Kalkulator potęgi

Kalkulator potęgi obliczy wartość dowolnej podstawy podniesionej do dowolnej potęgi. Na tej stronie omówimy wszystkie związane z tym zagadnienia, między innymi wyjaśnimy jak działają ujemne wykładniki. Zacznijmy od podstaw.

Potęgowanie to skrótowy sposób wyrażania tego, że jakaś liczba, zwana podstawą, jest wielokrotnie mnożona przez samą siebie. Potęgowanie oznaczamy małą liczbą w prawym górnym rogu podstawy. Na przykład: x² oznacza, że mnożymy x przez siebie dwa razy, czyli x ⋅ x. Podobnie, 4² = 4 ⋅ 4, itd. Jeśli wykładnikiem jest 3, np. 5³, to wynikiem jest 5 ⋅ 5 ⋅ 5.

Podsumowując, jeśli chcesz wykonać potęgowanie ręcznie, wykonaj następujące czynności:

1. Określ podstawę i potęgę, do której jest podniesiona, na przykład 3⁵.

2. Zapisz podstawę tyle razy, ile wynosi wykładnik. 3 3 3 3 3

3. Między każdą podstawą umieść symbol mnożenia. 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3.

4. Wykonaj mnożenie! 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243.

Wszystko wygląda pięknie w przypadku małych liczb, ale sprawy komplikują się, gdy podstawa lub wykładnik jest bardzo dużą liczbą, lub, wręcz przeciwnie, liczbą ujemną, lub ułamkiem. Wtedy najlepiej użyć naszego narzędzia do obliczenia zadanej potęgi.

Co się stanie, jeśli chcemy pomnożyć razem dwie potęgi o tej samej podstawie? Po prostu dodajemy potęgi! Rozważmy na przykład iloczyn 5³ ⋅ 5². Jest to po prostu

5³ ⋅ 5² = (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5) = (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = 5⁵

Ponieważ najpierw mnożymy 3 kopie liczby 5, a następnie 2 kopie liczby 5, w sumie mnożymy 5 kopii liczby 5. Ta własność rozciąga się bardziej ogólnie, dając nam pierwsze prawo potęgowania:

xⁿ × x^m = x^{n + m}

Potęgi dzielimy podobnie: tym razem odejmujemy potęgi. Rozważmy na przykład 5³/5². To jest:

5³/5² = (5 ⋅ 5 ⋅ 5)/(5 ⋅ 5) = 5 = 5¹

ponieważ dwie kopie 5 z dzielnika znoszą się z dwiema kopiami 5 z dzielnika, pozostawiając tylko jedną 5. To daje nam drugie prawo potęgowania:

xⁿ/x^m = x^{n - m}

To wszystko jest stosunkowo proste, gdy wykładnik jest dodatni, ale co jeśli wykładnik wynosi zero, 0, lub jest ujemny? Okazuje się, że możemy rozważać takie wykładniki, o ile są one zgodne z dwoma prawami potęgowania z poprzedniej sekcji!

Przyjrzyjmy się najpierw potędze zerowej: definiujemy 5⁰ = 1, to samo z 5 zastąpionym dowolną liczbą dodatnią x. Logika kryje się za tym, że chcemy, aby spełniało to pierwsze prawo potęgowania, tj. chcemy, aby zachodziła tożsamość 5ⁿ ⋅ 5⁰ = 5^{n + 0} = 5ⁿ. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy 5⁰ = 1!

A co jeśli potęga jest ujemna, np. 5^-4? Wtedy zamieniamy podstawę 5 na jej odwrotność 1/5 i zmieniamy ujemną potęgę na dodatnią, aby 5^-4 = (1/5)⁴. Od tego momentu postępujemy jak zwykle. Jeśli chcesz obliczyć to ręcznie, tutaj znajdziesz kompletny przepis:

1. Wyznacz podstawę i wykładnik.

2. Napisz odwrotność podstawy i zmień znak wykładnika na dodatni.

3. Napisz odwrotność podstawy tyle razy, ile wynosi wykładnik.

4. Między każdym z nich umieść symbol mnożenia.

5. Pomnóż i otrzymaj wynik.

W naszym przykładzie otrzymamy:

5^-4 = (1/5)⁴ = (1/5) ⋅ (1/5) ⋅ (1/5) ⋅ (1/5) = 1/625 = 0,0016

Dlaczego potęgi o wykładnikach ujemnych są definiowane w ten sposób? Zgodnie z drugim prawem potęg, chcemy:

5⁴ ⋅ 5^-4 = 5^{4 - 4} = 5⁰ = 1

i jest to możliwe tylko wtedy, gdy 5^-4 = 1/5⁴ = (1/5)⁴.

