo esaminare i diversi campi e il loro significato:

• Lunghezza del lato — È la lunghezza di ogni lato dell'ottagono regolare;

• Perimetro dell'ottagono — Somma della lunghezza di tutti i lati dell'ottagono;

• Area — Spazio racchiuso dall'ottagono stesso;

• Diagonale più lunga — Lunghezza del segmento che unisce due vertici più lontani;

• Diagonale media — Lunghezza del segmento che unisce due vertici separati da esattamente due vertici;

• Diagonale più corta — Lunghezza della linea che unisce 2 vertici separati da un solo vertice;

• Raggio del cerchio circoscritto — Raggio della circonferenza che contiene tutti gli 8 vertici dell'ottagono regolare. Si dice che l'ottagono è inscritto in una circonferenza; e

• Raggio del cerchio inscritto — Raggio della circonferenza più piccola che è tangente agli 8 lati.

Ora che conosci il significato di ogni parametro, è il momento di vedere come utilizzare il calcolatore per ottagoni per ottenere facilmente i valori che stai cercando. La caratteristica migliore di questo calcolatore è che richiede un solo parametro per calcolare il resto dei valori. Questa innovazione rende il calcolatore per ottagoni il metodo più veloce per calcolare le proprietà di un ottagono con un margine significativo.

Finora abbiamo parlato della definizione di ottagono e di come disegnare un ottagono. Abbiamo visto immagini di ottagoni e abbiamo anche risposto alla domanda (ormai ovvia) di quanti lati ha un ottagono. Ora è arrivato il momento di vedere come gli ottagoni vengono utilizzati nella vita reale. La forma dell'ottagono è più facile da produrre e da utilizzare in vari progetti rispetto al cerchio, grazie ai lati piatti e ai suoi angoli. Spesso si trovano piastrelle ottagonali per il pavimento oppure per il bagno. Esistono anche case a forma ottagonale, come la famosa casa ottagonale.

La casa ottagonale è stata costruita a Washington D.C., negli Stati Uniti, per il colonnello John Tayloe III. Per questo motivo è nota anche come La casa di Colonel John Tayloe III. Segue la tradizione americana di assegnare agli edifici il nome della loro forma, come hanno fatto con il Pentagono, che è la sede del Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti costruito a forma di pentagono regolare.

La casa ottagonale presenta molte interessanti caratteristiche architettoniche, come una scala di servizio triangolare, una scala ovale più grande e l'evidente forma ottagonale dell'edificio. Oltre a queste caratteristiche uniche, diverse storie di fantasmi circondano la casa, in parte perché il proprietario era una figura importante della storia americana.

Esistono esempi di elementi architettonici anche in Italia, come "Il Cortile ottagonale di Casa Rossi" e Castel del Monte costruito nel 1240 e posseduto da Federico II di Svevia.

I numeri fissi possono essere molto utili nei calcoli relativi ai poligoni, compresi gli ottagoni! Vediamo un po' che cosa sono i numeri fissi in geometria.

Esistono due tipi di numeri fissi, quindi ogni poligono regolare ne ha due:

• Il rapporto tra l'apotema e il lato del poligono:

  fₙ = apotema / lato = 1 / [2 tan(π / n)]

  dove:

  • n — Il numero di lati del poligono.
    Nel caso di un ottagono, n sarà uguale a 8.

• Il rapporto tra l'area del poligono e il quadrato del suo lato:

  jₙ = area / lato² = n × fₙ / 2

Il numero fisso di un ottagono è:

f₈ = 1 / [2 tan(π / 8)] = 1,207

E per il rapporto area/quadrato del lato, è:

j₈ = 8 × 1,207 / 2 = 4,828

Quindi, per esempio, per calcolare l'apotema di un ottagono, basta prendere il numero fisso fₙ dell'ottagono:

f₈ = apotema / lato
1,207 = apotema / lato
Apotema = lato × 1,207

E per calcolare l'area di un ottagono regolare utilizzando il numero fisso, si deve procedere in questo modo:

j₈ = area / lato²
4,828 = area / lato²
Area = 4,828 × lato²

Anche se questi calcoli sono semplicissimi, è ancora più semplice calcolare tutti i parametri di un ottagono regolare con il nostro calcolatore per ottagoni!