Kalkulator ugięcia belki

Omni kalkulator ugięcia belki pomoże ci określić maksymalne ugięcie belki dla belek swobodnie podpartych i wspornikowych przenoszących proste konfiguracje obciążenia.

Możesz wybierać spośród różnych typów obciążeń, które mogą oddziaływać na dowolną długość belki. Wielkość i lokalizacja tych obciążeń wpływa na stopień ugięcia belki.

W naszym kalkulatorze ugięcia belki poznasz różne wzory matematyczne ugięcia belki używane do obliczania ugięć belki swobodnie podpartej, jak również belki wspornikowej. Dowiesz się również, w jaki sposób moduł sprężystości belki i jej przekrojowy moment bezwładności wpływają na obliczone maksymalne ugięcie belki.

Ugięcie belki jest ważną częścią badań wytrzymałości, ale niemniej istotnym elementem jest analiza naprężeń występujących w belce pod wpływem zginania. Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie jest potężnym narzędziem do badania naprężeń zginających belki, które możesz obliczyć za pomocą naszego kalkulatora współczynnika wytrzymałości przekroju na zginanie 🇺🇸.

W budownictwie zwykle używamy konstrukcji szkieletowych, które są utrzymywane w miejscu przez fundamenty znajdujące się w ziemi. Te konstrukcje szkieletowe są jak szkielety budynków, domów, a nawet mostów. W ramie, pionowe elementy ramy nazywamy kolumnami, a poziome belkami. Belki są wydłużonymi elementami konstrukcji, które przenoszą obciążenia pochodzące od poziomych płyt konstrukcji, takich jak lite betonowe podłogi, drewniane belki stropowe i dachy.

Gdy belki są pod wpływem zbyt dużych obciążeń, zaczynają się zginać. Odległość między odkształconą a nieodkształconą osią belki nazywamy ugięciem belki. To oznacza, że ugięcie belki jest pionowym przemieszczeniem punktu wzdłuż środka ciężkości belki. Możemy również rozważyć powierzchnię belki jako nasz punkt odniesienia, o ile nie ma zmian w wysokości lub głębokości belki podczas zginania.

Wyposażyliśmy nasz kalkulator ugięcia belki we wzory, których używają inżynierowie oraz studenci kierunków technicznych, aby szybko określić maksymalne ugięcie, jakiego doświadczy określona belka z powodu przenoszonego przez nią obciążenia. Równania te mogą jednak rozwiązywać tylko proste obciążenia i kombinacje tych obciążeń. Poniżej przedstawiamy tabelaryczne zestawienie tych wzorów:

Wzory na ugięcie belki z prostym podparciem

Wzory na ugięcie belki wspornikowej

Aby obliczyć maksymalne ugięcie belki z kombinacją obciążeń, możemy użyć zasady superpozycji. Zasada superpozycji mówi, że możemy przybliżyć całkowite ugięcie belki, sumując wszystkie ugięcia wywołane przez każdą konfigurację obciążenia. Metoda ta daje nam jednak tylko przybliżoną wartość rzeczywistego maksymalnego ugięcia. Obliczanie skomplikowanych obciążeń wymagałoby użycia tak zwanej metody podwójnego całkowania.

Obliczenie ugięcia belki wymaga znajomości sztywności belki i wielkości siły lub obciążenia, które wpłynie na zginanie belki. Możemy zdefiniować sztywność belki, mnożąc jej moduł sprężystości, E, przez jej moment bezwładności, I.

Moduł sprężystości zależy od materiału, z którego wykonana jest belka. Im wyższy moduł sprężystości materiału, tym większe ugięcie może wytrzymać ogromne obciążenia, zanim osiągnie punkt krytyczny. Moduł sprężystości betonu wynosi od 15 do 50 GPa (gigapaskali), podczas gdy moduł sprężystości stali wynosi około 200 GPa i więcej. Ta różnica w wartościach modułu sprężystości pokazuje, że beton może wytrzymać tylko niewielkie ugięcie i pęknie szybciej niż stal.

Możesz dowiedzieć się więcej o module sprężystości, sprawdzając nasz kalkulator naprężeń 🇺🇸. Z drugiej strony, aby określić moment bezwładności dla określonego przekroju belki, możesz odwiedzić nasz kalkulator momentu bezwładności 🇺🇸. Moment bezwładności odpowiada wielkości oporu, jaki materiał stawia ruchowi obrotowemu. Moment bezwładności zależy od wymiarów przekroju poprzecznego materiału.

