Dernière mise à jour le: 10 Nov 2024

Calculateur de discriminant

Créé par Anna Szczepanek, Docteur·e

Anna Szczepanek

PhD, Jagiellonian University in Kraków, Poland

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Holds a Ph.D. degree in mathematics obtained at Jagiellonian University. An active researcher in the field of quantum information and a lecturer with 8+ years of teaching experience. Passionate about everything connected with maths in particular and science in general. Fond of coding, she has a keen eye for detail and perfectionistic leanings. A bookworm, an avid language learner, and a sluggish hiker. She is hopelessly addicted to coffee & chocolate – the darker and bitterer, the better. See full profile

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Revu par Dominik Czernia, Docteur·e

Dominik Czernia

PhD, Institute of Nuclear Physics PAN

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Physicist at the Institute of Nuclear Physics in Kraków interested in magnetism and always ready to explain everything to everyone in simple terms. He is currently working on adding more scientific papers to his collection, accompanied by his son and another baby on its way. A perfectionist with an acute eye for detail, he has a unit converter in his brain and uses it to compare prices at the supermarket. Loves peace and quiet, especially during hiking. See full profile

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et Jack Bowater

Traduit par Claudia Herambourg

Claudia Herambourg

Claudia holds a bachelor’s degree in Literature and Mathematics from University College Cork, Ireland. Passionate by both words and numbers, she has never been able to pick a side. To nurture this quest to break the traditional disciplinary boundaries, Claudia obtained a certificate in data science. She believes in combining creative practice and data skills to comprehend and analyze existing stories and develop new narratives. After a long day, she either goes for a run or picks up her paintbrushes and canvas. See full profile

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et Agata Flak

Agata Flak

Linguistic freak at first sight, but VERY curious about numbers. Back in high school, she most enjoyed the satisfaction of getting the perfect result in a maths exercise or discovering something (not necessarily revolutionary) during a year-long project about cucumber hydrolysis. She can stay up far into the night, googling how much water there is in 400 ml of soup or how many ants it would take to make a car collapse under their weight. Weird, but oddly specific, and always highly meticulous. See full profile

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Sommaire

Calculer delta : qu'est-ce que le discriminant ?Discriminant : comment calculer delta ?Propriétés du discriminant Discriminant d'une équation du second degré Discriminants des polynômes de degré supérieur Comment calculer delta en utilisant ce calculateur de discriminant ?

Bienvenue sur notre calculateur de discriminant ! Utilisez-le sans vergogne chaque fois que vous avez besoin de rapidement calculer le delta de polynômes ayant entre deux et cinq degrés, c'est-à-dire des polynômes quadratiques, cubiques, quartiques ou quintiques. Avez-vous besoin d'apprendre ce qu'est le discriminant en mathématiques ? Ou à quoi ressemble la formule mathématique du discriminant ? Faites défiler vers le bas !

Dans les sections suivantes, nous donnons la définition mathématique du discriminant et expliquons comment calculer le delta d'un polynôme donné. Nous consacrons même une section entière au discriminant d'une équation-quadratique, car nous savons qu'ils sont beaucoup utilisés ! 😉 De plus, nous ne nous arrêtons pas seulement au second degré, mais nous abordons tous les degrés jusqu'à cinq.

💡 Si vous souhaitez simplement résoudre une équation du second degré, notre calculateur de complétion du carré 🇺🇸 ou notre calculateur de formule quadratique conviendront peut-être mieux à vos besoins.

Calculer delta : qu'est-ce que le discriminant ?

Avant d'aborder une définition mathématique formelle du discriminant, discutons brièvement de l'idée générale.

Supposons que nous ayons un polynôme réel $p$ de degré $n$ , où $n \geq 2$ :

p(x) = a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0

Le discriminant de $p$ est un nombre réel qui décrit diverses propriétés des racines de $p$ . Couramment, on l'appelle également delta. Vous pouvez le calculer à partir des coefficients de $p$ (en fait, c'est une fonction polynomiale de ces coefficients).

Plus important encore, le discriminant nous permet de vérifier rapidement si $p$ a des racines multiples sans avoir à calculer ces racines : $p$ a au moins une racine multiple si, et seulement si, le discriminant est égal à zéro.

💡 Nous devons le terme discriminant au mathématicien anglais James Joseph Sylvester, qui l'a introduit en 1851.

Qu'est-ce qu'une racine multiple ?

On dit qu'un nombre complexe $x_0$ est une racine de multiplicité $k$ de $p$ si l'on peut diviser $p$ sans reste par :

(x - x_0)^k

Mais pas par :

(x - x_0)^{k+1}

En d'autres termes, c'est une racine s'il existe un polynôme $q$ tel que :

p(x) = (x - x_0)^k \, q(x)

avec $q(x_0) ≠ 0$ .

