Calcolatore per la Media delle Percentuali

Eccoti nel calcolatore per la media delle percentuali di Omni, dove impareremo come fare la media delle percentuali e cosa significa in realtà. A dire il vero, per la metà delle volte il concetto si riduce alla nota formula per la media di un insieme di dati. Tuttavia, l'altra metà riguarda i problemi che si presentano quando le percentuali corrispondono a campioni di dimensioni diverse e non possiamo applicare lo stesso ragionamento. Tuttavia, si tratta sempre di una formula familiare, ovvero la media ponderata delle percentuali.

Non preoccuparti — ti insegneremo come distinguere i due scenari e come trovare la media delle percentuali in ognuno di essi!

Con il nostro calcolatore per le medie 🇺🇸, puoi saperne di più su come trovare la media di un insieme di numeri

Ricordiamo la definizione formale di percentuale:

Per informazioni più dettagliate, consulta il calcolatore per la percentuale.

Siamo abituati a pensare che le percentuali vengano assegnate ad altri numeri come gli sconti ai prezzi. Tuttavia, dal punto di vista matematico, le percentuali possono comparire da sole.

Inoltre, la definizione precedente dice che $a$ può essere un qualsiasi numero reale. In altre parole, può essere un numero intero, un numero negativo, un decimale o persino una radice cubica. In termini matematici, ovviamente. Nella vita reale, se un negozio offrisse uno sconto di $\sqrt[3]{75}$ per il Black Friday, lo chiameremmo pazzo. Allo stesso modo, se riporti un errore di $\sqrt[3]{5}$ nelle tue misurazioni, il tuo insegnante ti consiglierà di imparare a calcolare l'errore percentuale.

Ha senso considerare le percentuali come numeri normali. In fin dei conti, quando ci chiediamo come calcolare la percentuale media, ci chiediamo se possiamo fare una media delle percentuali. Dopotutto, sono qualcosa di diverso, quindi può sembrare strano. D'altra parte, sappiamo bene come fare la media dei numeri, no? Per sicurezza, ricordiamo la formula della media aritmetica:

Puoi sempre dare un'occhiata al calcolatore per la media se hai bisogno di maggiori dettagli su questo argomento 😉

Detto questo, dobbiamo fare attenzione a questo punto. Chiedersi come trovare la media di una percentuale è spesso collegato ai campioni che le percentuali rappresentano. Per capire la differenza, vediamo un esempio.

Supponiamo che Anna, Beatrice, Carolina, Davide ed Enrico abbiano tutti sostenuto un esame di letteratura italiana. Alcuni di loro hanno ottenuto $80\%$, altri $40\%$. Se applichiamo ciecamente il ragionamento precedente, diremo che il risultato medio in percentuale è stato:

Dopo tutto, ci sono solo due risultati, quindi cerchiamo la media di due valori. Con il nostro calcolatore per la media, la mediana e la moda 🇺🇸 puoi imparare a trovare la media di un insieme di valori.

Tuttavia, non può essere così. Infatti, cinque persone hanno partecipato al esame, quindi dovremmo sommare cinque numeri invece di due. Se, ad esempio, Anna, Beatrice, Carolina e Davide hanno ottenuto $80\%$, ed Enrico ha ottenuto $40\%$, allora la media effettiva è:

Un risultato piuttosto diverso, vero?

La lezione che abbiamo imparato è che dobbiamo sempre tenere traccia delle differenze tra le dimensioni dei gruppi e le percentuali a cui corrispondono. Infatti, possiamo considerare queste dimensioni come pesi quando cerchiamo la media ponderata di un insieme di dati. Cioè, ad esempio, di una sequenza di percentuali.

