Calculadora de Progressão Aritmética

Essa calculadora de progressão aritmética (também chamada de calculadora de série aritmética, ou sequência aritmética) é uma ferramenta da Omni que serve para analisar uma sequência de números criada pela adição de um valor constante. Você pode usá-la para encontrar qualquer propriedade de uma sequência numérica - o primeiro termo, a diferença comum, o enésimo termo ou a soma dos n primeiros termos. Você pode começar a usá-lo diretamente ou continuar lendo para descobrir como ele funciona.

Neste artigo, explicamos a definição de progressão aritmética, esclarecemos a equação de uma progressão que a calculadora usa e apresentamos a você a fórmula para encontrar séries aritméticas (soma de uma progressão aritmética). Também fornecemos uma visão geral das diferenças entre progressões aritméticas e geométricas e um exemplo fácil de entender da aplicação de nossa ferramenta.

A progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Já o termo sequência, de acordo com a definição matemática, é uma coleção de objetos, como números ou letras, que vêm em uma ordem específica. Esses objetos são chamados de elementos ou termos da sequência. É bastante comum que o mesmo objeto apareça várias vezes em uma sequência.

Uma sequência aritmética também é um conjunto de objetos, mais especificamente, de números. Cada número consecutivo é criado pela adição de um número constante (chamado de razão ou diferença comum) ao anterior. Essa sequência pode ser finita, quando tem um número determinado de termos (por exemplo, 20), ou infinita, se não especificarmos o número de termos.

Cada sequência aritmética é definida exclusivamente por dois coeficientes: a diferença comum e o primeiro termo. Se você conhecer esses dois valores, poderá escrever a sequência inteira.

Quando você começa a se aprofundar no tópico o que é uma sequência aritmética, é provável que se depare com alguma confusão. Isso acontece devido às várias convenções de nomenclatura que estão em uso.

Dois dos termos mais comuns que você pode encontrar são sequência aritmética e série. O primeiro também é frequentemente chamado de progressão aritmética, enquanto o segundo também é chamado de soma parcial.

A principal diferença entre sequência e série é que, por definição, uma sequência aritmética é simplesmente o conjunto de números criado pela adição de uma diferença comum. A série aritmética, por outro lado, é a soma de n termos de uma sequência. Por exemplo, você pode denotar a soma dos 12 primeiros termos com S₁₂ = a₁ + a₂ + ... + a₁₂.

Alguns exemplos de uma sequência aritmética incluem:

• 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, …
• 6, 3, 0, -3, -6, -9, -12, -15, …
• 50, 50,1, 50,2, 50,3, 50,4, 50,5, …

Você consegue encontrar a diferença comum de cada uma dessas sequências? Dica: tente subtrair um termo do termo seguinte.

Com base nesses exemplos de sequências aritméticas, você pode observar que a diferença comum não precisa ser um número natural, ela pode ser uma fração. Na verdade, ela nem precisa ser positiva!

Se a diferença comum de uma sequência aritmética for positiva, nós a chamamos de sequência crescente. Naturalmente, se a diferença for negativa, a sequência será decrescente. O que acontece no caso da razão ser igual a zero? Bem, você obterá uma sequência constante, em que cada termo é igual ao anterior.

Agora, vamos dar uma olhada de perto na seguinte sequência:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Você consegue deduzir qual é a diferença comum nesse caso?

Na verdade, você não deveria ser capaz. Esse não é um exemplo de uma sequência aritmética, mas um caso especial chamado sequência de Fibonacci. Cada termo é encontrado pela soma dos dois termos anteriores a ele. Interessante, não é? Se você quiser saber mais, vale a pena consultar a calculadora de Fibonacci da Omni.

Uma ótima aplicação da sequência de Fibonacci é a construção de uma espiral. Se você desenhasse quadrados com lados de comprimento igual aos termos consecutivos dessa sequência, obteria uma espiral perfeita.

Os matemáticos adoraram a sequência de Fibonacci! Se você quiser descobrir uma sequência que os tem intrigado por quase um século, confira nossa calculadora da conjectura de Collatz 🇺🇸.

Vamos supor que você queira encontrar o enésimo termo, onde n=30 de qualquer uma das sequências mencionadas acima (exceto a sequência de Fibonacci, é claro). Escrever os primeiros 30 termos seria entediante e consumiria muito tempo. No entanto, você provavelmente notou que não precisa escrever todos eles! É suficiente se você adicionar 29 razões ao primeiro termo.