Si $k = 1$ , on dit que $x_0$ est une racine simple.
Si $k ≥ 2$ , on dit que $x_0$ est une racine multiple.
En particulier, si $k = 2$ , on dit que $x_0$ est une racine double.

💡 La multiplicité d'une racine est le nombre de fois où cette racine apparaît dans la factorisation de $p$ en termes linéaires (ce qui est possible grâce au théorème fondamental de l'algèbre).
En d'autres termes, la multiplicité de $x_0$ est la puissance à laquelle $(x - x_0)$ est élevé lorsque l'on factorise le polynôme par des nombres complexes.

Exemple

Les racines de :

x^3 - 8x^2 + 21x - 18

sont $2$ et $3$ . Vous pouvez factoriser ce polynôme comme suit :

(x - 2)(x - 3)^2

ainsi, $2$ est la racine simple et $3$ est la racine double.

Discriminant : comment calculer delta ?

Une fois que vous avez une idée générale de ce qu'est un discriminant en mathématiques, tournons-nous vers une définition mathématique plus formelle des discriminants. Nous allons définir le discriminant en termes de racines d'un polynôme 🇺🇸.

Le théorème fondamental de l'algèbre implique que, dans le domaine des nombres complexes, un polynôme à coefficients réels :

p(x) = a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0

a exactement $n$ racines $x_1, \ldots, x_n$ . (Ces racines ne sont pas forcément toutes uniques !) Nous définissons le discriminant de $p$ comme suit :

\Delta(p) = a_n^{2n-2} \prod_{i<j} (x_i - x_j)^2

où :

$\Delta(p)$ – un polynôme homogène de degré $2(n - 1)$ dans les coefficients de $p$
$\Delta(p)$ – une fonction symétrique des racines de $p$ , qui garantit que la valeur de $\Delta(p)$ est indépendante de l'ordre dans lequel nous avons étiqueté les racines de $p$ .

De manière équivalente, nous pouvons définir le discriminant d'un polynôme comme le déterminant de ce que l'on appelle la matrice de Sylvester de ce polynôme et de sa dérivée. Nous pouvons également exprimer le discriminant comme le déterminant d'une certaine matrice symétrique, qui est définie de manière récursive. Nous utilisons ces approches lorsque nous voulons calculer le discriminant et que nous ne connaissons pas les racines du polynôme que nous considérons.

🔎 Consultez notre calculateur de déterminant 🇺🇸 si vous n'êtes pas encore familiarisé·e avec ce concept.

Propriétés du discriminant

À partir de la formule mathématique des discriminants donnée dans les sections précédentes, nous pouvons déduire plusieurs propriétés essentielles des discriminants.

Soit $\Delta(p)$ le discriminant de $p$ , tel que nous l'avons défini ci-dessus. Voici quelques-unes des propriétés de $\Delta(p)$ .

Puisque $p$ est un polynôme réel, $\Delta(p)$ est toujours un nombre réel.
$\Delta(p) = 0$ si et seulement si $p$ a une racine multiple.
$\Delta(p) > 0$ si, et seulement si, le nombre de racines non réelles de $p$ est un multiple de quatre (zéro inclus).

En particulier :
si toutes les racines sont réelles et simples, alors $\Delta(p) > 0$ .

Quant à l'invariance du discriminant, on a :

$\Delta(p)$ est invariant par translation :

si $q(x) = p(x + a)$ , alors $\Delta(q) = \Delta(p)$ .
$\Delta(p)$ est invariant (jusqu'à la mise à l'échelle) sous homothétie :

si $q(x) = p(a × x)$ , alors $\Delta(q) = a^{n(n-1)}\Delta(p)$ .

Discriminant d'une équation du second degré

Considérons le polynôme quadratique $ax^2 + bx + c$ . La formule de son discriminant est la suivante :

b^2 - 4ac

Comme nous nous en souvenons tous, la racine carrée de ce discriminant apparaît dans la formule des racines du polynôme quadratique :

\frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Sans calculer les racines, on peut déduire ce qui suit du signe du discriminant.

$\Delta > 0$ si, et seulement si, le polynôme a deux racines réelles distinctes.
$\Delta < 0$ si, et seulement si, le polynôme a une paire de racines complexes conjuguées.
$\Delta = 0$ si et seulement si le polynôme a une racine double.

De plus, si les coefficients $a$ , $b$ , et $c$ sont rationnels, alors les deux racines du polynôme sont rationnelles si, et seulement si, $\Delta$ est le carré d'un nombre rationnel.

Géométriquement, en termes de parabole dans le plan réel, nous avons :

$\Delta > 0$ si, et seulement si, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses ;
$\Delta < 0$ si, et seulement si, la parabole intersecte l'axe des abscisses en deux points ; et
$\Delta = 0$ si et seulement si la parabole touche (est tangente à) l'axe des abscisses.

