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Was ist eine Wurzel in Mathe? – Berechnung der Wurzel von ...Wurzeln ziehen – Berechne die 4. Wurzel aus 81 mit dem WurzelrechnerKubikwurzel, vierte Wurzel, n-te Wurzel – Wurzen berechnenBeispiel: Verwende den Wurzel RechnerFAQs

Willkommen beim Wurzelrechner. Hier schauen wir uns in Theorie und Praxis an, wie man aus einer Zahl die n-ten Wurzel berechnet, auch das n-te Radikal genannt, an. Lies den Text weiter um zu erfahren:

  • Einer kurzen Erklärung, was eine Wurzel in der Mathematik ist;
  • Einfache Beispiele um die Wurzel zu ziehen;
  • Anleitungen zur Berechnung der Wurzel aus 2, der Quadratwurzel aus 3 oder der Kubikwurzel aus 4.
  • Finde heraus, was die Wurzel aus 1 ist, was die Wurzel aus 2,5 ist oder die vierte Wurzel von 81!

Lehne dich zurück und genieße die Fahrt durch die Welt der Radikale!

Was ist eine Wurzel in Mathe? – Berechnung der Wurzel von ...

Wir alle kennen Multiplikationen wie 124=4812 \cdot 4 = 48. Wenn wir dieselbe Zahl mehrmals multiplizieren möchten, dann können wir diese Rechenoperation in einer vereinfachten Form darstellen:

1212121212=125\small12\cdot12\cdot12\cdot12\cdot12=12^5

Die kleine 55 wird Exponent genannt und bedeutet, wie oft wir die große Zahl (in diesem Fall 1212) mit sich selber multiplizieren. Wir nennen diese Operation Potenzieren (55-te Potenz von 1212).

Eine Wurzel zu ziehen die entgegengesetzte Operation. Um es zu veranschaulichen: Wenn wir einen ausgewachsenen Baum betrachten, sehen wir seine Blätter und seinen Stamm, aber alles beruht auf seinen Wurzeln. Ähnlich verhält es sich mit Zahlen: Wenn wir die Zahl 125125 sehen, zeigt uns ihre Wurzel den kleinen Samen, aus dem sie gewachsen ist. In diesem Beispiel können wir die Wurzel ziehen, um herauszufinden, dass das Samenkorn 55 ist, denn 53=1255^3 = 125.

Formal gesehen ist die nten^{\mathrm{te}} Wurzel aus einer Zahl aa die Zahl bb, sodass gilt:

bn=a\small b^n = a

Um genau zu verstehen, wie man die Wurzel berechnet, schauen wir uns zum Beispiel an, was die Quadratwurzel aus einer Zahl ist. Angenommen, du baust in deinem Garten einen Swimmingpool. Er soll so lang wie breit sein und insgesamt einen Flächeninhalt von 2424 Quadratmetern haben. Wie kannst du herausfinden, wie lang die Seiten sein sollen? Richtig – indem du die Wurzel ziehst! In diesem Fall ist es die Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt, also die Quadratwurzel aus 2424.

Und was ist die Quadratwurzel aus dieser Zahl? Nun, lass uns herausfinden, wie wir sie finden können und wie unser Wurzelrechner Quadratwurzeln berechnet.

Wurzeln ziehen – Berechne die 4. Wurzel aus 81 mit dem Wurzelrechner

Manchmal ähnelt das Berechnen der Wurzel in der Mathematik einem kalkulierten Ratespiel. Wenn wir wissen, dass 34=813^4 = 81 ist, können wir mit Sicherheit sagen, dass die 4.4. Wurzel aus 81 gleich 33 ist. Aber das müssen wir erst einmal herausfinden.

Was können wir also tun, wenn wir unsere praktische Tabelle mit den ersten hundert Zahlen und ihren ersten Potenzen zu Hause vergessen haben? Ist das ein hoffnungsloser Fall? Glücklicherweise nicht, aber darauf kommen wir gleich zurück.

Als Beispiel zeigen wir, wie man die Quadratwurzel aus 7272 berechnet. Unser wichtigstes Hilfsmittel ist dabei die Primfaktorzerlegung, d. h. die Zerlegung von 7272 in seine kleinstmöglichen Teile.

