Kalkulator logarytmów

Omni kalkulator logarytmów pozwala obliczyć logarytm dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej o wybranej podstawie (dodatniej i różnej od 1). Niezależnie od tego, czy szukasz logarytmu naturalnego, logarytmu binarnego (dwójkowego), czy logarytmu dziesiętnego, nasze narzędzie rozwiąże twój problem.

Przeczytaj dalszą część tekstu, aby lepiej zrozumieć wzory na logarytm i zasady, których musisz przestrzegać przy obliczeniach. Znajdziesz też kilka ciekawostek, dotyczących m.in. zastosowań logarytmów w życiu codziennym.

Jeśli szukasz innych przydatnych kalkulatorów matematycznych, zerknij na nasz kalkulator pierwiastków sześciennych 🇺🇸, który umożliwia obliczenie nie tylko pierwiastka sześciennego dowolnej liczby, ale również pierwiastka dowolnego stopnia.

Wolisz oglądać niż czytać? Dowiedz się wszystkiego w 90 sekund dzięki filmowi, który nagraliśmy specjalnie dla ciebie:

Funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej. Jeśli a podniesione do potęgi y daje x, to logarytm z x o podstawie a jest równy y. W postaci równań: log_a(x) = y gdy a^y = x.

Innymi słowy, logarytm z x (przy podstawie a), czyli log_a(x), odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi musimy podnieść a, aby otrzymać x? Z tego punktu widzenia możemy zapisać logarytm w następujący sposób:

${a^{{\log}_a(x)}} =x$

Mamy nadzieję, że teraz już dobrze rozumiesz definicję logarytmu; w następnej sekcji możesz przeczytać o dwóch najczęściej używanych odmianach logarytmu.

Jako podstawę logarytmu można wybierać różne liczby; jednak dwie podstawy są szczególnie często używane. Matematycy nadali im specjalne nazwy: logarytm naturalny i logarytm dziesiętny.

Logarytm naturalny

Jeśli chcesz obliczyć logarytm naturalny jakiejś liczby, musisz wybrać podstawę, która jest w przybliżeniu równa 2,718281. Zwykle liczbę tę oznaczamy literą e, na cześć Leonarda Eulera, który zdefiniował jej wartość w 1731 roku. Logarytm przy tej podstawie można zapisać jako logₑx, ale tradycyjnie używa się krótszego symbolu ln(x). Czasem można spotkać się też z oznaczeniem log(x), ale bywa ono używane też dla innych podstaw. Zatem mamy y = logₑx = ln(x), co oznacza, że x = eʸ = exp(y).

Jedno z zastosowań logarytmu naturalnego napotykamy w kontekście procentu składanego, czyli sytuacji, gdy odsetki są naliczane zarówno od kapitału, jak i od dotychczas zgromadzonych odsetek.

Wzór na roczny procent składany jest następujący:

A = P·(1 + r/m)ᵐᵗ

gdzie:

• A jest wartością inwestycji po t latach;
• P jest wartością początkową;
• r jest roczną stopą procentową (w ułamkach dziesiętnych);
• m oznacza liczbę razy w ciągu roku, kiedy odsetki są naliczane; oraz
• t oznacza liczbę lat.

Załóżmy, że deponujesz pewną sumę pieniędzy na rok w banku, który nalicza odsetki bardzo często, a więc m jest dużą liczbą. Aby zrozumieć, jak rośnie wartość m, możemy porównać częstotliwość roczną: m = 1, miesięczną: m = 12, dzienną: m = 365, lub godzinną: m = 8760. Teraz wyobraźmy sobie, że odsetki są naliczane co minutę lub co sekundę: m staje się naprawdę ogromną liczbą!

Sprawdźmy teraz, jak rosnąca częstotliwość naliczania odsetek (a więc rosnąca wartość m) wpływa na Twoje początkowe pieniądze:

Możesz zauważyć, że mimo iż częstotliwość składania depozytów osiąga niezwykle wysoką liczbę, wartość (1 + r/m)ᵐ (czyli mnożnik Twojego początkowego depozytu) nie wzrasta zbytnio. Zamiast tego staje się nieco stabilna: zbliża się do wspomnianej już wcześniej unikalnej wartości, e ≈ 2,718281.

