Omni Calculator logo
Ostatnia aktualizacja:

Kalkulator pierwiastków

Nowy

Spis treści

Czym jest pierwiastek w matematyce?Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy?Pierwiastek sześcienny, pierwiastek czwartego stopnia, pierwiastek n-tego stopniaPrzykład: użycie kalkulatora pierwiastkówFAQs

Witaj w kalkulatorze pierwiastków, w którym razem przejdziemy przez teorię i praktykę sposobu obliczania pierwiastka n-tego stopnia z liczby, zwanego również n-tym pierwiastkiem.

Zaczniemy od szybkiego wyjaśnienia, czym jest pierwiastek w matematyce i podamy kilka łatwych przykładów, które być może już widziałeś/aś, takich jak pierwiastek kwadratowy z 2, pierwiastek kwadratowy z 3 lub pierwiastek sześcienny z 4. Ale co, jeśli chcesz znaleźć pierwiastek 4. stopnia? Poprzednie były dość proste, ale jaki jest, powiedzmy, pierwiastek 4. stopnia z 81? Nie martw się, niebawem ci to pokażemy.

Usiądź wygodnie, zrelaksuj się i ciesz się podróżą przez świat pierwiastków!

Czym jest pierwiastek w matematyce?

Wszyscy potrafimy mnożyć, prawda? Na przykład 124=4812 \cdot 4 = 48? Jeśli chcemy pomnożyć tę samą liczbę kilka razy, możemy zapisać ją w uproszczonej formie:

1212121212=125\small12\cdot12\cdot12\cdot12\cdot12=12^5

Gdzie mała cyfra 55 jest nazywana wykładnikiem i oznacza, ile kopii dużej liczby (w tym przypadku 1212) kolejno mnożymy. Operację tę nazywamy również wzięciem 1212 do 55-tej potęgi. Możesz zbadać tę operację matematyczną w Omni kalkulatorze potęg.

Pierwiastkowanie liczby jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Aby porównać to z biologicznym zjawiskiem, kiedy patrzymy na dorosłe drzewo, widzimy jego liście i pień, ale wszystko jest zbudowane na korzeniach. Podobnie jest z liczbami: gdy widzimy liczbę 125125, to pierwiastkowanie jej pokaże nam małe ziarenko, z którego wyrosła. W tym przykładzie pokaże nam, że ziarno to 55, ponieważ 53=1255^3 = 125.

Formalnie, pierwiastek ntegon^{\mathrm{tego}} stopnia z liczby aa jest liczbą bb, taką, że:

bn=a\small b^n = a

Dla przykładu przyjrzyjmy się bliżej, czym jest pierwiastek kwadratowy z danej liczby. Załóżmy, że kopiesz basen na swoim podwórku. Chcesz, aby był on tak długi, jak szeroki i w sumie zajmował powierzchnię 3636 metrów kwadratowych. Jak możesz obliczyć, jak długie powinny być jego boki? Zgadza się — obliczając pierwiastek! W tym przypadku powinien to być pierwiastek kwadratowy z powierzchni, czyli pierwiastek kwadratowy z 3636.

A czym jest pierwiastek kwadratowy z tej liczby? Zobaczmy, jak możemy go znaleźć i jak ogólnie obliczyć pierwiastek kwadratowy.

Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy?

Czasami obliczanie pierwiastka w matematyce może przypominać zgadywankę. Ale to nie to samo, co rzucanie kostką z zamkniętymi oczami i zgadywanie, co otrzymasz. Jest to raczej zgadywanie oparte na matematyce. W końcu, gdy wiemy, że 34=813^4 = 81, możemy bezpiecznie powiedzieć, że pierwiastek 4.4. stopnia z 8181 to 33. Ale najpierw musimy to wiedzieć.

Co więc możemy zrobić, jeśli zapomnieliśmy w domu podręcznej tabeli stu pierwszych liczb i ich pierwszych potęg? Czy to przegrana sprawa? Na szczęście nie. Nie do końca, ale do tego jeszcze wrócimy.

Jako przykład pokażemy jak obliczyć pierwiastek kwadratowy z 7272. Naszym głównym narzędziem będzie tutaj rozkład liczby na czynniki pierwsze, czyli dzielenie 7272 na najmniejsze możliwe części.

