Calculadora de Independência Linear

Boas-vindas à calculadora de independência linear da Omni, onde aprenderemos como verificar se você está lidando com vetores linearmente independentes ou não.

Em essência, o mundo ao nosso redor é um espaço vetorial e, às vezes, é útil nos limitarmos a uma seção menor dele. Por exemplo, uma esfera é uma forma tridimensional, mas um círculo existe em apenas duas dimensões, então por que você se preocupa com cálculos em três?

A dependência linear nos permite fazer exatamente isso: trabalhar em um espaço menor, o chamado espaço dos vetores em questão. Mas não se preocupe se você achou todas essas palavras sofisticadas e confusas até agora. Em um segundo, analisaremos lentamente tudo isso juntos.

Então, pegue seu lanche e vamos lá!

Quando você pergunta a alguém: “O que é um vetor?”, muitas vezes recebe como resposta “uma seta” Afinal de contas, geralmente os denotamos com uma seta sobre uma letra minúscula:

Bem, digamos que essa resposta não dará a você 100 pontos em um teste. Formalmente, um vetor é um elemento do espaço vetorial. Fim da definição. É fácil, né? Podemos terminar de estudar agora, você já deve ter entendido tudo.

Mas o que é um espaço vetorial, então? Novamente, a definição matemática deixa muito a desejar: é um conjunto de elementos com algumas operações (adição e multiplicação escalar), que deve ter várias propriedades específicas. Então, por que não deixamos o formalismo e olhamos para alguns exemplos reais?

O espaço cartesiano é um exemplo de um espaço vetorial. Isso significa que a reta numérica, o plano e o espaço tridimensional em que vivemos são todos espaços vetoriais. Seus elementos são, respectivamente, números, pares de números e trios de números, que, em cada caso, descrevem a localização de um ponto (um elemento do espaço). Por exemplo, o número $-1$ ou as coordenadas $A = (2, 3)$ são elementos de espaços vetoriais (diferentes!). Muitas vezes, ao desenhar as forças que atuam em um objeto, como velocidade ou força gravitacional, usamos setas para descrever sua direção e valor, e é daí que vem a “definição de seta”.

O que é muito importante é que temos operações bem definidas nos vetores mencionados acima. Há algumas um pouco mais sofisticadas, como o produto escalar e o produto vetorial (se você precisar aprender a diferença entre eles, visite a calculadora de produto vetorial 🇺🇸 e a calculadora de produto escalar 🇺🇸). No entanto, felizmente, vamos nos limitar a duas operações básicas que seguem regras semelhantes às mesmas operações de matriz (os vetores são, na verdade, matrizes linha). Em primeiro lugar, a adição:

Ou:

E podemos multiplicá-los por um escalar (um número real ou complexo) para alterar sua magnitude:

Ou:

Verdade seja dita, um espaço vetorial não precisa conter números. Ele pode ser um espaço de sequências, funções ou permutações. Nem mesmo os escalares precisam ser numéricos! Mas deixemos essa abordagem abstrata para os cientistas. Estamos muito bem apenas com os números, não é mesmo?

Digamos que você receba um conjunto de vetores (do mesmo espaço): $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$, ..., $\vec{v}_n$. Como vimos na seção acima, podemos adicioná-los e multiplicá-los por escalares. Qualquer expressão que seja obtida dessa forma é chamada de uma combinação linear de vetores. Em outras palavras, qualquer vetor $\vec{w}$, que pode ser escrito como

onde $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, ..., $\alpha_n$, são números reais arbitrários, resulta em uma combinação linear dos vetores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$, ..., $\vec{v}_n$. Observe que $\vec{w}$ também é um vetor, já que ele é construído a partir de uma soma de vetores.

Ok, então por que fazer tudo isso? Há várias coisas na vida, como balões e camas elásticas, que são divertidas de se ter, mas não têm tanta utilidade no dia a dia. É esse o caso aqui?