Wypróbuj ujemne wykładniki w kalkulatorze potęg.

Chcesz zobaczyć przykład potęgi w prawdziwym życiu? Witaj w świecie bakterii! Bakterie rozmnażają się poprzez podwojenie komórek, co oznacza, że komórka bakterii dzieli się na dwie komórki potomne. Różne gatunki bakterii dzielą się w różnych odstępach czasu: na przykład w optymalnych warunkach bakterie E. coli podwajają się co 20 minut.

Oznacza to, że w ciągu godziny każda bakteria E. coli podzieli się na 8 komórek potomnych: po pierwszym podwojeniu po 20 minutach będą ich 2, po 40 minutach 4, a po godzinie 8. Można to obliczyć za pomocą potęg:

• Godzinę można podzielić na 3 okresy po 20 minut;
• Po każdym 20-minutowym okresie każda komórka dzieli się na dwie; stąd
• Liczba komórek po godzinie wynosi 2³ = 8.

Co się stanie, jeśli pozostawimy naszą pojedynczą komórkę bakterii E. coli na 10 godzin i pozwolimy jej dzielić się bez przeszkód? Okres 10 godzin składa się z 30 interwałów po 20 minut każdy. Pod koniec 10-godzinnego okresu nasza komórka podzieli się na 2³⁰ = 1 073 741 824 (ponad miliard) komórek!

Podnoszenie do kwadratu (czyli do potęgi 2) i obliczanie pierwiastka kwadratowego to powiązane ze sobą pojęcia: jedno jest odwrotnością drugiego. Jeśli chcesz podnieść do kwadratu liczbę 6, obliczasz 6 ⋅ 6 = 36. Jeśli teraz zapytasz, jaką liczbę należy pomnożyć przez nią samą, aby otrzymać 36, wystarczy wziąć pierwiastek kwadratowy z 36. Otrzymasz wynik 6.

Podobnie, podniesienie podstawy do potęgi 3 da nam liczbę, która jest sześcianem tej podstawy 🇺🇸. Jeśli chcesz obliczyć pierwiastek sześcienny, możesz użyć naszego kalkulatora pierwiastków sześciennych 🇺🇸, który jest doskonałym narzędziem do znajdowania pierwiastka sześciennego dowolnej liczby.

W arytmetyce modularnej istnieją specjalne metody potęgowania — dowiesz się więcej dzięki Omni kalkulatorowi potęgi modulo.

Możesz też wypróbować nasz kalkulator logarytmów, aby nauczyć się odgadywać brakujący wykładnik potęgowania.

1296. Aby obliczyć 6 do potęgi 4, czyli 6⁴, należy pomnożyć 6 pomnożyć przez siebie czterokrotnie. Można to zapisać jako 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 1296.

Jeśli chcesz mnożyć potęgi, upewnij się, że mają one tę samą podstawę. Następnie dodaj do siebie ich wykładniki, aby znaleźć wykładnik iloczynu. Na przykład, aby pomnożyć 2³ przez 2⁵:

1. Dodaj 3 + 5 = 8.

2. Zapisz wynik jako 2⁸.

3. Możesz obliczyć: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 256.

Aby podzielić wykładniki o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki. Aby to zilustrować, podzielmy 3⁷ przez 3⁴. Odejmując wykładniki, otrzymamy 3^7-4 = 3³ = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27.

Potęga ułamkowa to taka, w której wykładnik jest ułamkiem. Ogólna zasada mówi, że wykładnik ułamkowy 1/n oznacza, że należy wziąć n-ty pierwiastek. Na przykład 2^1/2 jest równe √2, 2^1/3 to ³√2, 2^1/4 to ∜2 itd.