Calculadora de progresiones aritméticas

Esta calculadora de progresiones aritméticas (también llamada calculadora de sucesiones aritméticas, calculadora de series aritméticas) es una práctica herramienta para analizar una progresión de números que se crea añadiendo un valor constante cada vez. Puedes utilizarla para hallar cualquier propiedad de la progresión: el primer término, la diferencia, el término enésimo o la suma de los n primeros términos. Puedes utilizarlo directamente o seguir leyendo para descubrir cómo funciona.

En este artículo explicamos la definición de progresión aritmética, aclaramos la ecuación de la progresión que utiliza la calculadora y te damos la fórmula para hallar series aritméticas (suma de una progresión aritmética). También ofrecemos una visión general de las diferencias entre las sucesiones o progresiones aritméticas y geométricas y un ejemplo fácil de entender de la aplicación de nuestra herramienta.

Para responder a esta pregunta, primero tienes que saber qué significa el término secuencia. Por definición, una progresión en matemáticas es una colección de objetos, como números o letras, que siguen un orden determinado. Estos objetos se denominan elementos o términos de la progresión. Es bastante frecuente que un mismo objeto aparezca varias veces en una sucesión.

Una progresión aritmética (también llamada sucesión aritmética) también es un conjunto de objetos, más concretamente, de números. Cada número consecutivo se crea sumando un número constante (llamado diferencia, o distancia) al anterior. Una progresión de este tipo puede ser finita, si tiene un número determinado de términos (por ejemplo, 20), o infinita si no especificamos el número de términos.

Cada progresión aritmética está definida unívocamente por dos coeficientes: la diferencia y el primer término. Si conoces estos dos valores, puedes escribir toda la progresión.

Cuando empieces a sumergirte en el tema de qué es una progresión aritmética, es probable que te encuentres con alguna confusión. Esto ocurre debido a las distintas convenciones de nomenclatura que se utilizan.

Dos de los términos más comunes que puedes encontrar son progresión aritmética y serie. La primera puede denominarse también sucesión aritmética, mientras que la segunda también recibe el nombre de suma parcial.

La principal diferencia entre progresión y serie es que, por definición, una progresión aritmética es simplemente el conjunto de números creado sumando cada vez la diferencia común. La serie aritmética, en cambio, es la suma de n términos de una progresión. Por ejemplo, podrías denotar la suma de los 12 primeros términos con S₁₂ = a₁ + a₂ + ... + a₁₂.

Algunos ejemplos de progresión aritmética son:

• 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...
• 6, 3, 0, -3, -6, -9, -12, -15, ...
• 50, 50.1, 50.2, 50.3, 50.4, 50.5, ...

¿Puedes hallar la diferencia común de cada una de estas progresiones? Pista: prueba a restar un término del término siguiente.

A partir de estos ejemplos de progresiones aritméticas, puedes observar que la diferencia no tiene por qué ser un número natural, puede ser una fracción. De hecho, ¡ni siquiera tiene que ser positiva!

Si la diferencia común de una progresión aritmética es positiva, la llamamos progresión creciente. Naturalmente, si la diferencia es negativa, la progresión será decreciente. ¿Qué ocurre en el caso de diferencia cero? Pues que obtendrás una secuencia constante, en la que cada término es igual al anterior.

Veamos ahora con detalle esta sucesión:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

¿Puedes deducir cuál es la diferencia común en este caso?

De hecho, no deberías poder. No se trata de un ejemplo de sucesión aritmética, sino de un caso especial llamado sucesión de Fibonacci. Cada término se encuentra sumando los dos términos que le preceden. Interesante, ¿verdad? Si quieres saber más, consulta la calculadora de Fibonacci 🇺🇸. Merece la pena que le dediques tiempo.

Una gran aplicación de la sucesión de Fibonacci es construir una espiral. Si dibujaras cuadrados con lados de longitud igual a los términos consecutivos de esta progresión, obtendrías una espiral perfecta.