Consideremos o plano cartesiano, ou seja, o espaço bidimensional $\vec{A} = (x,y)$ com duas coordenadas, onde $x$ e $y$ são números reais arbitrários. Podemos ter diversos vetores diferentes neste espaço, entre os quais existem dois vetores especiais: $\vec{e}_1 = (1,0)$ e $\vec{e}_2 = (0,1)$. Agora, observe que:

Em outras palavras, qualquer vetor do nosso espaço é uma combinação linear dos vetores $\vec{e}_1$ e $\vec{e}_2$. Esses vetores, então, formam uma base (e uma base ortonormal) do espaço. E, acredite, em aplicações e cálculos, muitas vezes é mais fácil trabalhar com uma base que você conhece do que com alguns vetores aleatórios que você não conhece.

Mas e se você adicionasse outro vetor e quisesse descrever combinações lineares dos vetores $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ e, digamos, $\vec{v}$? Vimos que $\vec{e}_1$ e $\vec{e}_2$ foram suficientes para encontrar todos os pontos. Portanto, adicionar $\vec{v}$ não deve mudar nada, não é mesmo? Na verdade, esse procedimento parece bastante redundante. E é exatamente aí que a dependência linear entra em jogo.

Dizemos que $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$, ..., $\vec{v}_n$ são vetores linearmente independentes se a equação

(aqui $\vec{0}$ é o vetor com zeros em todas as coordenadas) é válida se e somente se $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=...=\alpha_n$. Caso contrário, dizemos que os vetores são linearmente dependentes.

A definição acima pode ser entendida da seguinte forma: a única combinação linear de vetores que dá o vetor zero é a trivial. Podemos verificar isso se considerarmos os vetores: $\vec{e}_1 = (1,0)$, $\vec{e}_2 = (0,1)$, e também o vetor $\vec{v} = (2,-1)$. Então, veja o que ocorre com a combinação abaixo:

portanto, encontramos uma combinação linear não trivial dos vetores que dá zero. Portanto, eles são linearmente dependentes. Além disso, podemos ver facilmente que $\vec{e}_1$ e $\vec{e}_2$ sem o problemático $\vec{v}$ são vetores linearmente independentes.

O conjunto de todos os elementos que podem ser escritos como uma combinação linear dos vetores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$, ..., $\vec{v}_n$ é chamado de espaço gerado por S, onde $\mathrm{S}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,...,\vec{v}_n)$. Voltando aos vetores da seção acima, ou seja, $\vec{e}_1= (1,0)$, $e_2 = (0,1)$, e $\vec{v} = (2,-1)$, vemos que:

onde $\R^2$ é o conjunto de pontos no plano cartesiano, ou seja, todos os pares possíveis de números reais. Em essência, isso significa que o espaço $\mathrm{S}$ dos vetores é a mesmo para $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$, e $\vec{v}$, e para apenas $\vec{e}_1$ e $\vec{e}_2$ (ou, para usar termos formais, a interseção dos dois espaços é o próprio espaço dos números reais $\R^2$). Isso sugere que adicionar $\vec{v}$ a $\vec{e}_1$ e $\vec{e}_2$ é redundante. Sim, você adivinhou, isso se deve precisamente à dependência linear.

O espaço gerado em álgebra linear descreve o espaço onde nossos vetores vivem. Em particular, o menor número de elementos que é suficiente para fazer isso é chamado de dimensão do espaço vetorial. No exemplo acima, foi $2$ porque não é possível gerar vetores sem usar as bases $\vec{e}_1$ e $\vec{e}_2$.

Um olhar atento observará que, de fato, a dimensão dos vetores é igual ao número de vetores linearmente independentes no grupo. No exemplo acima, vemos que os vetores $\vec{e}_1$ e $\vec{e}_2$ eram os mais simples possíveis (na verdade, eles até têm seu próprio nome: a base padrão). Mas e se tivermos algo diferente? Como podemos verificar a dependência linear e descrever a extensão dos vetores em todos os casos? Em um minuto, descobriremos exatamente isso e muito mais!