W procedurze rozkładu na czynniki pierwsze bierzemy liczbę (w naszym przypadku 7272) i znajdujemy najmniejszą liczbę pierwszą, która ją dzieli. Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba całkowita, która ma tylko dwa dzielniki: 11 i samą siebie. Łatwo zauważyć, że dla nas będzie to 22, ponieważ:

722=36\small \frac{72}{2} = 36

Następnym krokiem jest znalezienie najmniejszej liczby pierwszej z wyniku dzielenia liczby przez liczbę pierwszą, tj. liczby 3636. Jeśli będziemy to kontynuować, aż dojdziemy do 11, otrzymamy następujące liczby pierwsze: 22, 22, 22, 33, 33. Jest to rozkład na czynniki pierwsze (faktoryzacja) 7272, co oznacza, że:

72=22233\small72 = 2 \cdot 2 \cdot2 \cdot3 \cdot3

Czy coś jest dla ciebie niejasne w kwestii rozkładu liczby na czynniki pierwsze? Nie martw się, to całkiem interesujący problem matematyczny, czasami trudny do rozwiązania nawet dla komputerów! Możesz dowiedzieć się więcej (prawie wszystko) na ten temat w Omni kalkulatorze rozkładu na czynniki 🇺🇸.

Teraz, jeśli znajdziemy pary tych samych liczb, zobaczymy, że mamy kilka 22, kilka 33 i pozostaje jedna 22. To pozwala nam zapisać pierwiastek kwadratowy z 7272 jako:

72=22233=22322=232=62\small\begin{split} \sqrt{72}& = \sqrt{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3} \\[.3em] &= \sqrt{2^2\cdot3^2\cdot2} \\[.3em] &= 2\cdot3 \cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \end{split}

Bystre oko zauważy, że jedynymi liczbami, które pozostają pod pierwiastkiem, są właśnie samotnicy, którzy nie znaleźli pary.

Ale co z 22? Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 22? Cóż, o to właśnie chodziło z tym „niecałkowicie”. Pierwiastek kwadratowy z 22, pierwiastek kwadratowy z 33 lub jakiejkolwiek innej liczby pierwszej prowadzi nas z powrotem do zgadywania. Na szczęście możemy użyć naszego kalkulatora pierwiastków, aby obliczyć, że 21,4142\sqrt{2} \approx 1,4142, co daje nam:

72=6261, ⁣4142=8, ⁣4852\small\begin{split} \sqrt{72}&=6\sqrt{2}\approx6\cdot1,\!4142\\ &=8,\!4852 \end{split}

Zasadniczo, gdy jesteśmy pytani „jaki jest pierwiastek kwadratowy z...,”, powinniśmy najpierw wykonać rozkład na czynniki pierwiastków, aby rozwiązać problem, a jeśli (jak powyżej) zostanie nam jakaś mała cyfra na końcu, musimy po prostu użyć narzędzia takiego jak kalkulator pierwiastków, aby ją znaleźć.

Ale co z pierwiastkami wyższych stopni? Co jeśli potrzebuję np. pierwiastka 4. stopnia z liczby?” Cóż, jak dobrze, że o to pytasz! Właśnie tym problemem zajmiemy się w następnej sekcji.

🙋 Aby uzyskać bardziej wyczerpujący opis tej operacji, odwiedź Omni kalkulator pierwiastków kwadratowych 🇺🇸!

Pierwiastek sześcienny, pierwiastek czwartego stopnia, pierwiastek n-tego stopnia

Przypomnij sobie, jak chciałeś/aś wykopać basen w pierwszej sekcji. Teraz załóżmy, że chcesz, aby całość była sześcianem, który mieści 512512 metrów sześciennych wody. (Nie pytaj nas dlaczego. Być może od tego zależy, czy wystarczy zgłosić budowę, czy musisz uzyskać na nią pozwolenie)

Jak możesz znaleźć bok takiego basenu? Tak — obliczając pierwiastek sześcienny z tej liczby. To powie nam, że długość powinna wynosić:

5123=8 m\small \sqrt[3]{512} = 8\ \mathrm{m}

Ale jak się tam dostaliśmy? Na szczęście procedura się nie zmienia, stosujemy rozkład na czynniki pierwsze. Jeśli zastosujemy tę procedurę do 512512, otrzymamy:

512 ⁣= ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2\small 512\!=\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2

Teraz dochodzimy do rzeczy, która jest inna — zamiast par, grupujemy liczby w trójki. To właśnie sugeruje mały 33 w symbolu pierwiastka — potrzebujemy trzecich potęg. Zauważ, że pierwiastki kwadratowe są w rzeczywistości pierwiastkami rzędu 22, ale nie piszemy 22, ponieważ... Cóż, jeśli nie musimy tego robić z jednego typu pierwiastka, równie dobrze może to być najprostsza jego odmiana. To tylko konwencja i tradycja. Potraktuj to jako matematyczny odpowiednik pieczenia makowca na Boże Narodzenie.