Ponieważ stopy wzrostu często podążają za podobnym wzorem, jak w powyższym przykładzie, ekonomia również w dużym stopniu opiera się na logarytmach naturalnych. Dwie popularne zmienne wykorzystują logarytm naturalny: stopa wzrostu PKB 🇺🇸 oraz elastyczność cenowa popytu.

Logarytm dziesiętny

Inną popularną postacią logarytmu jest logarytm dziesiętny, czyli o podstawie 10, log₁₀x, który oznaczany jest jako lg(x) lub log(x). Jest on również znany jako logarytm briggsowski, na cześć Henry'ego Briggsa, angielskiego matematyka, który opracował jego zastosowanie.

Jest to bardzo często używana odmiana logarytmu. Pojawia się on na przykład w naszym kalkulatorze decybeli 🇺🇸. Tablice logarytmiczne, które w dawnych czasach miały na celu przyspieszenie obliczeń, zazwyczaj zawierały również wartości logarytmu dziesiętnego.

Poniższa tabela przedstawia niektóre często wykorzystywane logarytmy dziesiętne i naturalne.

Jeśli chcesz obliczyć logarytm o dowolnej podstawie, ale masz dostęp tylko do kalkulatora logarytmu naturalnego lub kalkulatora logarytmu dziesiętnego, musisz zastosować jeden z następujących wzorów:

• logₐ(x) = ln(x) / ln(a)
• logₐ(x) = lg(x) / lg(a)

Załóżmy, że chcesz użyć naszego narzędzia jako kalkulatora logarytmu dwójkowego (binarnego), tzn. o podstawie 2. Aby obliczyć log₂ dowolnej liczby, wystarczy wykonać następujące kroki:

1. Wybierz liczbę, której chcesz znaleźć logarytm. Załóżmy, że jest to 100.
2. Jako podstawę wybieramy 2.
3. Znajdź logarytm o podstawie 10 liczby 100: lg(100) = 2.
4. Znajdź logarytm o podstawie 10 z liczby 2. lg(2) = 0,30103.
5. Podziel te dwie wartości przez siebie: lg(100)/lg(2) = 2 / 0,30103 = 6,644.
6. Możesz również pominąć kroki 3-5 i wprowadzić liczbę 100 i podstawę 2 bezpośrednio do Omni kalkulatora logarytmów.

Pewne dowody historyczne wskazują, że logarytmy pojawiły się już w VIII wieku w Indiach. Jednak na bardziej pogłębione badania należało poczekać do roku 1614, kiedy ukazała się książka zatytułowana Mirifici logarithmorum canonis descriptio, czyli Opis cudownych kanonów logarytmów. Był to wynik ponad dwudziestoletnich badań szkockiego matematyka Johna Napiera, mających na celu ułatwienie obliczeń, które musiał wykonywać w zagadnieniach dotyczących astronomii i fizyki.

Pierwsza część książki precyzyjnie wyjaśnia pojęcie logarytmu wraz z jego własnościami i obszarami zastosowań. Druga część przedstawia przykłady obliczeń logarytmicznych: jest to dziewięćdziesiąt stron tabel. Napier omawia również ograniczenia swojej pracy oraz podaje analogie, ostrzeżenia i wnioski (książkę można traktować niemal jak instrukcję obsługi!). Nie rozwodzi się jednak nad tym, jaki konkretnie problem badawczy popchnął go do napisania tej książki.

W naszych czasach może nie być łatwo na pierwszy rzut oka docenić wynalezienie logarytmów, ponieważ do obliczeń matematycznych używamy nowoczesnych kalkulatorów i komputerów. Jednak w XVII wieku było to odkrycie, które głęboko wpłynęło na życie ludzi: przyspieszyło on znacznie rozwiązywanie problemów matematycznych, które przed pojawieniem się logarytmów mogły zająć godziny, dni, a nawet lata.