Moment bezwładności zmienia się również w zależności od osi, wzdłuż której obraca się materiał. Aby lepiej zrozumieć tę koncepcję, rozważmy przekrój poprzeczny prostokątnej belki o szerokości 20 cm i wysokości 30 cm. Korzystając ze wzorów, które możesz również zobaczyć w naszym kalkulatorze momentu bezwładności, możemy obliczyć wartości momentu bezwładności tego przekroju belki w następujący sposób:

Iₓ = szerokość ⋅ wysokość³ / 12
Iₓ = 20 ⋅ (30³) / 12
Iₓ = 45 000 cm⁴

Iᵧ = wysokość ⋅ szerokość³ / 12
Iᵧ = 30 ⋅ (20³) / 12
Iᵧ = 20 000 cm⁴

Zauważ, że istnieją dwie wartości momentu bezwładności. Dzieje się tak, ponieważ możemy uznać, że belka ugina się pionowo wzdłuż przęsła belki (lub doświadcza momentu zginającego wokół osi x) i bocznie względem przęsła belki (lub ugina się wokół osi y). Ponieważ rozważamy ugięcie belki, gdy wygina się ona pionowo lub wokół osi x, musimy użyć Iₓ do naszych obliczeń.

Uzyskane przez nas wartości momentu bezwładności mówią nam, że belka jest trudniejsza do zginania przy obciążeniu pionowym i łatwiejsza do zginania, gdy jest poddawana poziomemu obciążeniu bocznemu. Ta różnica w wartościach momentu bezwładności jest powodem, dla którego widzimy belki w tej konfiguracji — gdzie ich wysokość jest większa niż szerokość.

Teraz gdy znamy już pojęcia modułu sprężystości i momentu bezwładności, możemy zrozumieć, dlaczego zmienne te są mianownikami w naszych wzorach na ugięcie belki. Wzory pokazują, że im sztywniejsza jest belka, tym mniejsze będzie jej ugięcie. Jednak analizując nasze wzory, możemy również stwierdzić, że długość belki również bezpośrednio wpływa na jej ugięcie. Im dłuższa jest belka, tym bardziej może się odkształcić i tym większe jest jej ugięcie.

Z drugiej strony, obciążenia wpływają na ugięcie belki na dwa sposoby: kierunek ugięcia i wielkość ugięcia. Obciążenia skierowane w dół mają tendencję do odchylania belki w dół. Obciążenia mogą mieć postać siły skupionej w punkcie, obciążenia ciągłego lub obciążenia momentem. Wzory w naszym kalkulatorze koncentrują się tylko na kierunku w dół lub w górę dla siły skupionej i obciążeń ciągłych. Obciążenia ciągłe są podobne do nacisku, ale uwzględniają tylko długość belki, a nie jej szerokość.

Równania w kalkulatorze uwzględniają również obciążenie chwilowe lub momentem obrotowym w kierunku zgodnym bądź przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Po prostu sprawdź kierunki strzałek na odpowiednim obrazku wzoru, aby dowiedzieć się, który kierunek ma dodatnią wartość obciążenia.

Dla przykładowego obliczenia ugięcia belki rozważmy prostą drewnianą ławkę z nogami oddalonymi od siebie o 1,5 metra w ich środkach. Powiedzmy, że mamy deskę z sosny wschodniej o grubości 4 cm i szerokości 30 cm, która działa jako siedzisko tej ławki. Możemy uznać to siedzisko za belkę, która będzie się odchylać, gdy ktoś usiądzie na ławce. Biorąc pod uwagę wymiary tego siedziska, możemy obliczyć jego moment bezwładności, podobnie jak w naszym przykładzie powyżej. Ponieważ musimy obliczyć Iₓ, jego moment bezwładności wynosiłby:

Iₓ = szerokość ⋅ wysokość³ / 12
Iₓ = 30 ⋅ (4³)/12
Iₓ = 160 cm⁴ lub 1,6⋅10⁻⁶ m⁴

Wschodnia sosna biała ma moduł sprężystości 6800 MPa (6,8⋅10⁹ Pa), co jest wartością uzyskaną z Wood Handbook. Możesz również łatwo uzyskać wartość modułu sprężystości dla innych materiałów, takich jak stal i beton, z internetu lub lokalnej biblioteki. Teraz gdy znamy już te wartości, zastanówmy się nad obciążeniem, jakie będzie przenosić ławka. Załóżmy, że na środku ławki siedzi dziecko, które wywiera nacisk 400 N (waży ok. 40 kg). Możemy teraz obliczyć ugięcie, jakiego dozna siedzisko ławki z powodu obciążenia punktowego w jego środku:

δ_max = P ⋅ L³ / (48 ⋅ E ⋅ I)

δ_max = (400 N) ⋅ (1,5 m)³ / (48 ⋅ 6,8⋅10⁹ Pa ⋅ 1,6⋅10⁻⁶ m⁴)

δ_max = 0,002585 m = 2,585 mm

Oznacza to, że gdy dziecko usiądzie na środku ławki, siedzisko obniży się o około 2,6 milimetra w stosunku do pierwotnej pozycji.

Jeśli zainteresował cię ten temat i chcesz dowiedzieć się więcej o wytrzymałości materiałów, być może spodoba ci się również nasz kalkulator współczynnika bezpieczeństwa 🇺🇸.