Zuletzt aktualisiert: 30. Oct 2024

Oberfläche Kegel Rechner

Q: Wie groß ist der Flächeninhalt eines Kegels mit der Höhe 4 und dem Radius 3?

Die Antwort lautet 75,4 . Um dieses Ergebnis zu erhalten, musst du die Formel A = πr(r + √(h² + r²)) mit r = 3 und h = 4 anwenden. Denke daran, dass die Antwort in quadratischen Einheiten angegeben wird.

Erstellt von Steven Wooding

Steven Wooding

Physicist holding a 1st class degree and a member of the Institute of Physics. Creator of the UK vaccine queue calculator, and featured in many publications, including The Sun, Daily Mail, Express, and Independent. Tenacious in researching answers to questions and has an affection for coding. Hobbies include cycling, walking, and birdwatching. You can find him on Twitter @OmniSteve. See full profile

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Überprüft von Bogna Szyk und Jack Bowater

Übersetzt von Luise Schwenke

Luise Schwenke

Luise works as a German translator and Calculatorian at Omni. She holds a degree in Food Engineering from the University of Sciences - Neubrandenburg, Germany, and specialized her career in biotechnology. She worked in human genetic diagnostics, developing and producing pharmaceutical products for clinical phase 2 and 3 studies. She is always hungry for new fields to learn about that allow her to combine her creative and analytical thinking. Currently, she is getting her hands on coding, focusing on data science and big data. Luise spent an academic year in Brazil and loves traveling the world to experience and learn from different cultures. See full profile

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und Julia Kopczyńska, promovierend

Julia Kopczyńska

PhD candidate, Polish Academy of Sciences

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A microbiologist with a low-key addiction to coffee. Since her Bachelor’s, she has focused on the gut microbiome and its role in human health. Now she hopes to find the golden bacteria to improve gut health in her Ph.D. project. She enjoys scientific writing and digging really deep into a topic. She has been living in 5 different countries and loves to travel to new places. In her free time, she likes to be active by playing volleyball, biking, and going for long walks. See full profile

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Inhalt

Für welche Art von Kegel ist dieser Rechner nützlich?So benutzt du den Rechner für den Oberflächeninhalt eines Kegels Wie leite ich die Formel für den Oberflächeninhalt eines Kegels ab Beispiele, wie man den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnet FAQs

Dieser Rechner für den Oberflächeninhalt eines Kegels hilft dir bei der Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen senkrechten Kegels. Im folgenden Text zeigen wir dir die Formel für den Oberflächeninhalt eines Kegels und wie du sie ableiten kannst. Nachdem du unseren Rechner benutzt und diesen Artikel gelesen hast, wirst du sicher wissen, wie du die Oberfläche eines Kegels berechnen kannst.

Für welche Art von Kegel ist dieser Rechner nützlich?

Bevor wir dir erklären, wie du unseren Rechner für den Oberflächeninhalt eines Kegels benutzen kannst, müssen wir zunächst definieren, für welche Art von Kegel du ihn benutzen kannst. Eine allgemeine Kegelform besteht aus einer kreisförmigen oder ovalen Grundfläche und einem Scheitelpunkt (oder einer Spitze) oberhalb der Grundfläche, der mit dem Umfang der Grundform verbunden ist.

Dieser Rechner funktioniert für eine bestimmte Art von Kegel, den senkrechten Kegel (wie im Diagramm über dem Rechner dargestellt). Er hat eine kreisförmige Grundfläche, und der Scheitelpunkt liegt direkt über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Daher ist der Winkel zwischen der Grundfläche und einer gedachten Gerade zwischen Grundfläche und Scheitelpunkt $90\degree$ , auch bekannt als rechter Winkel.

Dieses Werkzeug kann nicht für schräge Kegel verwendet werden, bei denen der Scheitelpunkt nicht in der Mitte liegt. Wenn du dich mit fortgeschrittener Infinitesimalrechnung auskennst, kannst du mehr über die Berechnung des Oberflächeninhalts eines schrägen Kegels erfahren, indem du diese Diskussion (englisch) über das Problem liest.

So benutzt du den Rechner für den Oberflächeninhalt eines Kegels

Der Rechner ist ganz einfach zu bedienen. Gehen wir ihn Schritt für Schritt durch:

Gib einen Wert für den Radius der Kreisgrundfläche ein. Denke daran, dass der Radius die Hälfte des Durchmessers eines Kreises ist. Du kannst verschiedene Längeneinheiten wählen, je nachdem, was du benötigst. Alternativ kannst du stattdessen auch den Umfang der Kreisgrundfläche eingeben.
Gib die Höhe des Kegels oder die schräge Höhe des Kegels ein, je nachdem, was dir bekannt ist. Die Höhe ist die senkrechte Entfernung zwischen der Kegelspitze und dem Mittelpunkt der Kreisgrundfläche. Die schräge Höhe ist die Entfernung zwischen der Spitze und dem äußeren Rand (Umfang) der Grundfläche.

Denke daran, dass die Höhe des Kegels größer als Null sein muss und dass die schräge Höhe (wenn du sie eingibst) länger als der Radius der Grundfläche sein muss.

Der Flächeninhalt des senkrechten Kegels wird dann angezeigt. Du kannst die Einheiten des Flächeninhalts je nach deinen Bedürfnissen oder der Gesamtgröße des Kegels ändern.

Wie leite ich die Formel für den Oberflächeninhalt eines Kegels ab

Um besser zu verstehen, wie dieser Rechner funktioniert, schauen wir uns jetzt an, wie die Formel für den Oberflächeninhalt eines Kegels lautet und wie man sie ableitet.

