Kalkulator trójkąta równobocznego

Kalkulator trójkąta równobocznego pomoże ci w obliczaniu typowych parametrów tej figury. Niezależnie od tego, czy szukasz pola trójkąta równobocznego, jego wysokości, obwodu, promienia okręgu opisanego lub promienia okręgu wpisanego, to świetne narzędzie pomoże ci w każdym z tych problemów.

Przewiń w dół, aby dowiedzieć się więcej na temat trójkątów równobocznych, oraz o naszym kalkulatorze trójkąta równobocznego!

Trójkąt równoboczny, zwany również trójkątem foremnym, to trójkąt, którego wszystkie trzy boki są równe. Jakie są inne ważne właściwości tego konkretnego regularnego kształtu?

• Wszystkie trzy kąty wewnętrzne mają wartość 60°.
• Wysokości oraz dwusieczne pokrywają się.

Trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem trójkąta równoramiennego, który ma nie tylko dwa, ale wszystkie trzy boki równe. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o trójkącie równoramiennym, nasz kalkulator trójkąta równoramiennego jest narzędziem, którego potrzebujesz.

Wzór na pole trójkąta równobocznego jest równy długości boku podniesionego do kwadratu, pomnożonemu przez pierwiastek kwadratowy z 3 podzielony przez 4:

pole = (a² ⋅ √3)/ 4

a równanie na wysokość trójkąta równobocznego wygląda następująco:

h = a ⋅ √3 / 2, gdzie a to bok trójkąta.

Ale czy wiesz, skąd pochodzą te wzory? Możesz je znaleźć na co najmniej dwa sposoby: korzystając z twierdzenia Pitagorasa (omówionego w naszym kalkulatorze twierdzenia Pitagorasa) lub używając trygonometrii.

1. Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa

• Podstawowy wzór na pole trójkąta to bok a (podstawa) pomnożony przez wysokość h, podzielony przez 2:

  pole = (a ⋅ h) / 2

• Wysokość trójkąta równobocznego jest wyprowadzana przez podzielenie trójkąta równobocznego na dwa trójkąty prostokątne. Zobacz nasz kalkulator trójkąta prostokątnego, aby dowiedzieć się więcej o trójkątach prostokątnych.

  Jedna z przyprostokątnych tego trójkąta prostokątnego jest równa wysokości, druga przyprostokątna jest połową boku, a przeciwprostokątna jest bokiem trójkąta równobocznego.

  (a/2)² + h² = a²

  Po prostych przekształceniach otrzymujemy wzór na wysokość trójkąta równobocznego:

  h = a ⋅ √3 / 2

• Podstawiając h do pierwszego wzoru na pole otrzymujemy równanie na pole trójkąta równobocznego:

  pole = a² ⋅ √3 / 4

2. Wykorzystanie trygonometrii

• Zacznijmy od wzoru trygonometrycznego na pole trójkąta:

  pole = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin(γ), gdzie γ to kąt między bokami.

• Pamiętamy, że wszystkie boki i wszystkie kąty są takie same, więc wzór upraszcza się do:

  pole = 0,5 ⋅ a ⋅ sin(60°)

• Co więcej, wiemy, że sinus kąta 60° wynosi √3/2, więc wzór na pole trójkąta równobocznego to:

  pole = (1/2) ⋅ a² ⋅ (√3 / 2) = a² ⋅ √3 / 4

  Wysokość trójkąta równobocznego wynika z definicji sinusa:

  h / a = sin(60°), więc h = a ⋅ sin(60°) = a ⋅ √3 / 2

Możesz łatwo znaleźć obwód trójkąta równobocznego, dodając do siebie wszystkie boki trójkąta. Ten trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe, więc wzór na obwód jest następujący:

obwód = 3 ⋅ a

Jak znaleźć promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego?

promień okręgu opisanego = 2 ⋅ h / 3 = a ⋅ √3 / 3

promień okręgu wpisanego = h / 3 = a ⋅ √3 / 6

Weźmy przykład z życia codziennego: chcemy znaleźć wszystkie parametry znaku drogowego „ustąp pierwszeństwa”.

1. Wpisz podaną wartość w odpowiednie pole. Załóżmy, że mamy znak o boku równym 36 cm.

2. Kalkulator trójkąta równobocznego błyskawicznie znajdzie pozostałe wartości. Teraz wiemy, że:

   • Wysokość znaku „ustąp pierwszeństwa” wynosi 31,2 cm;

   • Jego pole wynosi 561 cm²;

   • Obwód: 108 cm;

   • Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi 20,8 cm; oraz

   • Promień okręgu wpisanego 10,4 cm.

3. Sprawdź elastyczność naszego narzędzia. Odśwież kalkulator i wpisz inny parametr, np. obwód. Kalkulator wyliczy wszystkie pozostałe parametry, nieważne, którą wartość wprowadzisz.