Fibonacci Rechner
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Was ist die Fibonacci-Reihe?Formel für den n-ten TermFormel für den n-ten Term mit beliebigem StartwertNegative Terme der Fibonacci-ReiheFibonacci-SpiraleFAQsDieser Fibonacci-Rechner ist ein Werkzeug zur Berechnung der beliebigen Terme der Fibonacci-Reihe. Nie wieder musst du die Terme manuell addieren – unser Rechner findet die ersten 250 Terme für dich! Du kannst auch deine eigenen Startwerte der Abfolge setzen und diesen Rechner die ganze Arbeit für dich erledigen lassen.
Wenn du erfahren möchtest, wie Aktienhändler Fibonacci beim Handel anwenden, schau dir den Fibonacci Retracement Rechner 🇺🇸 an. Sieh dir auch den Geometrische Folge Rechner an, oder wenn du noch mehr „verrückte“ Abfolgen möchtest, den Collatz-Problem Rechner 🇺🇸!
Was ist die Fibonacci-Reihe?
Die Fibonacci-Reihe ist eine Abfolge von Zahlen, die einer bestimmten Regel folgen: Jeder Term der Abfolge ist gleich der Summe der beiden vorangegangenen Terme. Auf diese Weise kann jeder Term durch diese Gleichung ausgedrückt werden:
Fn = Fn-2 + Fn-1
Bei der Fibonacci-Reihe sind die ersten beiden Terme normalerweise F₀ = 0 und F₁ = 1. Alternativ kannst du auch F₁ = 1 und F₂ = 1 als Beginn der Abfolge wählen. Anders als bei einer arithmetischen Abfolge musst du mindestens zwei aufeinanderfolgende Terme kennen, um den Rest der Abfolge herauszufinden.
Die Regel der Fibonacci-Reihe gilt auch für negative Terme – so kannst du zum Beispiel herausfinden, dass F₋₁ gleich 1 ist.
Die ersten fünfzehn Terme der Fibonacci-Reihe sind:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...
Interessanterweise folgen die Fibonacci-Zahlen dem bekannten Benfordschen Gesetz 🇺🇸!
Formel für den n-ten Term
Um den n-ten Term der Fibonacci-Reihe zu berechnen, musst du glücklicherweise nicht alle vorangegangenen Terme berechnen. Es gibt eine einfache Formel, mit der du einen beliebigen Term der Abfolge finden kannst:
Fn = (φⁿ - ψⁿ) / √5,
wobei:
- Fn — n-ter Term der Abfolge;
- φ — Goldener Schnitt (gleich (1 + √5)/2, oder 1,618...); und
- ψ = 1 - φ = (1 - √5)/2.
Unser Fibonacci-Rechner nutzt diese Formel, um beliebige Terme im Handumdrehen zu finden!
Formel für den n-ten Term mit beliebigem Startwert
Du kannst den Rechner für die Fibonacci-Reihe auch verwenden, um einen beliebigen Term einer Abfolge mit verschiedenen Anfängen zu finden. Klicke im unteren Teil des Rechners einfach auf die Option Ändere F₀ und F₁ und setze zwei Zahlen für den ersten und zweiten Term der Abfolge ein.
Der Fibonacci-Rechner verwendet die folgende verallgemeinerte Formel zur Bestimmung des n-ten Terms:
Fn = aφⁿ + bψⁿ,
wobei:
- a = (F₁ - F₀ψ) / √5;
- b = (φF₀ - F₁) / √5;
- F₀ — erster Term der Abfolge; und
- F₁ — zweiter Term der Abfolge, usw.
Negative Terme der Fibonacci-Reihe
Wenn du ein paar negative Terme der Fibonacci-Reihe aufschreibst, wirst du feststellen, dass die Abfolge unter null fast die gleichen Zahlen hat wie die Abfolge über null. Der Unterschied ist, dass das Ergebnis für ungerade negative Werte von n positiv ist. Du kannst die folgende Gleichung verwenden, um die negativen Terme schnell zu berechnen:
F-n = Fn ∙ (-1)ⁿ⁺¹
Zum Beispiel: F₋₈ = F₈ ∙ (-1)⁸⁺¹ = F₈ ∙ (-1) = -21
Fibonacci-Spirale
Wenn du Quadrate mit Seitenlängen zeichnest, die jedem aufeinanderfolgenden Term der Fibonacci-Reihe entsprechen, kannst du eine Fibonacci-Spirale bilden:
Die Spirale im Bild oben verwendet die ersten zehn Terme der Fibonacci-Reihe – 0 (unsichtbar), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
Wie komme ich auf die Fibonacci-Zahlen?
- Wähle 0 und 1. Dann addierst du sie, und du hast 1. Schau dir die Reihe an, die du gebildet hast: 0, 1, 1.
- Für die dritte Zahl addierst du die letzten beiden Zahlen in deiner Reihe; das wäre dann 1+1. Jetzt sieht deine Reihe aus wie 0, 1, 1, 2.
- Für die 4. Zahl deiner Fibonacci-Reihe addierst du die letzten beiden Zahlen: 2+1 (beachte, dass du wieder die letzten beiden Zahlen ausgewählt hast). Deine Reihe: 0, 1, 1, 2, 3. Und so weiter.
Wofür werden Fibonacci-Zahlen verwendet?
Hier sind einige der häufigsten Anwendungen für die Fibonacci-Zahlen:
- Für Investitionen am Aktienmarkt. Die Anleger glauben, dass sich die Aktienkurse an bestimmten Fibonacci-Stufen orientieren.
- In der Musik, insbesondere in der westlichen Musik, verwenden Musiker die Fibonacci-Zahlen für musikalische Skalen.
- Künstler nutzen sie als ästhetisches Konzept, das auf der Fibonacci-Spirale basiert.
Wie lauten die ersten 10 Fibonacci-Zahlen?
Die ersten 10 Fibonacci-Zahlen sind: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Du kannst auch unseren Fibonacci-Rechner benutzen, um jede andere beliebige Zahl zu erhalten.
Wie berechnet man den Goldenen Schnitt?
- Wähle eine Zahl. Sagen wir 2. Dividiere 1 durch deine Zahl. In diesem Fall: 1/2 = 0,5
- Addiere 1. Jetzt hast du 1,5. Wiederhole den Vorgang.
- Dividiere 1 durch 1,5: 1/1,5 oder 0,6666. Addiere wieder 1. Nun hast du 1,6666.
- Dividiere 1 durch dein letztes Ergebnis und addiere 1: 1,6000.
- Wiederhole den Vorgang noch zwei weitere Male und du erhältst: 1,625 und 1,615. Wenn du es oft genug wiederholst, erhältst du 1,618.