¡A los matemáticos siempre les ha gustado la sucesión de Fibonacci! Si quieres descubrir una sucesión que lleva atemorizándoles casi un siglo, echa un vistazo a nuestra Calculadora de la Conjetura de Collatz 🇺🇸.

Supongamos que quieres encontrar el término n=30 de cualquiera de las sucesiones mencionadas anteriormente (excepto la sucesión de Fibonacci, por supuesto). Escribir los 30 primeros términos sería tedioso y llevaría mucho tiempo. Sin embargo, ¡seguro que te has dado cuenta de que no tienes que escribirlos todos! Basta con añadir 29 veces la diferencia al primer término.

Generalicemos esta afirmación para formular la ecuación de la progresión aritmética. Es la fórmula para cualquier término n-ésimo de la progresión.

a _n = a₁ + (n-1)d

donde:

• a_n - El enésimo término de la progresión;
• d - Diferencia o distancia;
• a₁ - Primer término de la progresión.

Esta fórmula de progresión o sucesión aritmética se aplica en el caso de todas las diferencias, ya sean positivas, negativas o iguales a cero. Naturalmente, en el caso de una diferencia cero, todos los términos son iguales entre sí, lo que hace innecesario cualquier cálculo.

Nuestra calculadora de progresiones o sucesiones aritméticas también puede encontrar la suma de la progresión (llamada serie aritmética) por ti. Pero, confía en nosotros, puedes hacerlo tú también, ¡no es tan difícil!

Mira el primer ejemplo de progresión aritmética: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. Podríamos sumar todos los términos a mano, pero no es necesario. Intentemos sumar los términos de forma más organizada. Sumaremos el primer y el último término, luego el segundo y el penúltimo, el tercero y el penúltimo, etc. Te darás cuenta rápidamente de que

• 3 + 21 = 24
• 5 + 19 = 24
• 7 + 17 = 24

La suma de cada par es constante e igual a 24. Eso significa que no tenemos que sumar todos los números. Basta con sumar el primer y el último término de la progresión y multiplicar esa suma por el número de pares (es decir, por n/2).

Matemáticamente, esto se escribe como

S = n/2 × (a₁ + a)

Sustituyendo la ecuación de la progresión aritmética por el término enésimo:

S = n/2 × [a₁ + a₁ + (n-1)d]

Tras la simplificación:

S = n/2 × [2a₁ + (n-1)d]

Esta fórmula te permitirá hallar la suma de una progresión aritmética.

Cuando buscas la suma de una progresión o sucesión aritmética, probablemente te habrás dado cuenta de que necesitas elegir el valor de n para calcular la suma parcial. ¿Y si quisieras sumar todos los términos de la progresión?

Intuitivamente, la suma de un número infinito de términos será igual a infinito, tanto si la diferencia común es positiva, negativa o incluso igual a cero. Sin embargo, no ocurre así con todos los tipos de progresiones. Si eliges otra, por ejemplo una progresión geométrica, la suma a infinito puede resultar ser un término infinito.

Evidentemente, nuestra calculadora de sucesiones aritméticas no es capaz de analizar ningún otro tipo de progresión. Por ejemplo, la progresión 2, 4, 8, 16, 32, ..., no tiene una diferencia constante. Se debe a que es un tipo diferente de progresión: una progresión geométrica.

¿Cuál es la principal diferencia entre una progresión aritmética y una geométrica? Mientras que una aritmética utiliza una diferencia constante para construir cada término consecutivo, una progresión geométrica utiliza una razón constante. Esto significa que multiplicamos cada término por un número determinado cada vez que queremos crear un nuevo término.

Un ejemplo interesante de progresión geométrica es el llamado universo digital. Probablemente hayas oído que la cantidad de información digital se duplica cada dos años. Esto significa que puedes escribir los números que representan la cantidad de datos en una progresión geométrica, con una razón común igual a dos.

También puedes analizar un tipo especial de progresión, llamada secuencia aritmético-geométrica. Se crea multiplicando los términos de dos progresiones: una aritmética y otra geométrica.

Por ejemplo, considera las dos progresiones siguientes:

• Progresión aritmética: 1, 2, 3, 4, 5, ..
• Progresión geométrica: 1, 2, 4, 8, 16, ..

