Ostatnia aktualizacja: 14 August 2024

Kalkulator pola powierzchni stożka

Q: Jakie jest pole powierzchni stożka o wysokości 4 i promieniu 3?

Odpowiedź to 75,4 . Aby uzyskać ten wynik, musisz zastosować wzór P = πr(r + √(h² + r²)) z r = 3 i h = 4 . Pamiętaj, że odpowiedź jest podawana w jednostkach kwadratowych.

Spis treści

Jakie rodzaje stożków obsługuje ten kalkulator?Jak korzystać z tego kalkulatora pola powierzchni stożka Jak wyprowadzić wzór na pole powierzchni stożka?Przykłady obliczenia pola powierzchni stożka FAQs

Ten kalkulator pola powierzchni stożka pomoże ci obliczyć pole powierzchni dowolnego stożka prostego. W poniższym tekście pokażemy ci wzór na pole powierzchni stożka i sposób jego wyprowadzenia. Po skorzystaniu z naszego kalkulatora i przeczytaniu tego artykułu będziesz wiedzieć, jak znaleźć pole powierzchni stożka.

Jakie rodzaje stożków obsługuje ten kalkulator?

Zanim wyjaśnimy, jak korzystać z naszego kalkulatora pola powierzchni stożka, zdefiniujmy najpierw, na jakim rodzaju stożka możesz go użyć. Ogólnie rzecz biorąc, stożek składa się z okrągłej lub owalnej podstawy i wierzchołka powyżej podstawy połączonego z jej obwodem.

Ten kalkulator jest przeznaczony dla szczególnego rodzaju stożka zwanego stożkiem prostym (jak pokazano na diagramie powyżej kalkulatora). Ma on okrągłą podstawę, a wierzchołek znajduje się bezpośrednio nad środkiem podstawy. Dlatego kąt zawarty między podstawą a wyimaginowaną linią między podstawą a wierzchołkiem wynosi $90\degree$ , powszechnie znany jako kąt prosty.

Narzędzie to nie może być używane dla stożków skośnych, w których wierzchołek znajduje się poza środkiem. Więcej informacji na temat rodzajów stożków (także stożków pochyłych) znajdziesz tutaj.

Jak korzystać z tego kalkulatora pola powierzchni stożka

Kalkulator jest dość prosty w użyciu. Przejdźmy przez niego krok po kroku:

Wprowadź wartość promienia okrągłej podstawy. Pamiętaj, że promień jest połową średnicy okręgu. Możesz wybrać różne jednostki długości, w zależności od problemu lub wykonywanego pomiaru. Alternatywnie możesz, zamiast tego, wprowadzić obwód okrągłej podstawy.
Wprowadź wysokość stożka lub wysokość skośną stożka, w zależności od tego, która z nich jest znana. Wysokość to prostopadła odległość między wierzchołkiem stożka a środkiem okrągłej podstawy. Wysokość skośna to odległość między wierzchołkiem a zewnętrzną krawędzią (obwodem) podstawy.

Pamiętaj, że wysokość stożka musi być większa od zera, a wysokość skośna (jeśli ją wprowadzasz) musi być dłuższa niż promień podstawy.

Następnie wyświetlone zostanie pole powierzchni stożka. Możesz zmienić jednostki w zależności od preferencji.

Jak wyprowadzić wzór na pole powierzchni stożka?

Aby lepiej zrozumieć, jak działa ten kalkulator, przyjrzymy się teraz, jaki jest wzór na pole powierzchni stożka i jak go wyprowadzić.

Pierwszym krokiem do rozwiązania problemu jest podzielenie stożka prostego na dwie różne części: okrągłą podstawę i pole powierzchni bocznej stożka (pole powierzchni bocznej). Zacznijmy od obliczenia pola okrągłej podstawy.

Możesz obliczyć pole koła 🇺🇸 za pomocą następującego wzoru:

P_{\text{podstawy}}=\pi\cdot r^2

gdzie:

$P_{\text{podstawy}}$ — Pole powierzchni podstawy stożka;
$\pi$ — Stała. Stosunek obwodu do średnicy okręgu; oraz
$r$ — Promień okręgu.