Pierwszym ważnym usprawnieniem, które wniosły logarytmy, było umożliwienie zamiany mnożenia i dzielenia na dodawanie i odejmowanie. Jedynym wymaganiem było podjęcie wysiłku odszukania odpowiednich logarytmów i antylogarytmów w tablicach.

Ta nowa procedura prowadzenia obliczeń miała kluczowe znaczenie m.in. w astronomii. Działalność naukowa Napiera zbiegła się z erą nowych osiągnięć w tej dziedzinie, dlatego wielu astronomów zmagało się z niekończącymi się obliczeniami mającymi na celu wykrycie położenia planet przy zastosowaniu teorii Kopernika. Wśród nich był Johannes Kepler, który w tym czasie pracował nad swoimi słynnymi prawami ruchu planet.

Dzięki wynikom Napiera, Kepler mógł znacznie przyspieszyć swoje obliczenia (wcześniej wymagały one blisko tysiąca stron!), co pozwoliło mu poświęcić więcej czasu na inne aspekty pracy naukowej.

Słynny brytyjski matematyk Henry Briggs szybko dostrzegł możliwości rozwinięcia pracy Napiera. Aby móc pracować z Napierem, Briggs przeniósł się do Szkocji. Po zmodyfikowaniu jednego z pomysłów Napiera, w 1617 roku sformułowali pierwszą tablicę logarytmów opartych na potęgach 10. W 1624 roku, po śmierci Napiera, Briggs opublikował książkę, Arithmetica logarithmic, która przedstawiała tablice logarytmiczne dla 30 tysięcy liczb naturalnych z dokładnością do 14 miejsc po przecinku. Są to znane nam dzisiaj logarytmy dziesiętne. (Katrici, 2007)

Rosnąca popularność logarytmów stymulowała dalsze badania. Już w 1620 roku Edmund Gunter stworzył narzędzie, które było prekursorem suwaka logarytmicznego: fizycznego narzędzia służącego do wykonywania mnożenia i dzielenia. Ta pierwsza wersja urządzenia wymagała dodatkowo użycia cyrkla, ale już w 1622 r. William Oughtred zaprojektował na jej bazie znany nam dziś suwak, czyli urządzenie z dwoma przesuwanymi obok siebie linijkami.

W ten sposób Oughtred otworzył nowe możliwości ułatwiania obliczeń z wykorzystaniem logarytmów. Suwaki stały się standardowym urządzeniem obliczeniowym w zawodach wymagających arytmetyki. Architekci, inżynierowie, naukowcy, a nawet astronauci polegali na ich pomocy aż do nadejścia rewolucji cyfrowej. Suwaka używał sam Albert Einstein, a załogi misji Apollo zabrały suwaki w kosmos.

Nawet w erze wczesnych komputerów, suwak wciąż miał wiele zalet:

• Wystarczająco mały, aby trzymać go w kieszeni;
• Nie wymaga źródła zasilania;
• Stosunkowo tani;
• Mechanicznie niezawodny;
• Prosty w działaniu; oraz
• Mógł rozwiązać każdy ze standardowych problemów obliczeniowych.

W dzisiejszych czasach komputery i kalkulatory naukowe zastąpiły suwaki logarytmiczne. Mimo to, zrozumienie koncepcji stojących za logarytmami może pomóc w rozwijaniu umiejętności matematycznych. Ponadto logarytmy mają wiele praktycznych zastosowań w wielu dziedzinach.

Fakt, że logarytmy łączą mnożenie z dodawaniem (a co za tym idzie, ciągi geometryczne z arytmetycznymi) sugeruje, że pewne zjawiska w świecie rzeczywistym mogą podlegać takim samym prawom, jak logarytmy. Rzeczywiście, istnieje wiele przykładów w przyrodzie i naszym codziennym życiu, które można opisywać logarytmami.

Następujące zjawiska naturalne przedstawiają spiralę logarytmiczną:

• muszla nautilusa

• galaktyki

• cyklony

Istnieją też inne zjawiska, które mierzy się w skali logarytmicznej:

• twardość minerałów — skala Mohsa;
• natężenie dźwięków — decybele (dB);
• intensywność wiatru — skala Beauforta;
• trzęsienia ziemi — skala Richtera; oraz
• kwasowość — skala pH.