Bei der Primfaktorzerlegung nehmen wir eine Zahl (in unserem Fall 7272) und finden die kleinste Primzahl, durch die sie geteilt wird. Erinnere dich daran, dass eine Primzahl eine ganze Zahl ist, die nur zwei Teiler hat: 11 und sich selbst. Es ist ziemlich einfach zu erkennen, dass dies in unserem Fall 22 ist, denn:

722=36\small \frac{72}{2} = 36

Der nächste Schritt ist, die kleinste Primzahl des Ergebnisses der Division zu finden, d. h. von der Zahl 3636. Wenn wir so weitermachen, bis wir 11 erreichen, erhalten wir die folgenden Primzahlen: 22, 22, 22, 33, 33. Das ist die Primfaktorzerlegung von 7272 und bedeutet, dass:

72=22233\small72 = 2 \cdot 2 \cdot2 \cdot3 \cdot3

Ist dir etwas an der Primfaktorzerlegung unklar? Es ist ein ziemlich interessantes mathematisches Problem, das manchmal sogar für Computer schwer zu lösen ist! Du kannst mehr darüber in Omni's Primfaktorzerlegung Rechner 🇺🇸 erfahren.

Wenn wir nun Paare aus den gleichen Zahlen bilden, sehen wir, dass wir je ein Paar 22-en, ein Paar 33-en und eine einzelne 22 übrig haben. Damit können wir den quadratischen Rest von 7272 wie folgt schreiben:

72=22233=22322=232=62\small\begin{split} \sqrt{72}& = \sqrt{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3} \\[.3em] &= \sqrt{2^2\cdot3^2\cdot2} \\[.3em] &= 2\cdot3 \cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \end{split}

Ein scharfes Auge wird feststellen, dass die einzige Zahl, die unter der Wurzel bleibt, genau der Einzelgänger ist, welcher kein Paar gefunden hat.

Aber was ist mit der 22? Was ist die Quadratwurzel aus 22? Die Quadratwurzel aus 22, die Quadratwurzel aus 33 oder jede andere Primzahl bringt uns zurück zu einem Ratespiel. Zum Glück können wir unseren Wurzelrechner verwenden, um herauszufinden, dass 21, ⁣4142\sqrt{2} \approx 1,\!4142 ist, was ergibt:

72=6261, ⁣4142=8, ⁣4852\small\begin{split} \sqrt{72}&=6\sqrt{2}\approx6\cdot1,\!4142\\ &=8,\!4852 \end{split}

Wenn wir gefragt werden: „Was ist die Quadratwurzel aus ...?”, sollten wir zunächst die Primfaktorzerlegung durchführen, um das Problem zu lösen. Wenn (wie oben) am Ende eine kleine Zahl übrig bleibt, können wir sie mit einem Tool wie dem Wurzel Rechner ermitteln. Beachte, dass du mit dem Wurzelrechner auch Wurzeln aus jeder beliebigen positiven Dezimalzahlen ziehen kannst, beispielsweise die Wurzel aus 2,5.

Aber was ist mit höheren Radikalen? Was ist, wenn ich z. B. die vierte Wurzel aus einer Zahl ziehen möchte?” Wie praktisch, dass du fragst! Das ist genau das Problem, mit dem wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.

🙋 Eine noch ausführlichere Beschreibung dieser Operation findest du in Omni's Quadratwurzel Rechner!

Kubikwurzel, vierte Wurzel, n-te Wurzel – Wurzen berechnen

Erinnere dich daran, wie wir im ersten Abschnitt einen Swimmingpool bauen wollten. Nehmen wir jetzt an, du möchtest, dass der Pool ein riesiger Würfel ist, der 17281728 Kubikmeter Wasser fasst.

Wie findest du die Seitenlänge eines solchen Pools? Ja, indem du die Kubikwurzel aus der Zahl berechnest (daher kommt der Name Kubikwurzel). Sie sagt uns, dass die Länge dies betragen sollte:

17283=12 m\small \sqrt[3]{1728} = 12\ \mathrm{m}

Aber wie sind wir dahin gekommen? Glücklicherweise ist die wichtigste Methode hier dieselbe: die Primfaktorzerlegung. Wenn wir das Verfahren auf 17281728 anwenden, erhalten wir:

1728 ⁣= ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣3 ⁣ ⁣3 ⁣ ⁣3\small 1728\!=\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!3\!\cdot\!3\!\cdot\!3

Jetzt kommt der Unterschied – Anstatt Paare, bilden wir Dreiergruppen. Darauf deutet das kleine 33 im Wurzelsymbol hin – wir brauchen Dreierpotenzen. Beachte, dass die Quadratwurzeln eigentlich Radikale der Ordnung 22 sind, die 22 wird aus Konventionsgründen aber in der Regel nicht geschrieben.

