Punktsteigungsform Rechner

Der Punktsteigungsform-einer-Geradengleichung-Rechner zeigt dir, wie du die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt auf der Geraden und der Steigung der Geraden ermitteln kannst. Du erfährst, was die Punktsteigungsform ist und wie sie sich von der Hauptform einer Geradengleichung unterscheidet. Im Letzten Abschnitt schauen wir uns zwei Aufgaben und ihren Rechenweg an.
Beginnen wir mit den Grundlagen und besprechen, was die Steigung ist.

Die Steigung ist das Maß für die Steilheit einer Geraden. Wenn sie positiv ist, bedeutet das, dass die Gerade ansteigt. Wenn sie negativ ist, fällt die Gerade ab. Wenn sie gleich null ist, ist die Gerade waagerecht.

Du kannst die Steigung zwischen zwei Punkten ermitteln, indem du die Steigung über die Strecke bestimmt — den Höhenunterschied über die Entfernung zwischen zwei Punkten.

Die Formel für die Steigung lautet also:

m = Änderung von y / Änderung von x = (y - y₁) / (x - x₁).

Die Punktsteigungsform ist eine umgestellte Formel der Steigung.

Um die Steigung nicht-linearer Funktionen zu ermitteln, kannst du Omni's Rechner für die mittlere Änderungsrate verwenden.

Es gibt mehr als eine Möglichkeit, die Gleichung einer Geraden herzuleiten. Für die Herleitung mit der Punktsteigungsform benötigst du drei charakteristische Zahlen — zwei Koordinaten eines Punktes auf der Geraden und die Steigung der Geraden. Die Gleichung der Punktsteigungsform lautet:

wobei:

• $\small x_1, y_1$ die Koordinaten eines Punktes sind und
• $\small m$ die Steigung ist.

Siehst du die Ähnlichkeit zu der Steigungsformel? Was du vielleicht nicht weißt, ist, dass dies nicht die einzige Möglichkeit ist, eine Geradengleichung zu bilden. Meistens wird die Hauptform einer Geradengleichung angewendet:

wobei:

• $\small m$ die Steigung ist und
• $\small b$ der Schnittpunkt der y-Achse ist.

Eigentlich ist dies nichts anderes als eine präzisere Punktsteigungsform. Eine Gerade schneidet die y-Achse in einem Punkt (0, b). Wenn du diesen Punkt — (0, b) — als Punkt für die Punktsteigungsform einsetzt, erhältst du:

$\small y - b = m \cdot (x - 0)$, was dasselbe ist wie: $\small y = m \cdot x + b$.

In den beiden Diagrammen unten siehst du dieselbe Funktion, die jedoch mit zwei verschiedenen Formen einer linearen Gleichung beschrieben wird:

Um zu erfahren, wie du den x- und y-Achsenabschnitt einer Geraden findest, schaue dir unseren y-Achsenabschnitt Rechner 🇺🇸 an.

Schauen wir uns zwei Beispiele an, um das Thema besser zu verstehen.

Die Steigung einer Geraden beträgt 2. Sie geht durch den Punkt A(2, -3). Wie lautet die Hauptform der Geradengleichung?

1. Bestimme die Koordinaten des Punktes:
   • x₁ = 2,
   • y₁ = -3.
2. Bestimme die Steigung:
   • m = 2
3. Setze die Werte in die Formel für die Punktsteigungsform ein:
   • $\small y - y_1 = m (x - x_1)$
   • $\small y - (-3) = 2(x - 2)$
4. Vereinfache die Formel, um die allgemeine Gleichung zu erhalten:
   • $\small y = 2x - 4 -3$
   • $\small 0 = 2x - y - 7$
   Und schon hast du die Antwort. Jetzt kannst du dein Ergebnis mit unserem Rechner überprüfen.

Schauen wir uns ein reales Beispiel an:

Nehmen wir an, du hast dir einen Welpen geholt. Als du ihn bekamst, wog er 7 Kilogramm. Er nahm jeden Tag 200 Gramm (0,2 kg) an Gewicht zu und nach 30 Tagen wog er 9 Kilogramm. Mit der Hauptform der Geradengleichung können wir das Wachstum des Welpen über den Zeitraum darstellen:

1. Die Steigung ist die Veränderung des Gewichts pro Tag: m = 0,2.

2. Der charakteristische Punkt ist 9 Kilogramm am 30. Tag: (x₁, y₁) = (30, 9).

3. Setze nun die Werte in die Punktsteigungsform ein:

   $\small y - 9 = 0,2 \cdot (x - 30)$

4. Vereinfache die Gleichung, um die allgemeine Gleichung zu erhalten:

   $\small 0 = 0,2x - y + 15$

Und hier hast du dein Ergebnis! Wir hoffen, du hattest Spaß mit unserem Rechner für die Punktsteigungsform!

Wenn du die Form einer Geraden mit Punkt und Steigung erhältst, kannst du die Hauptform der Geradengleichung wie folgt ermitteln:

1. Schreibe deine Punktsteigungsform auf:

   y - b = m(x - a).

2. Löse die Klammer auf:

   y - b = mx - ma.

3. Addiere b auf beiden Seiten:

   y = mx - ma + b.

4. Das ist die Hauptform der Geradengleichung! Die Steigung ist m, und der Achsenabschnitt ist -ma + b.

Der y-Achsenabschnitt einer Geraden mit der Steigungsform y - b = m(x - a) wird durch die Formel Achsenabschnitt = b - ma bestimmt. Für die Gerade y - 1 = 2(x - 3) erhältst du zum Beispiel den Achsenabschnitt 1 - 6 = -5.

Wenn die Steigung gleich null ist, reduziert sich die Punkt-Steigung-Form auf y - b = 0. Diese Gleichung beschreibt eine horizontale Linie, die die vertikale Achse am Punkt y = b schneidet.

Ja! Nimm die Gerade der Hauptform der Geradengleichung y = mx + b. Schreiben wir ihre Punktsteigungsform für den Punkt (0, b) auf. Wir erhalten y - b = m(x - 0), was (bis auf das Verschieben von b auf die rechte Seite) dasselbe ist wie die Hauptform der Geradengleichung.