Der erste Schritt zur Lösung des Problems besteht darin, den senkrechten Kegel in zwei Teile zu zerlegen: die kreisförmige Grundfläche und die Seitenfläche. Beginnen wir mit der Berechnung des Flächeninhalts der kreisförmigen Grundfläche.

Du kannst den Flächeninhalt eines Kreises mit der folgenden Formel berechnen:

A_{\text{Grundfläche}}=\pi\cdot r^2

wobei:

$A_{\text{Grundfläche}}$ — Flächeninhalt der Kegelgrundfläche;
$\pi$ — Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises; und
$r$ — Radius eines Kreises.

Später werden wir diese Grundfläche zu der Gleichung hinzufügen, die wir als Nächstes für den seitlichen Flächeninhalt eines senkrechten Kegels herleiten.

Kegel flach gefaltet — Ein flach gefalteter Kegel bildet einen Sektor eines größeren Kreises.

Stell dir einen Kegel ohne Boden vor, der aus Papier besteht. Dann rollst du ihn aus, sodass er flach auf einem Tisch liegt. Du erhältst eine Form wie in der Abbildung oben. Es ist ein Teil (oder ein Sektor) eines größeren Kreises, dessen Radius (l) gleich der schrägen Höhe des Kegels ist. Die Bogenlänge des Sektors (c) entspricht dem Umfang der Kegelgrundfläche.

Durch die Kombination der Gleichung zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreissektors in Bezug auf Radius und Winkel mit der Gleichung für die Bogenlänge eines Sektors können wir den Flächeninhalt des Sektors folgendermaßen beschreiben:

A_{\text{Seitenfläche}} = \frac{1}{2}\cdot c\cdot l

wobei:

$A_{\text{Seitenfläche}}$ — seitlicher Flächeninhalt des Kegels;
$c$ — Bogenlänge des Sektors und damit der Umfang des Kegels; und
$l$ — Radius des Sektors und die schräge Höhe des Kegels.

Mithilfe der Formel für den Kreisumfang $c = 2\cdot\pi\cdot r$ kann die obige Gleichung nun in Bezug auf den Radius der Kegelbasis umgeschrieben werden:

A_{\text{Seitenfläche}} = \pi\cdot r\cdot l

Addiert man den Flächeninhalt der Seitenfläche zum Ergebnis für die Grundfläche des Kegels, erhält man A, den gesamten Oberflächeninhalt eines senkrechten Kegels:

A = (\pi\cdot r^2) + (\pi\cdot r\cdot l)

Dies kann dann vereinfacht werden zu:

A = \pi\cdot r\cdot(r + l)

Wenn du nur die rechtwinklige Höhe des Kegels kennst, kannst du die Gleichung zur Berechnung der schrägen Höhe eines Kegels 🇺🇸 in Bezug auf den Radius verwenden, um folgendes zu erhalten:

A = \pi\cdot r \cdot \left(r + \sqrt{h^2 + r^2}\right)

wobei:

$h$ — die senkrechte Höhe des Kegels ist.

Beispiele, wie man den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnet

Wir haben jetzt zwei Gleichungen, um den Flächeninhalt eines senkrechten Kegels zu berechnen, je nachdem, welche Parameter bekannt sind. Schauen wir uns einige Beispiele an.

Für einen Kegel mit einem Radius der Grundfläche von 3 cm und einer Höhe von 4 cm können wir den Oberflächeninhalt wie folgt berechnen:

\begin{split} A &= \pi\cdot r \cdot\left(r + \sqrt{h^2 + r^2}\right)\\[1em] &= \pi\cdot 3\cdot \left(3+\sqrt{4^2+3^2}\right) \\[1em] &= 75,\!4\ \text{cm}^2 \end{split}

Nehmen wir einen anderen Kegel, bei dem der Durchmesser der Grundfläche $10$ cm und die Höhe der Schräge $15$ cm beträgt. Dividiere zunächst den Durchmesser durch zwei, um den Radius zu erhalten, $5$ cm. Wende dann die Formel für den Flächeninhalt eines Kegels mit schräger Höhe an:

\begin{split} A &= \pi\cdot r \cdot (r+l)\\ &= \pi\cdot 5\cdot (5+15) = 314,\!16\ \text{cm}^2 \end{split}

Jetzt weißt du, wie du den Oberflächeninhalt eines Kegels berechnen kannst und welche Gleichungen dafür notwendig sind.

Wenn du den Oberflächeninhalt anderer geometrischer dreidimensionaler Formen berechnen musst, kannst du das mit unserem Flächeninhalt Rechner tun.

FAQs

Wie berechne ich die Seitenfläche eines Kegels bei gegebener Höhe?

Um die Seitenfläche eines Kegels anhand seiner senkrechten Höhe und seines Radius zu bestimmen, musst du Folgendes tun:

Quadriere jeweils die Höhe und den Radius und addiere die Ergebnisse.
Ziehe die Quadratwurzel aus dem Ergebnis von Schritt 1.
Multipliziere mit dem Radius.
Multipliziere mit π ≈ 3,14.
Das war's! Das Ergebnis ist die Seitenfläche deines Kegels.

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Kegels mit der Höhe 4 und dem Radius 3?

Die Antwort lautet 75,4. Um dieses Ergebnis zu erhalten, musst du die Formel A = πr(r + √(h² + r²)) mit r = 3 und h = 4 anwenden. Denke daran, dass die Antwort in quadratischen Einheiten angegeben wird.