Discriminants des polynômes de degré supérieur

Comme nous l'avons vu, le discriminant d'une équation du second degré ne comporte que deux termes. Cependant, à mesure que le degré du polynôme augmente, le discriminant devient de plus en plus compliqué.

Le discriminant d'une équation du troisième degré comporte $5$ termes ;
Le discriminant d'une équation du troisième degré a $16$ termes ;
Le discriminant d'une équation du quatrième degré a $59$ termes ;
Le discriminant d'une équation du cinquième degré a $246$ termes ; et
Le discriminant d'une équation du sixième degré a $1\,103$ termes.

Ces nombres forment la séquence OEIS A007878. Jetez-y un coup d'œil pour voir quelques termes suivants.

Discriminant d'un polynôme du troisième degré

Considérons le polynôme cubique $ax^3 + bx^2 + cx + d$ . La formule de son discriminant se lit comme suit :

\small\quad \begin{split} b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2\\ +\ 18abcd \end{split}

Nous avons :

$\Delta > 0$ si et seulement si les racines sont trois nombres réels distincts ;
$\Delta < 0$ si, et seulement si, il y a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées ; et
$\Delta = 0$ si et seulement si au moins deux racines sont égales (une racine de multiplicité $3$ ou deux racines réelles distinctes, dont l'une est une racine double).

Discriminant d'un polynôme du quatrième degré

Considérons le polynôme suivant $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ . La formule de son discriminant est la suivante :

\small\begin{split} 256a^3e^3 - 192a^2bde^2 - 128a^2c^2e^2\\ + 144a^2cd^2e - 27a^2d^4 + 144ab^2ce^2\\ - 6ab^2d^2e - 80abc^2de + 18abcd^3\\ + 16ac^4e - 4ac^3d^2 - 27b^2e^2\\ + 18b^3cde - 4b^3d^3 - 4b^2c^3e\\ + b^2c^2d^2 \end{split}

$\Delta > 0$ si et seulement s'il existe quatre racines réelles distinctes ou quatre racines non réelles distinctes (deux paires de racines complexes conjuguées) ;
$\Delta < 0$ si, et seulement si, il y a deux racines réelles distinctes et deux racines non réelles distinctes (une paire de racines complexes conjuguées) ; et
$\Delta = 0$ si, et seulement si, il y a deux racines égales ou plus. Il y a 6 possibilités :

Trois racines réelles distinctes, dont une double.
Deux racines réelles distinctes, toutes deux doubles.
Deux racines réelles distinctes, dont l'une a une multiplicité de trois.
Une racine réelle avec une multiplicité de quatre.
Une racine double réelle et une paire de racines complexes conjuguées non réelles.
Une paire de racines doubles non réelles complexes conjuguées.

Discriminants d'un polynôme du cinquième degré

Nous ne donnons pas la formule, car il a… 59 termes, et chaque terme est un monôme de degré huit en six variables. 🤯

Vous vous demandez peut-être comment trouver le discriminant d'un polynôme du cinquième degré…

Heureusement, il y a notre calculateur de discriminant, qui a cette formule implémentée 😊 Utilisez-le chaque fois que vous avez besoin de considérer un polynôme quintique !
Ceci fait, appliquez l'ensemble des règles suivantes pour déduire les propriétés de votre polynôme :

$\Delta > 0$ si, et seulement si, il y a cinq racines réelles distinctes ou une racine réelle et deux paires de racines complexes conjuguées non réelles ;
$\Delta < 0$ si, et seulement si, il y a trois racines réelles distinctes et une paire de racines complexes conjuguées non réelles ; et
$\Delta = 0$ si, et seulement si, il y a deux racines égales ou plus. Il y a 4 possibilités :

Six cas différents avec des racines réelles uniquement.
Deux racines réelles distinctes, dont l'une est double, et une paire de racines complexes conjuguées non réelles.
Une racine réelle de multiplicité trois et une paire de racines complexes conjuguées non réelles ; et
Une racine réelle simple et une paire de racines doubles conjuguées complexes non réelles.

Comment calculer delta en utilisant ce calculateur de discriminant ?

Pour utiliser le calculateur de discriminant, suivez les étapes ci-dessous :

Commencez par choisir le degré du polynôme que vous voulez considérer. Vous pouvez choisir des polynômes dont les degrés sont compris entre $2$ et $5$ , c'est-à-dire des polynômes quadratiques (second degré), cubiques (troisième degré), quartiques (quatrième degré) ou quintiques (cinquième degré).

Par exemple, si votre tâche consiste à déterminer le discriminant d'une équation quadratique, choisissez second comme degré.
Saisissez tous les coefficients de votre polynôme, y compris ceux qui sont égaux à zéro.
Notre calculateur de discriminant affiche le résultat immédiatement ! 😁