Para obtener el término n-ésimo de la serie aritmético-geométrica, tienes que multiplicar el n-ésimo término de la progresión aritmética por el n-ésimo término de la progresión geométrica. En este caso, el resultado será así:

• Primer término: 1 × 1 = 1
• Segundo término: 2 × 2 = 4
• Tercer término: 3 × 4 = 12
• Cuarto término: 4 × 8 = 32
• Quinto término: 5 × 16 = 80

Una progresión de este tipo está definida por cuatro parámetros: el valor inicial de la progresión aritmética a, la diferencia d, el valor inicial de la progresión geométrica b y la razón r.

Analicemos un ejemplo sencillo que puede resolverse utilizando la fórmula de la progresión aritmética. Analizaremos detenidamente el ejemplo de la caída libre.

Una piedra cae libremente por un pozo profundo. Durante el primer segundo, recorre cuatro metros hacia abajo. Cada segundo siguiente, la distancia que recorre es 9.8 metros mayor. ¿Cuál es la distancia recorrida por la piedra entre el quinto y el noveno segundo?

La distancia recorrida sigue una progresión aritmética con un valor inicial a = 4 m y una diferencia común, d = 9.8 m.

En primer lugar, vamos a hallar la distancia total recorrida en los nueve primeros segundos de la caída libre calculando la suma parcial S₉ (n = 9):

S₉ = n/2 × [2a₁ + (n-1)d] = 9/2 × [2 × 4 + (9-1) × 9.8] = 388.8 m

Durante los nueve primeros segundos, la piedra recorre un total de 388.8 m. Sin embargo, sólo nos interesa la distancia recorrida desde el quinto hasta el noveno segundo. ¿Cómo calcular este valor? Es fácil: sólo tenemos que restar la distancia recorrida en los cuatro primeros segundos, S₄, de la suma parcial S₉.

S₄ = n/2 × [2a₁ + (n-1)d] = 4/2 × [2 × 4 + (4-1) × 9.8] = 74.8 m

S₄ es igual a 74.8 m. Ahora, podemos hallar el resultado por simple resta:

distancia = S₉ - S₄ = 388.8 - 74.8 = 314 m

Existe un método alternativo para resolver este ejemplo. Puedes utilizar la fórmula de la progresión aritmética para calcular la distancia recorrida en el quinto, sexto, séptimo, octavo y noveno segundo y sumar estos valores. Intenta hacerlo tú mismo: ¡pronto te darás cuenta de que el resultado es exactamente el mismo!

Para hallar el término n-ésimo de una progresión aritmética, a_n:

1. Multiplica la diferencia común d por (n-1).
2. Añade este producto al primer término a₁.
3. El resultado es el término enésimo. ¡Buen trabajo!
4. Como alternativa, puedes utilizar la fórmula a_n = a₁ + (n-1) × d.

Resta dos términos adyacentes cualesquiera para obtener la diferencia de la progresión. Puedes tomar cualquiera de las siguientes, por ejemplo, a₂-a₁, a₇-a₆, o a₁₀₀-a₉₉. Si no has obtenido el mismo resultado para todas las diferencias, tu progresión no es aritmética.

La diferencia o distancia es 11. Puedes evaluarla restando cualquier par de términos consecutivos, por ejemplo, a₂ - a₁ = -1 - (-12) = 11 o a₄ - a₃ = 21 - 10 = 11

La diferencia entre cualquier término adyacente es constante para cualquier secuencia aritmética, mientras que el cociente de cualquier par consecutivo de términos es el mismo para cualquier secuencia geométrica.

Para obtener el siguiente término de la progresión aritmética, tienes que añadir una diferencia al anterior.

Para obtener el siguiente término de la progresión geométrica, tienes que multiplicar el término anterior por una razón de la progresión.

La diferencia entre cualquier par de números consecutivos debe ser idéntica. Para comprobar si una progresión es aritmética, halla las diferencias entre cada par de términos adyacentes. Si alguno de los valores es diferente, tu progresión no es aritmética.