W każdym razie, wracając do naszego problemu, grupowanie pozwala nam napisać:

5123= ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣23=2323233=222=8\small\begin{split} &\sqrt[3]{512} \\[.3em] &= \!\sqrt[3]{2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2} \\[.3em] &= \sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3}\\[.3em] & = 2\cdot2\cdot2=8 \end{split}

Jeśli przejdziemy do pierwiastków wyższych stopni, stosuje się tę samą zasadę. Obliczając pierwiastek czwartego stopnia, grupujemy liczby czwórkami. Na przykład, jeśli potrzebujesz pierwiastka 4tego4^{\mathrm{tego}} stopnia z 8181, zauważ, że:

81=3333\small81=3\cdot3\cdot3\cdot3

Mamy więc cztery 33. Oznacza to, że pierwiastek 4.4. stopnia z 8181 jest równy 33. Jeśli potrzebujemy pierwiastka n-tego stopnia, bierzemy grupy elementów w liczbie nn. A jeśli coś zostanie po rozkładzie na czynniki, po prostu znajdziemy to za pomocą jakiegoś zewnętrznego narzędzia, takiego jak nasz kalkulator pierwiastków.

W porządku, po całym tym czasie spędzonym na czytaniu teorii, najwyższy czas spojrzeć na rzeczywisty przykład i zobaczyć kalkulator pierwiastków w akcji, nie sądzisz?

🙋 Tak samo jak dla pierwiastka kwadratowego, mamy również narzędzie w całości poświęcone pierwiastkowi sześciennemu: kalkulator pierwiastka sześciennego 🇺🇸!

Przykład: użycie kalkulatora pierwiastków

Gratulacje, to chłopiec! Teraz gdy zostałeś/aś rodzicem, postanawiasz wziąć się za siebie i zaoszczędzić trochę pieniędzy na poczet przyszłych studiów. Decydujesz się wziąć sporą część swoich oszczędności i zostawić je w banku na następne osiemnaście lat, aby kwota rosła wraz z dzieckiem.

Załóżmy, że udało ci się odłożyć solidną kwotę 32 00032\ 000 złotych (nazwijmy tę kwotę start\mathrm{start}). Niestety w jakiś sposób zapomniałeś/aś o oprocentowaniu inwestycji, ale co się stało, to się nie odstanie. Kwota na koniec będzie takim samym zaskoczeniem dla ciebie, jak i dla twojego syna.

Czas mija, lata mijają i w końcu nadszedł czas, aby podarować dziecku zaoszczędzone pieniądze. Dzwonisz do banku i okazuje się, że na koncie jest 46 40046\ 400 złotych (nazwiemy to zmienną koniec\mathrm{koniec}). Nieźle, prawda? Wygląda na to, że będziesz w stanie spełnić marzenia swojego syna.

Ale, tak dla siebie, z czystej ciekawości, czy możemy obliczyć stopę procentową na podstawie liczb, które mamy?

Oczywiście, że możemy, a pomoże nam w tym kalkulator pierwiastków!

Załóżmy, że odsetki były dopisywane do konta na koniec każdego roku, a pieniądze nie były w ogóle opodatkowane (tak, wiemy, że to trochę naciągane). Wtedy kwota, którą otrzymamy na koniec, jest opisana wzorem:

koniec ⁣= ⁣start(1+stopa procentowa)18\small\mathrm{koniec}\! =\! \mathrm{start}\cdot(1 + \mathrm{stopa\ procentowa})^{18}

Gdzie wykładnik 1818 pochodzi z osiemnastu lat, które pieniądze spędziły w banku: jest to formuła, którą możesz spotkać w kalkulatorze odsetek prostych. W naszym przypadku przekłada się to na:

46 400 zł=32 000 zł(1+stopa procentowa)18\small \begin{split} &46\ 400\ zł\\ &= 32\ 000\ zł \cdot (1 + \mathrm{stopa\ procentowa})^{18} \end{split}