💡 Logarytm pomaga obliczyć wartość współczynnika hałasu 🇺🇸, co jest istotne w badaniach nad redukcją i kontrolą hałasu.

Przed końcem lat siedemdziesiątych, kiedy to kalkulatory kieszonkowe stały się dostępne dla zwykłego odbiorcy, wykonywanie obliczeń (zwłaszcza z ułamkami) wymagało znacznego wysiłku. Aby uprościć tę żmudną pracę, wykorzystywano własności logarytmów.

Aby wykorzystać zalety logarytmu, musimy znać jego podstawowe właściwości. Przypuszczalnie już je znasz, ale dla przypomnienia przedstawiamy je w poniższej tabeli.

Aby pokazać, jak bardzo logarytmy były przydatne przed powstaniem komputerów, załóżmy, że musisz obliczyć iloczyn 5,89 · 4,73 bez żadnego urządzenia elektronicznego. Można to zrobić po prostu mnożąc pisemnie na papierze; jednak zajęłoby to trochę czasu. Zamiast tego można użyć suwaka logarytmicznego z oraz tablic, aby dużo szybciej uzyskać dobre przybliżenie wyniku.

W tablicach logarytmicznych możesz szybko sprawdzić logarytm naszych dwóch liczb (możesz skorzystać z internetu, by znaleźć elektronicznie wgraną tablicę). My pójdziemy nieco na skróty i użyjmy w tym celu naszego kalkulatora.

$\text{lg}(5,\!89) ≅ 0,\!7701153$ oraz $\text{lg}(4,\!73) ≅ 0,\!674861$

Stosując wzór na logarytm iloczynu, możemy napisać poniższe równania:

$\text{lg}(5,\!89 \cdot 4,\!73) =\text{lg}(5,\!89) + \text{lg}(4,\!73) ≅ 0,\!770115 + 0,\!6748611$

$\text{lg}(5,\!89 \cdot 4,\!73) ≅ 1,\!4449761$

Nadal nie wiemy, jaki jest dokładny wynik. Wykorzystajmy definicję logarytmu i zastosujmy do obu stron powyższego równania potęgowanie:

$10^{\text{lg}(5,89 \cdot 4,73)} = 5,\!89 \cdot 4,\!73$

$≅ 10^{1,4449761} = 10^{0,4449761} \cdot 10^1$

Zatem:

$5,\!89 \cdot 4,\!73 ≅ 10^{0,4449761} \cdot 10^1$

Teraz musiałbyś sprawdzić wartość 10^0,4449761 w tablicach antylogarytmów lub w naszym kalkulatorze antylogarytmu. Ile wynosi antylog z 0,4449761 w bazie 10? Odpowiedź to 2,785968.

Przepisując równanie, mamy:

$5,\!89 \cdot 4,\!73 ≅ 2,\!785968 \cdot 10^1 = 27,\!85968$

Najprawdopodobniej powyższa procedura wydaje ci się być wymagająca i czasochłonna w porównaniu do użycia kalkulatora kieszonkowego lub jakiejś sprytnej aplikacji (jak np. Omni kalkulator). Aby pokazać, jak logarytmy mogą pomóc nawet w naszych współczesnych czasach, rozważmy silnię 🇺🇸 liczby 100, czyli iloczyn wszystkich liczb całkowitych od 1 do 100:

$100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$

Gdyby spróbować rozwiązać ten problem za pomocą zwykłego kalkulatora kieszonkowego, prawdopodobnie nie udałoby ci się to, bo wynik jest naprawdę ogromną liczbą z wieloma cyframi.

Ale z pomocą logarytmów możesz przepisać (z pewnym zaokrągleniem) to działanie jako:

$\text{lg100!} = \text{lg1} + \text{lg2} + \text{lg3} + \ldots + \text{lg100} = 0 + 0,\!30103 + 0,\!47712 + \ldots + 2 ≅ 157,\!97$

Zatem

$100! ≅ 10^{0,97} \cdot 10^{157} = 9,\!3325 \cdot 10^{157}$

Sprytne, prawda?