Ostatnia aktualizacja: 30 October 2024

Kalkulator twierdzenia sinusów

Q: Czy mogę stosować twierdzenie sinusów na trójkątach prostokątnych?

Tak , twierdzenie sinusów działa dla wszystkich trójkątów . Aby z niego skorzystać, musisz znać dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z tych boków lub dwa kąty i jeden bok trójkąta.

Q: Kiedy należy stosować twierdzenie sinusów, a kiedy twierdzenie cosinusów?

Użyj twierdzenia sinusów , gdy znasz: Dwa kąty i jeden bok; lub Dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z tych boków. Użyj twierdzenia cosinusów , gdy znasz: Trzy boki; lub Dwa boki i kąt między nimi.

Q: Jak znaleźć nieznany bok za pomocą twierdzenia sinusów?

Aby znaleźć bok a dla boku b i kątów α i β , które są przeciwne odpowiednio do a i b , stosujemy twierdzenie sinusów a / sin(α) = b / sin(β) . Rozwiązując a otrzymujemy a = b ⋅ sin(α) / sin(β) .

Q: Jak znaleźć nieznany kąt za pomocą twierdzenia sinusów?

Aby znaleźć kąt α , biorąc pod uwagę bok a przeciwległy do α , a także bok b i jego przeciwległy kąt β , stosujemy wzór pochodny od twierdzenia sinusów: sin(α) = a ⋅ sin(β) / b , który możemy dalej przekształcić do α = arcsin(a ⋅ sin(β) / b) , gdzie arcsin jest funkcją arcsin.

Q: Jak zastosować twierdzenie sinusów dla trójkąta 30 60 90?

Załóżmy, że a jest stroną przeciwną do kąta 30° , b do kąta 60° , a c do 90° . Twierdzenie sinusów mówi, że a / sin(30°) = b / sin(60°) = c / sin(90°) . Wstawiając wartości sinusów, otrzymujemy 2a = 2b/√3 = c . Teraz możesz wyrazić każdy z a, b, c za pomocą dowolnego z nich. Na przykład, b i c wyrażone za pomocą a otrzymamy: c = 2 ⋅ a i b = √3 ⋅ a .

Opracowanie: Bogna Szyk i dr Hanna Pamuła

Recenzja: Steven Wooding

Steven Wooding

Physicist holding a 1st class degree and a member of the Institute of Physics. Creator of the UK vaccine queue calculator, and featured in many publications, including The Sun, Daily Mail, Express, and Independent. Tenacious in researching answers to questions and has an affection for coding. Hobbies include cycling, walking, and birdwatching. You can find him on Twitter @OmniSteve. See full profile

Check our editorial policy

Tłumaczenie: Dawid Siuda

Dawid Siuda

Dawid is an IT enthusiast and financial specialist passionate about Big Data, Artificial Intelligence, and the FinTech sector. Since his Bachelor’s degree in finance, he is pursuing a master’s degree in Business Informatics. Driven by a thirst for knowledge and personal growth, he actively seeks opportunities to develop his skills and broaden his expertise. He particularly enjoys taking on challenges that push his boundaries. He gained his financial knowledge by helping to organize the Wall Street Conference, the most significant event in Poland dedicated to private investors, and working as a financial consultant at one of the biggest European banks. He’s a passionate math tutor and a big-time car enthusiast. See full profile

Check our editorial policy

Nowy

Spis treści

Wzór na twierdzenie sinusów Zastosowanie twierdzenia sinusów.Kalkulator twierdzenia sinusów — jak z niego korzystać?FAQs

Ten kalkulator twierdzenia sinusów jest przydatnym narzędziem do rozwiązywania problemów, które obejmują długości boków lub kątów trójkąta. Wyjaśnimy ci twierdzenie sinusów i podamy listę przypadków, w których ta reguła może okazać się przydatna. Dzięki temu kalkulatorowi trójkątów będziesz teraz w stanie rozwiązać niektóre problemy z trygonometrii (bardziej skomplikowane niż przy użyciu twierdzenia Pitagorasa).

Jeśli jednak nie wiesz, czym jest sinus, najpierw sprawdź nasz kalkulator sinusów 🇺🇸.

Wolisz oglądać niż czytać? Dowiedz się wszystkiego w 90 sekund z tego filmu, który stworzyliśmy dla ciebie:

Watch this on YouTube

Wzór na twierdzenie sinusów

Wzór twierdzenia sinusów. Trójkąt o bokach a, b, c i kątach α, β, γ.

Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek długości boku trójkąta do sinusa przeciwległego kąta jest równy dla każdego boku:

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Stosunek ten jest także równy średnicy okręgu trójkąta (okrąg opisany na tym trójkącie).

Zauważ, że możesz użyć tego twierdzenia dla dowolnego trójkąta, również takiego który nie jest trójkątem prostokątnym. Jeśli jesteś zainteresowany/a rozwiązywaniem zadań związanych z trójkątami prostokątnymi, nasz kalkulator trójkąta prostokątnego może być dla ciebie bardziej przydatny.

Zastosowanie twierdzenia sinusów.

Możesz przekształcić twierdzenie sinusów, aby rozwiązać niektóre problemy związane z trójkątami. Możesz użyć twierdzenia sinusów, aby znaleźć:

Pozostałe boki trójkąta, znając dwa kąty i jeden bok.
Trzeci bok trójkąta, znając dwa boki i jeden z niezamkniętych kątów. W niektórych przypadkach (przypadkach niejednoznacznych) mogą istnieć dwa rozwiązania tego samego trójkąta. Jeśli poniższe warunki są spełnione, twój trójkąt może być przypadkiem niejednoznacznym:
- Znasz tylko kąt α oraz boki a i c;
- Kąt α jest ostry (α < 90°);
- a jest krótszy niż c (a < c); lub
- a jest krótszy niż wysokość h od kąta β, gdzie h = c ⋅ sin(α) (lub a > c ⋅ sin(α)).

Możesz również dokonać kombinacji tych równań z twierdzeniem cosinusów 🇺🇸, aby rozwiązać wszystkie inne problemy związane z trójkątami.

Kalkulator twierdzenia sinusów — jak z niego korzystać?

Zacznij od sformułowania problemu. Na przykład, możesz znać dwa kąty i jeden bok trójkąta i problemem do rozwiązania są pozostałe, nieznane boki.
Wprowadź znane wartości do odpowiednich pól kalkulatora. Pamiętaj, aby dwukrotnie sprawdzić na powyższym rysunku, czy oznaczyłeś/aś boki i kąty odpowiednimi symbolami.
Zobacz, jak nasz kalkulator twierdzenia sinusów wykonuje wszystkie obliczenia za Ciebie!

FAQs

Czy mogę stosować twierdzenie sinusów na trójkątach prostokątnych?

Tak, twierdzenie sinusów działa dla wszystkich trójkątów. Aby z niego skorzystać, musisz znać dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z tych boków lub dwa kąty i jeden bok trójkąta.

Kiedy należy stosować twierdzenie sinusów, a kiedy twierdzenie cosinusów?

Użyj twierdzenia sinusów, gdy znasz:

Dwa kąty i jeden bok; lub
Dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z tych boków.

Użyj twierdzenia cosinusów, gdy znasz:

Trzy boki; lub
Dwa boki i kąt między nimi.

Jak znaleźć nieznany bok za pomocą twierdzenia sinusów?

Aby znaleźć bok a dla boku b i kątów α i β, które są przeciwne odpowiednio do a i b, stosujemy twierdzenie sinusów a / sin(α) = b / sin(β).

Rozwiązując a otrzymujemy a = b ⋅ sin(α) / sin(β).

Jak znaleźć nieznany kąt za pomocą twierdzenia sinusów?

Aby znaleźć kąt α, biorąc pod uwagę bok a przeciwległy do α, a także bok b i jego przeciwległy kąt β, stosujemy wzór pochodny od twierdzenia sinusów: sin(α) = a ⋅ sin(β) / b, który możemy dalej przekształcić do α = arcsin(a ⋅ sin(β) / b), gdzie arcsin jest funkcją arcsin.

Jak zastosować twierdzenie sinusów dla trójkąta 30 60 90?

Załóżmy, że a jest stroną przeciwną do kąta 30°, b do kąta 60°, a c do 90°.

Twierdzenie sinusów mówi, że a / sin(30°) = b / sin(60°) = c / sin(90°).
Wstawiając wartości sinusów, otrzymujemy 2a = 2b/√3 = c.
Teraz możesz wyrazić każdy z a, b, c za pomocą dowolnego z nich. Na przykład, b i c wyrażone za pomocą a otrzymamy: c = 2 ⋅ a i b = √3 ⋅ a.