Ricorda l'esempio alla fine della sezione precedente, in cui abbiamo parlato dei risultati di cinque persone in un esame. Dopo aver imparato a trovare la percentuale media, abbiamo ottenuto:

In modo equivalente, avremmo potuto scrivere:

Chiaramente, la nuova notazione è più breve. Inoltre, vediamo immediatamente quante persone hanno ottenuto lo stesso risultato; $4$ hanno ottenuto $80\%$, e $1$ ha ottenuto $40\%$. In altre parole, invece di trattare le voci singolarmente, le raggruppiamo in base al loro punteggio.

Quello che otteniamo è la media ponderata 🇺🇸 delle percentuali con pesi corrispondenti al numero di persone che hanno ottenuto il punteggio. Fortunatamente, i calcoli sono gli stessi della media ponderata normale: se abbiamo le voci $a_1$, $a_2$, $a_3$, $...$, $a_n$ con i rispettivi pesi $w_1$, $w_2$, $w_3$, $...$, $w_n$, allora:

Se traduciamo la notazione per le nostre esigenze (cioè per spiegare come trovare la media delle percentuali), $a_1$, $a_2$, $a_3$, $...$, $a_n$ corrisponderanno alle percentuali successive, mentre $w_1$, $w_2$, $w_3$, $...$, $w_n$ saranno le rispettive dimensioni del campione di tali percentuali.

Cosa succede se tutti i pesi sono uguali (cioè se tutti i campioni hanno la stessa dimensione)? Se indichiamo il peso reciproco con $w$, allora:

secondo le regole della semplificazione delle frazioni. In altre parole, il peso non ha importanza e la media ponderata delle percentuali risulta essere la media regolare (non ponderata).

In definitiva, vediamo che imparare a calcolare la media delle percentuali si riduce ad imparare la solita media ponderata. Tuttavia, facciamo un altro esempio per mostrare come si applica alle statistiche della vita reale. E cogliamo l'occasione per farlo utilizzando il calcolatore per la media delle percentuali di Omni.

Supponiamo di aver chiesto a mille persone se mangiano i brioche almeno una volta alla settimana. C'erano $300$ adolescenti, $450$ persone di età compresa tra i 20 e i 49 anni e $250$ persone di età superiore ai 50 anni. Nel primo gruppo, $64\%$ ha dichiarato di mangiare i brioche ogni settimana. Nel secondo, $42\%$, e nel terzo, $36\%$. Vediamo come calcolare la percentuale media di mangiatori di brioche nel nostro campione di mille persone.

Tuttavia, prima di fare i calcoli da soli, vediamo quanto è facile il compito con il calcolatore per la media delle percentuali a portata di mano. Nello strumento, in alto, puoi spuntare una casella che ti permetterà di inserire le dimensioni dei campioni per le tue percentuali. Nel nostro caso, i campioni sono di dimensioni diverse, quindi spunteremo la casella.

In questo modo si attivano altri campi variabili sotto corrispondenti alle percentuali e alle dimensioni del campione del set di dati. Questi campi appaiono a coppie, ognuno dedicato a un gruppo. Seleziona Tre nell'elenco a tendina. (Questo strumento ti permette di inserire fino a dieci valori.) Riprendendo il nostro esempio, inseriremo:

• Casella #1: $64\%$, $300$;

• Casella #2: $42\%$, $450$; e

• Casella #3: $36\%$, $250$.

Una volta indicato l'ultimo valore, il calcolatore per la media delle percentuali ti fornirà la risposta sottostante insieme ai passaggi intermedi.

Ora vediamo come trovare la percentuale media da soli. Prima di tutto, identifichiamo il nostro set di dati in base a quanto appreso nella sezione precedente — le nostre percentuali successive sono $64\%$, $42\%$ e $36\%$, mentre le rispettive dimensioni del campione sono $300$, $450$ e $250$. Quindi, utilizziamo la formula della media ponderata delle percentuali:

È emerso che, il $47,1\%$ delle persone mangia i brioche ogni settimana. Ma li mangiano una volta a settimana o tutti i giorni? Forse potremmo introdurre nuove domande nel sondaggio e fare uno studio più dettagliato?