Calculadora de Variância

A calculadora de variância da Omni é uma ótima ferramenta educacional que ensina a calcular a variância de um conjunto de dados. A calculadora funciona para conjuntos de dados de população e de amostra.

Continue lendo para aprender:

• A definição de variância em estatística;
• A fórmula da variância;
• Exemplos de cálculos de variância; e
• Um método rápido para você calcular a variância manualmente.

A variância é uma medida da variabilidade dos valores em um conjunto de dados.

Uma variância alta indica que um conjunto de dados está mais espalhado.

Uma variância baixa indica que os dados estão mais agrupados em torno da média, ou menos espalhados.

Aprender a calcular a variância é um passo fundamental para calcular o desvio padrão 🇺🇸. Essas duas medidas são a base para determinar o desvio padrão relativo e os intervalos de confiança.

Você não tem domínio sobre os dois últimos conceitos que abordamos? Aprenda mais sobre eles visitando nossas ferramentas dedicadas: a calculadora de desvio padrão relativo 🇺🇸 e a calculadora de intervalo de confiança!

A variância (denotada como σ²) é definida como a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média, para todos os pontos do conjunto de dados. Nós a escrevemos como:

$\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

onde,

• σ²: variância;
• μ: média; e
• xᵢ: representa o i-ésimo ponto de dados de um total de N pontos.

Você pode calcular a variância em três etapas:

1. Encontre a diferença da média para cada ponto. Use a fórmula: $x_i - \mu$

2. Eleve ao quadrado a diferença da média para cada ponto: $(x_i - \mu)^2$

3. Tome a média das diferenças quadradas da média que você encontrou no passo 2: $\frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$

   Essa é a fórmula da variância populacional. Observe que essa fórmula é ligeiramente diferente para dados de amostra e para grupos de dados. Na verdade, para esses últimos, temos a calculadora de desvio padrão para grupo de dados 🇺🇸.

Em muitos experimentos científicos, apenas uma amostra da população é medida por motivos práticos. Essa amostra nos permite fazer inferências sobre a população. Entretanto, quando usamos dados de amostra para estimar a variância de uma população, a fórmula de variância regular, $\sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^2$, subestima a variância populacional.

Para evitar que você subestime a variância de uma população (e, consequentemente, o desvio padrão), substituímos N por N - 1 na fórmula de variância quando são usados dados de amostra. Esse ajuste é conhecido como correção de Bessel.

A fórmula da variância amostral passa a ser:

$s^2 = \frac 1{N-1} \sum_{i=1}^N(x_i - \bar{x})^2$

onde,

• s²: estimativa da variância;
• x̄: média da amostra; e
• x_i: i-ésimo ponto de dados de um total de N pontos.

Vamos calcular a variância populacional de oito alunos que tiraram as seguintes notas em uma prova: 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9. Siga estas etapas:

1. Calcule a média

Para calcular a média (x̄), divida a soma de todos os números pelo número de pontos de dados:

$\overline{x} = \frac 18 (5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9)$

$\overline{x} = 7$

2. Calcule a diferença em relação à média e as diferenças ao quadrado em relação à média

Agora que sabemos que a média é 7, calcularemos a diferença em relação à média usando a fórmula:

$x_i - \overline{x}$

O primeiro ponto tem um valor de 5, portanto, a diferença da média é 5 - 7 = - 2.

A diferença ao quadrado (ou "desvio ao quadrado") da média é simplesmente o quadrado do passo anterior:

$(x_i - \overline{x})^2$

assim, o desvio elevado ao quadrado seria:

$(5 - 7)^2 = (-2)^2= 4$

Na tabela abaixo, mostramos os desvios calculados ao quadrado da média para todas as pontuações da prova. A coluna "Desvio" é a pontuação menos 7, e a coluna "Desvio²" informa cada um dos valores da coluna anterior elevados ao quadrado.

3. Calcule a variância e o desvio padrão

Em seguida, usamos os desvios elevados ao quadrado da média que encontramos no passo 2 na equação da variância:

$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

$\sigma^2 =\frac 18 (4 + 4 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4)$

$\sigma^2 = 2{,}75$

A variância das notas da prova foi de 2,75.

Observe que, se usássemos dados de amostra para estimar a variância populacional, consideraríamos a equação:

$s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \overline{x})^2$

Agora que você sabe como encontrar a variância, tente calculá-la você mesmo e, em seguida, verifique sua resposta usando nossa calculadora!

Você pode achar interessante que a variância determina a medida da dispersão 🇺🇸 dos dados.

Se você estiver calculando a variância com uma calculadora portátil, há uma fórmula mais fácil que deve ser usada. Essa fórmula alternativa é matematicamente equivalente, mas é mais fácil para você digitar em uma calculadora.

A fórmula de fácil digitação para a variância (para dados populacionais) é:

A fórmula fácil de digitar para a variância amostral é:

Por exemplo, considerando o conjunto de dados 1, 2, 4, 6, o cálculo da variância amostral seria:

Tente você mesmo e verifique sua resposta com nossa calculadora de variância!

Tabela 1. Variáveis para dados populacionais

Tabela 2. Variáveis para dados de amostra