Para verificar a dependência linear, traduziremos nosso problema da linguagem de vetores para a linguagem de matrizes (matrizes de números). Por exemplo, digamos que você receba três vetores em um espaço bidimensional (com duas coordenadas): $\vec{v} = (a_1, a_2)$, $\vec{w} = (b_1, b_2)$, e $\vec{u} = (c_1, c_2)$. Agora vamos escrever suas coordenadas como uma grande matriz com cada linha (ou coluna, não importa) correspondente a um dos vetores:

Então, a classificação da matriz é igual ao número máximo de vetores linearmente independentes entre $\vec{v}$, $\vec{w}$ e $\vec{u}$. Em outras palavras, sua extensão em álgebra linear é a dimensão do espaço, também chamada de $\mathrm{característica}(A)$ ou $\mathrm{característica}(A)$. Em particular, elas são vetores linearmente independentes se, e somente se, a característica de $A$ é igual ao número de vetores.

Então, como encontrar a característica? Provavelmente, o método mais fácil é a eliminação de Gauss (ou seu refinamento, eliminação de Gauss-Jordan). É o mesmo algoritmo que é frequentemente usado para calcular sistemas de equações 🇺🇸, especialmente quando você tenta encontrar a forma escalonada (reduzida) do sistema.

A eliminação gaussiana se baseia nas chamadas operações de linha elementar:

1. Considere duas linhas da matriz.
2. Multiplique a primeira uma linha por uma constante conveniente diferente de zero.
3. Adicione esse produto à próxima linha da matriz, de forma a zerar a primeira entrada da segunda linha. O procedimento pode ser repetido para zerar outras entradas da matriz.

O truque aqui é que, embora as operações alterem a matriz, não alteram sua característica e, portanto, a dimensão do intervalo dos vetores.

O algoritmo tenta eliminar (ou seja, converter em $0$) tantas entradas de $A$ quanto possível. No caso acima, desde que $a_1$ seja diferente de zero, o primeiro passo da eliminação gaussiana transformará a matriz em:

Em que $s_1$ e $t_2$ são números reais. Então, desde que $s_2$ não seja zero, na segunda etapa você obterá a matriz:

Agora precisamos observar que a linha inferior representa o vetor zero (tem dois zeros $0$, um em cada entrada), que é linearmente dependente de qualquer vetor. Portanto, a característica da nossa matriz será simplesmente o número de linhas não nulas da matriz que obtivemos, que, nesse caso, é $2$.

Você já gastou tempo suficiente com teoria, e todos sabemos que o tempo vale seu peso em ouro. Vamos experimentar um exemplo para ver a calculadora de independência linear em ação!

Digamos que você finalmente tenha realizado seus sonhos, você comprou um drone. Você finalmente pode tirar fotos e fazer vídeos dos lugares que visita desde muito longe. Tudo o que você precisa fazer é programar seus movimentos. O drone requer que você dê a ele três vetores ao longo dos quais ele poderá se mover.

O mundo em que vivemos é tridimensional, portanto, os vetores terão três coordenadas. Sem pensar muito, você pega alguns vetores aleatórios que lhe vêm à mente: $(1, 3, -2)$, $(4, 7, 1)$, e $(3, -1, 12)$. Mas será que vale mesmo a pena você fechar os olhos, jogar uma moeda e escolher números aleatórios? Afinal de contas, a maior parte de suas economias foi investida nisso, portanto, é melhor que você faça isso corretamente.

Bem, se você escolhesse os números aleatoriamente, talvez descobrisse que os vetores escolhidos são linearmente dependentes, e a extensão dos vetores é, por exemplo, de apenas duas dimensões. Essa média significa que o drone não poderia se mover como você quisesse, mas estaria limitado a se mover ao longo de um plano. Pode ser que você consiga se mover para a esquerda e para a direita, para frente e para trás, mas não para cima e para baixo. E como conseguiríamos aquelas fotos premiadas da caminhada de volta se o drone não consegue nem sequer voar para cima?

Ainda bem que temos a calculadora de independência linear! Com ela, podemos verificar rapidamente e sem esforço se nossa escolha foi boa. Então, vejamos como você pode usá-la.