Jeśli podzielimy obie strony przez 32 000 zł32\ 000\ zł, otrzymamy tę wartość:

46 400 zł32 000 zł=(1+stopa procentowa)18\small\frac{46\ 400\ zł}{32\ 000\ zł} = (1 + \mathrm{stopa\ procentowa})^{18}

Lub po przybliżeniu:

1, ⁣45=(1+stopa procentowa)18\small1,\!45=(1+\mathrm{stopa\ procentowa})^{18}

Więc jeśli mamy 18.18. potęgę po prawej stronie, musimy znaleźć pierwiastek 18.18. stopnia po lewej stronie. Teraz jest to coś nieco bardziej skomplikowanego niż pierwiastek kwadratowy z 33, prawda?

Zwracamy się do naszego kalkulatora pierwiastków. Mamy tam dwie liczby: aa i nn. Patrząc na symboliczny obrazek, widzimy, że nn jest stopniem pierwiastka, więc wprowadzamy n=18n = 18. Z kolei aa to liczba pod pierwiastkiem, więc bierzemy a=1,45a = 1,45. To sprawia, że kalkulator pierwiastków podaje odpowiedź:

1+stopa procentowa=1, ⁣021\small 1+\mathrm{stopa\ procentowa} =1,\!021

Jeśli przeliczymy liczbę dziesiętną na procenty, otrzymamy:

stopa procentowa=0, ⁣021=2, ⁣1%\small\mathrm{stopa\ procentowa} = 0,\!021=2,\!1\%

Wydaje się dość mały, ale za to jak urósł w ciągu osiemnastu lat!

W porządku, ciekawość zaspokojona, czas wrócić do urodzinowego tortu. Miejmy tylko nadzieję, że twój syn dobrze wykorzysta pieniądze i będzie kontynuował naukę.

FAQs

Jak znaleźć pierwiastek kwadratowy bez kalkulatora?

Jedną z metod szacowania pierwiastków kwadratowych jest metoda babilońska. Zacznij od odgadnięcia pierwiastka kwadratowego i podziel oryginalną liczbę przez swoje przypuszczenie. Następnie uśrednij swoje przypuszczenia i wynik dzielenia. Kontynuuj, aż uzyskasz wymaganą precyzję.

Na przykład, aby znaleźć pierwiastek kwadratowy z 2:

  1. Zacznij od zgadnięcia liczby 1,5.
  2. Podziel 2 przez 1,5, co daje 1,3333.
  3. Znajdź średnią z 1,5 i 1,3333, która wynosi 1,4167.
  4. Powtarzaj kroki 2 i 3, aż wynik osiągnie wymaganą dokładność.

Jak znaleźć pierwiastek sześcienny na kalkulatorze?

Aby znaleźć pierwiastek sześcienny z liczby na zwykłym kalkulatorze, wprowadź liczbę, a następnie naciśnij przycisk ∛x. Na naukowym kalkulatorze graficznym naciśnij przycisk ∛, a następnie wprowadź liczbę.

Aby znaleźć wyższe pierwiastki na zwykłym kalkulatorze, wprowadź rząd pierwiastka, naciśnij przycisk y√x, a następnie liczbę. Na kalkulatorze naukowym kroki są takie same, choć przycisk może być oznaczony jako x√.

Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy w programie Excel?

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby w Excelu lub arkuszach Google, użyj funkcji SQRT(). Na przykład, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby w komórce A1, wprowadź formułę =SQRT(A1).

Ile wynosi pierwiastek kwadratowy z 64?

Osiem. Dzieje się tak, ponieważ jeśli pomnożymy 8 przez siebie, wynikiem będzie 64. Pierwiastek kwadratowy z liczby oznacza znalezienie liczby, która po pomnożeniu przez siebie zwraca pierwotną liczbę.

W przypadku liczby 64, ponieważ jej pierwiastek kwadratowy jest liczbą całkowitą, 64 nazywana jest liczbą idealnie kwadratową. Dzieje się tak, ponieważ można ją przedstawić poprzez ułożenie 64 elementów w kwadrat o boku długości 8 elementów.

 

an\huge\sqrt[n]{a}

 

Check out 75 similar arithmetic calculators ➗
Absolute changeAbsolute valueAdding and subtracting fractions...72 more