Kalkulator estymacji punktowej

Jeśli posiadasz wiele danych dotyczących populacji i chcesz znaleźć „najlepiej oszacowany” parametr, ten kalkulator estymacji punktowej będzie w sam raz dla ciebie. Wykorzystuje on cztery różne formuły estymacji punktowej, aby dać ci możliwie najdokładniejszą wartość. Możesz zacząć korzystać z kalkulatora od razu lub czytać dalej, aby dowiedzieć się więcej o zasadach jego działania.

Koniecznie sprawdź przykład na końcu, aby lepiej zrozumieć, jak znaleźć oszacowanie punktowe w prostych problemach statystycznych.

Wyobraź sobie rzut monetą. Za każdym razem, gdy rzucasz, zapisujesz wynik. Dla zwykłej monety i wystarczająco dużej liczby prób powinniśmy otrzymać rozdział wyglądający mniej więcej w taki sposób: 50% orzeł i 50% reszka.

Ale co jeśli moneta jest stronnicza — na przykład lekko wygięta? Wtedy, po dużej liczbie rzutów, odkryjesz, że jedna ze stron pojawia się częściej. Oznacza to, że prawdopodobieństwo otrzymania reszki różni się od 50% dla tej konkretnej monety.

Oszacowanie punktowe to prawdopodobieństwo uzyskania wyniku „orzeł” w tym przykładzie. Po rzuceniu monetą wystarczającą liczbę razy i zebraniu danych na temat „zachowania” monety będziesz w stanie je znaleźć za pomocą naszego kalkulatora estymacji punktowej.

Możesz użyć czterech różnych wzorów estymacji punktowej: estymacji metodą najwyższej wiarygodności (MNW, z ang. MLE, Maximum Likelihood Estimation), estymacji Wilsona, estymacji Laplace'a i estymacji Jeffreya. Każda metoda daje nieco inne wyniki i powinny być stosowane w różnych okolicznościach. Nasz kalkulator estymacji punktowej automatycznie wybiera najbardziej odpowiedni wynik, ale możesz też zobaczyć je wszystkie.

Aby obliczyć estymację punktową, będziesz potrzebować następujących wartości:

• Liczba sukcesów S: na przykład liczba reszek, które uzyskałeś/aś podczas rzucania monetą.
• Liczba prób T: w przykładzie z monetą jest to całkowita liczba rzutów.
• Przedział ufności: prawdopodobieństwo, że twoje najlepsze oszacowanie punktowe jest prawidłowe (w granicach błędu). Jeśli nie znasz tego pojęcia, odwiedź nasz kalkulator przedziału ufności.
• Wartość Z: zostanie obliczona automatycznie na podstawie przedziału ufności.

Gdy znasz już te wartości, możesz rozpocząć obliczanie oszacowania punktowego zgodnie z poniższymi równaniami:

• Metoda Najwyższej Wiarygodności:
  MNW = S / T
• Estymacja Laplace'a:
  Laplace = (S + 1) / (T + 2)
• Estymacja Jeffreya:
  Jeffrey = (S + 0,5) / (T + 1)
• Estymacja Wilsona:
  Wilson = (S + z²/2) / (T + z²)

Po obliczeniu wszystkich czterech wartości musisz wybrać najdokładniejszą z nich. Należy wykonać ten krok zgodnie z następującymi zasadami:

• Jeśli MNW ≤ 0,5, to estymacja Wilsona jest najdokładniejsza.
• Jeśli 0,5 < MNW < 0,9, najdokładniejsze jest oszacowanie oparte na maksymalnej wiarygodności.
• Jeśli MNW ≥ 0,9, to mniejsze z oszacowań Jeffreya i Laplace'a jest najdokładniejsze.

Jeśli nadal nie wiesz, jak działa procedura estymacji punktowej, spójrz na poniższy przykład. Przeanalizujemy bardziej szczegółowo problem z nieobiektywną monetą.

1. Określ całkowitą liczbę rzutów monetą — będzie to liczba prób T. Załóżmy, że T = 100.

2. Policz liczbę razy, kiedy wypadł orzeł. Będzie to liczba sukcesów S. Załóżmy, że S = 92. (Już sama liczba sukcesów wskazuje, że moneta jest w jakiś sposób uszkodzona).

3. Określ swój przedział ufności. Powiedzmy, że musisz mieć tylko 90% pewności, że wynik jest dokładny, więc zdecyduj się na przedział ufności równy 90%.

4. Kalkulator estymacji punktowej znajdzie dla ciebie wartość Z. Jeśli chcesz uzyskać więcej informacji na temat sposobu jego obliczania, zajrzyj do kalkulatora wartości p. W tym przypadku z = -1,6447.

5. Użyj wzorów estymacji punktowej:

   • MNW = S / T = 92 / 100 = 0,92
   • Laplace = (S + 1) / (T + 2) = 93 / 102 = 0,9118
   • Jeffrey = (S + 0,5) / (T + 1) = 92,5 / 101 = 0,9158
   • Wilson = (S + z²/2) / (T + z²) = (92 + (-1,6447)²/2) / (100 + (-1,6447)²) = 0,9089

6. Ponieważ maksymalne oszacowanie prawdopodobieństwa jest większe niż 0,9, to należy wybrać mniejsze z oszacowań Jeffreya i Laplace'a jako najlepsze oszacowanie punktowe. W tym przypadku jest to oszacowanie Laplace'a i jest równe 0,9118. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w tej monecie wynosi 91,18%.