Um auf unser Problem zurückzukommen: Die Gruppierung erlaubt es uns, zu schreiben:

17283= ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣2 ⁣ ⁣3 ⁣ ⁣3 ⁣ ⁣33=2323333=223=12\small\begin{split} &\sqrt[3]{1728} \\[.3em] &= \!\sqrt[3]{2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!2\!\cdot\!3\!\cdot\!3\!\cdot\!3} \\[.3em] &= \sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot3^3}\\[.3em] & = 2\cdot2\cdot3=12 \end{split}

Wenn wir mit der Ordnung des Radikals höher gehen, gilt die gleiche Regel. Wenn wir die vierte Wurzel berechnen, gruppieren wir die Primzahlen zu Vierergruppen. Wenn du z. B. die vierte Wurzel aus 8181 berechnest, stellst du zuerst fest, dass:

81=3333\small81=3\cdot3\cdot3\cdot3

Wir haben also vier 33en. Das bedeutet, dass die 4.4. Wurzel von 8181 gleich 33 ist. Und wenn wir die n-te Wurzel berechnen, nehmen wir Gruppen von nn Elementen. Wenn nach der Faktorisierung noch Zahlen übrig bleiben, berechnen wir sie einfach mit einem externen Tool wie unserem Wurzel Rechner.

Nach all der Zeit, in der wir uns mit der Theorie beschäftigt haben, ist es höchste Zeit, dass wir uns ein Praxisbeispiel ansehen!

🙋 Wie für die Berechnung der Quadratwurzel, haben wir auch für die Kubikwurzel ein eigenes Tool: den Kubikwurzel Rechner!

Beispiel: Verwende den Wurzel Rechner

Glückwunsch, es ist ein Junge! Jetzt, wo du ein Elternteil geworden bist, beschließt du, früh damit anzufangen, etwas Geld für sein College zu sparen. Du nimmst einen guten Teil deines Ersparten und legst ihn für die nächsten achtzehn Jahre auf ein Sparkonto, damit der Betrag zusammen mit deinem Kind wächst.

Angenommen, du hast es geschafft, 80008000€ (nenne diese Menge Anfangsbetrag\mathrm{Anfangsbetrag}) zurückzulegen. Leider hast du irgendwie den Zinssatz für die Investition vergessen, der Endbetrag wird für dich also genauso überraschend sein wie für deinen Sohn.

Die Jahre vergehen, und schließlich ist es an der Zeit, deinem Kind das gesparte Geld zu schenken. Du rufst bei der Bank an, und es stellt sich heraus, dass auf dem Konto 12477, ⁣2712\hspace{0.5mm}477,\!27€ liegen (wir nennen diesen BetragEndbetrag\mathrm{Endbetrag}). Nicht schlecht, oder? Es sieht so aus, als könntest du die Träume deines Sohnes wahr werden lassen.

Aber nur für dich, nur aus reiner Neugier: Können wir den Zinssatz anhand der Zahlen, die wir gegeben haben, berechnen?

Sicher können wir das, und der Wurzel Rechner wird uns dabei helfen!

Nehmen wir an, dass die Zinsen am Ende eines jeden Jahres dem Konto gutgeschrieben werden und dass das Geld nicht versteuert wird (ja, wir wissen, dass das ein bisschen weit hergeholt ist). Dann wird der Betrag, den wir am Ende erhalten, durch die Formel beschrieben:

Endbetrag=Anfangsbetrag(1+Zinssatz)18\scriptsize\mathrm{Endbetrag}\! =\! \mathrm{Anfangsbetrag}\cdot(1 + \mathrm{Zinssatz})^{18}

Wobei die 1818 gleich den achtzehn Jahre entspricht, die das Geld auf der Bank lag. Das ist auch die Formel, die du im Zinsrechner findest. In unserem Fall bedeutet das Folgendes:

12477, ⁣27=8000(1+Zinssatz)18\small \begin{split} &12\hspace{0.5mm}477,\!27€\\ &=8000€ \cdot (1 + \mathrm{Zinssatz})^{18} \end{split}

Wenn wir beide Seiten durch 80008000€ teilen, erhalten wir:

12477, ⁣278000=(1+Zinssatz)18\small\frac{12\hspace{0.5mm}477,\!27€}{8000€} = (1 + \mathrm{Zinssatz})^{18}

Oder gerundet:

1, ⁣5597=(1+Zinssatz)18\small1,\!5597=(1+\mathrm{Zinssatz})^{18}

Wenn wir also die 18te18\mathrm{te} Potenz auf der rechten Seite haben, müssen wir das 18te18\mathrm{te} Radikal der Zahl auf der linken Seite finden. Das ist etwas komplizierter als die Quadratwurzel von 33, oder?

Wir wenden uns an unseren Wurzelrechner. Dort haben wir zwei Zahlenfelder: aa und nn. Das symbolische Bild des Rechners zeigt, dass nn die Ordnung der Wurzel ist, also geben wir n=18n = 18 ein. Im Gegenzug ist aa die Zahl unter dem Radikal, also setzten wir a=1, ⁣5597a = 1,\!5597 ein. Dadurch erhalten wir die Antwort:

1+Zinssatz=1, ⁣025\small 1+\mathrm{Zinssatz} =1,\!025

Wenn wir das Ergebnis in Prozentwerte umrechnen, erhalten wir:

Zinssatz=0, ⁣025=2, ⁣5%\small\mathrm{Zinssatz} = 0,\!025=2,\!5\%

Das scheint ziemlich wenig zu sein, aber oh, wie das Geld in achtzehn Jahren gewachsen ist!

Na gut, Neugierde befriedigt, Zeit, zum Geburtstagskuchen zurückzukehren. Hoffen wir, dass dein Sohn das Geld gut verwendet und sich an sein Studium hält.

FAQs

Wie kann ich die Quadratwurzel ohne Rechner berechnen?

Eine Methode zum Schätzen von Quadratwurzeln ist die babylonische Methode. Beginne mit einer Schätzung der Quadratwurzel und teile die ursprüngliche Zahl durch deine Schätzung. Dann ermittelst du den Durchschnitt aus deiner Schätzung und dem Ergebnis der Division. Fahre fort, bis du die erforderliche Genauigkeit erreicht hast.

Um zum Beispiel die Wurzel aus 8 zu finden:

  1. Beginne mit einer Schätzung von 2.
  2. Dividiere 8 durch 2, was 4 ergibt.
  3. Finde den Durchschnitt von 2 und 4, der 3 beträgt.
  4. Wiederhole die Schritte 2 und 3, bis sich das Ergebnis für die Wurzel aus 8 auf die gewünschte Genauigkeit annähert.

Wie berechnet man die Wurzel?

Um die Wurzel einer Zahl zu berechnen, verwende Omni’s Wurzelrechner oder rechne selber: Die Quadratwurzel a einer positiven Zahl b ergibt mit sich selbst multipliziert b. Zum Beispiel ist 5 die Wurzel aus 25, da 5² = 25. Beachte, dass die Quadratwurzel aus 0 immer 0 ist und die Wurzel aus 1 immer 1 ist.

Wie berechne ich eine Quadratwurzel in Excel?

Um die Quadratwurzel einer Zahl in Excel oder Google Sheets zu berechnen, verwendest du die Funktion SQRT() oder WURZEL(), je nachdem, ob dein Excel auf Deutsch oder Englisch eingestellt ist. Um zum Beispiel die Quadratwurzel einer Zahl in Zelle A1 zu berechnen, gibst du die Formel =WURZEL(A1) ein.

Was ist die Quadratwurzel aus 64?

Acht. Wenn wir 8 mit sich selbst multiplizieren, erhalten wir 64. Die Quadratwurzel aus einer Zahl zu ziehen bedeutet, die Zahl zu finden, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, die ursprüngliche Zahl ergibt.

Da die Quadratwurzel der Zahl 64 eine ganze Zahl ist, nennt man 64 eine perfekte Quadratzahl. Dies resultiert daraus, dass sie durch die Anordnung von 64 Elementen in einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 8 Elementen dargestellt werden kann.

 

an\huge\sqrt[n]{a}

 

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