Później dodamy to równanie pola podstawy do naszego wzoru, który następnie wyprowadzimy dla pola powierzchni bocznej stożka prostego.

Boczna powierzchnia stożka tworzy wycinek okręgu.

Wyobraź sobie stożek bez podstawy wykonany z papieru. Następnie rozwałkuj go tak, aby leżał płasko na stole. Otrzymasz kształt taki jak na powyższym diagramie. Jest to część (lub sektor) większego okręgu, którego promień (l) jest równy wysokości skośnej stożka. Długość łuku wycinka (c) jest równa obwodowi podstawy stożka.

Poprzez kombinację równania użytego do obliczenia pola wycinka pod względem promienia i kąta z równaniem na długość łuku sektora, możemy zapisać pole sektora jako:

P_{\text{sektora}} = \frac{1}{2}\cdot ob\cdot l

gdzie:

$P_{\text{sektora}}$ — Pole boczne stożka
$ob$ — Długość łuku sektora, a tym samym obwód stożka
$l$ — Promień sektora i wysokość skośna stożka

Teraz, korzystając ze wzoru na obwód $ob = 2\cdot\pi\cdot r$ , powyższe równanie można przepisać w postaci promienia podstawy stożka:

P_{\text{sektora}} = \pi\cdot r\cdot l

Dodając pole powierzchni bocznej do wyniku dla pola podstawy stożka, otrzymamy P, całkowite pole powierzchni stożka prostego:

P = (\pi\cdot r^2) + (\pi\cdot r\cdot l)

Można to następnie uprościć do:

P = \pi\cdot r\cdot(r + l)

Jeśli znasz tylko prostopadłą wysokość stożka, możesz użyć równania na wysokość skośną stożka 🇺🇸, aby otrzymać:

P = \pi\cdot r \cdot \left(r + \sqrt{h^2 + r^2}\right)

gdzie:

$h$ — Wysokość skośna stożka.

Przykłady obliczenia pola powierzchni stożka

Mamy teraz dwa równania do obliczania pola powierzchni stożka prostego, w zależności od znanych parametrów. Przyjrzyjmy się kilku praktycznym przykładom.

Dla stożka o promieniu podstawy 3 cm i wysokości 4 cm możemy obliczyć pole powierzchni w następujący sposób:

\begin{split} P &= \pi\cdot r \cdot\left(r + \sqrt{h^2 + r^2}\right)\\[1em] &= \pi\cdot 3\cdot \left(3+\sqrt{4^2+3^2}\right) \\[1em] &= 75,4\ \text{cm}^2 \end{split}

Weźmy inny stożek, którego średnica podstawy wynosi $10$ cm, a wysokość skośna $15$ cm. Najpierw podziel średnicę przez dwa, aby uzyskać promień, $5$ cm. Następnie użyj wzoru na pole stożka z wykorzystaniem wysokości skośnej, jak poniżej:

\begin{split} P &amp;= \pi\cdot r \cdot (r+l)\\ &amp;= \pi\cdot 5\cdot (5+15) = 314,16\ \text{cm}^2 \end{split}

Teraz już wiesz, jak znaleźć pole powierzchni stożka i znasz wzory, które zasilają nasz kalkulator pola powierzchni stożka.

Jeśli chcesz obliczyć pole powierzchni innych kształtów geometrycznych 3D, dlaczego nie wypróbować naszego kalkulatora pola powierzchni?

FAQs

Jak znaleźć pole powierzchni bocznej stożka o danej wysokości?

Aby określić pole powierzchni bocznej stożka, biorąc pod uwagę jego prostopadłą wysokość i promień:

Oblicz kwadraty wysokości i promienia i dodaj je do siebie.
Weź pierwiastek kwadratowy z wyniku uzyskanego w kroku 1.
Pomnóż przez promień.
Pomnóż przez π ≈ 3,14.
To wszystko! Otrzymany wynik to pole powierzchni bocznej twojego stożka.

Jakie jest pole powierzchni stożka o wysokości 4 i promieniu 3?

Odpowiedź to 75,4. Aby uzyskać ten wynik, musisz zastosować wzór P = πr(r + √(h² + r²)) z r = 3 i h = 4. Pamiętaj, że odpowiedź jest podawana w jednostkach kwadratowych.