Temos $3$ vetores com $3$ coordenadas cada, portanto, começamos informando esse fato à calculadora escolhendo as opções apropriadas em "número de vetores" e "número de coordenadas" Isso nos mostrará um exemplo simbólico de tais vetores com a notação usada na calculadora de independência linear. Por exemplo, o primeiro vetor é dado por $\vec{v}= (a_1, a_2, a_3)$. Portanto, como em nosso caso o primeiro foi $(1, 3, -2)$, inserimos

Da mesma forma, você pode inserir os dados dos outros dois vetores escolhidos:

e:

Depois de inserirmos o último número, a calculadora de independência linear nos dirá instantaneamente se temos vetores linearmente independentes ou não e qual é a dimensão do intervalo dos vetores. No entanto, vamos pegar um pedaço de papel e tentar fazer tudo independentemente à mão para ver como a calculadora chegou à sua resposta.

Conforme mencionado na seção acima, gostaríamos de calcular a característica de uma matriz formada por nossos vetores. Construiremos a matriz de tamanho 3×3 escrevendo as coordenadas de vetores consecutivos em linhas consecutivas. Dessa forma, chegaremos a uma matriz:

Agora vamos usar a eliminação gaussiana. Antes de mais nada, gostaríamos de ter zeros nas duas linhas inferiores da primeira coluna. Para obtê-los, usamos operações elementares de linha e o $1$ da linha superior. Em outras palavras, adicionamos um múltiplo adequado da primeira linha às outras duas para que sua primeira entrada se torne zero. Como $4 + (-4)\cdot1 = 0$ e $3 + (-3)\cdot1 = 0$, adicionamos um múltiplo de $(-4)$ e $(-3)$ da primeira linha à segunda e à terceira linha, respectivamente. Isso resulta em uma matriz:

Em seguida, gostaríamos de obter $0$ na linha inferior da coluna do meio e podemos usar o $-5$ para fazer isso. Novamente, adicionamos um múltiplo adequado da segunda linha à terceira. Como $-10 + (-2)\cdot(-5) = 0$, o múltiplo é $(-2)$. Portanto,

Obtivemos zeros nas linhas inferiores. Sabemos que a classificação da matriz e, portanto, a dependência linear e o espaço gerado em álgebra linear, são determinados pelo número de linhas não nulas. Isso significa que, no nosso caso, temos $\mathrm{característica}(A) = 2$, que é menor que o número de vetores e implica que eles são linearmente dependentes e abrangem um espaço bidimensional.

Portanto, o que temíamos que pudesse acontecer aconteceu: nosso drone não terá liberdade de movimento. Mas não podemos perder essa chance de filmar todas aquelas imagens aéreas! Felizmente, temos a calculadora de independência linear à mão e podemos brincar com os vetores para encontrar uma combinação de vetores adequada. E assim que tivermos isso, faremos as malas, entraremos no carro e partiremos em uma aventura!

Você pode verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente calculando o determinante de uma matriz cujas colunas são os vetores que você deseja verificar. Eles são linearmente independentes se, e somente se, esse determinante não for igual a zero.

Sim, os vetores de [1,1] e [1,-1] são linearmente independentes. Você pode ver isso calculando o determinante: 1 ⋅ (-1) - 1 ⋅ 1 = -2.

Dois vetores arbitrários não necessariamente geram um espaço R². Dois vetores geram um espaço R² se, e somente se, forem linearmente independentes. Um exemplo de dois vetores que geram um espaço R² são [1,1] e [1,-1]. Um exemplo de dois vetores que não geram um espaço R² são [1,1] e [3,3].

Não, dois vetores não são suficientes para gerar um espaço R³. Você precisa de pelo menos três vetores para gerar um espaço R³. Um determinado conjunto de três vetores gerará um espaço R³ se, e somente se, eles forem linearmente independentes.

Sim, as colunas da matriz identidade formam um conjunto linearmente independente: o determinante da identidade é igual a um.