Vamos generalizar essa afirmação para formular a equação da sequência aritmética. Essa é a fórmula para qualquer n-ésimo termo da sequência.

a_n = a₁ + (n−1)d

onde:

• **a_n*: o n-ésimo termo da sequência;
• d: diferença comum; e
• a₁: primeiro termo da sequência.

Essa fórmula de sequência aritmética se aplica no caso de todas as razões, sejam elas positivas, negativas ou iguais a zero. Naturalmente, no caso de uma razão zero, todos os termos são iguais uns aos outros, tornando desnecessários quaisquer cálculos.

Nossa calculadora de sequência aritmética também pode encontrar a soma da sequência (chamada de série aritmética) para você. Confie em nós, você pode fazer isso sozinho, não é tão difícil!

Veja o primeiro exemplo de uma sequência aritmética: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. Poderíamos somar todos os termos manualmente, mas isso não é necessário. Vamos tentar somar os termos de forma mais organizada. Vamos somar o primeiro e o último termo, depois o segundo e o penúltimo, o terceiro e o penúltimo, etc. Você perceberá rapidamente que:

• 3 + 21 = 24
• 5 + 19 = 24
• 7 + 17 = 24

A soma de cada par é constante e igual a 24. Isso significa que você não precisa somar todos os números. Tudo o que você precisa fazer é somar o primeiro e o último termo da sequência e multiplicar essa soma pelo número de pares (ou seja, por n/2).

Matematicamente, isso é escrito como:

S = n/2 · (a₁ + a)

Substituindo a equação da sequência aritmética para o n-ésimo termo, você pode obter o seguinte resultado

S = n/2 · [a₁ + a₁ + (n-1)d]

Após a simplificação:

S = n/2 · [2a₁ + (n-1)d]

Essa fórmula permitirá que você encontre a soma de uma sequência aritmética.

Ao procurar a soma de uma sequência aritmética, você provavelmente já notou que precisa escolher o valor de n para calcular a soma parcial. E se você quisesse somar todos os termos da sequência?

Intuitivamente, a soma de um número infinito de termos será igual a infinito, quer a diferença comum seja positiva, negativa ou até mesmo igual a zero. No entanto, esse não é o caso de todos os tipos de sequências. Se você escolher outra, por exemplo, uma sequência geométrica, a soma ao infinito pode ser um termo finito.

Obviamente, nossa calculadora de sequência aritmética não é capaz de analisar nenhum outro tipo de sequência. Por exemplo, a sequência 2, 4, 8, 16, 32, ..., não tem uma diferença comum. Isso ocorre porque ela é um tipo diferente de sequência, é uma sequência geométrica, também conhecida como progressão geométrica. Você pode conferir mais detalhes na nossa calculadora de progressão geométrica.

Qual é a principal diferença entre uma sequência aritmética e uma geométrica? Enquanto uma sequência aritmética usa uma diferença comum para construir cada termo consecutivo, uma sequência geométrica usa uma razão comum. Isso significa que multiplicamos cada termo por um determinado número toda vez que queremos criar um novo termo.

Um exemplo interessante de uma sequência geométrica é o chamado universo digital. Você provavelmente já ouviu falar que a quantidade de informações digitais está dobrando de tamanho a cada dois anos. Isso significa que você pode escrever os números que representam a quantidade de dados em uma sequência geométrica, com uma razão comum igual a dois.

Você também pode analisar um tipo especial de sequência, chamada de sequência aritmético-geométrica. Ela é criada pela multiplicação dos termos de duas progressões: uma aritmética e uma geométrica.

Por exemplo, considere as duas progressões a seguir:

• Sequência aritmética: 1, 2, 3, 4, 5, ..
• Sequência geométrica: 1, 2, 4, 8, 16, ..

Para obter um n-ésimo termo da série aritmética-geométrica, você precisa multiplicar o n-ésimo termo da progressão aritmética pelo n-ésimo termo da progressão geométrica. Nesse caso, o resultado será parecido com o seguinte:

• Primeiro termo: 1 ⋅ 1 = 1
• Segundo termo: 2 ⋅ 2 = 4
• Terceiro termo: 3 ⋅ 4 = 12
• Quarto termo: 4 ⋅ 8 = 32
• Quinto termo: 5 ⋅ 16 = 80

Essa sequência é definida por quatro parâmetros: o valor inicial da progressão aritmética a, a diferença comum d, o valor inicial da progressão geométrica b e a razão comum r.

Vamos analisar um exemplo simples que pode ser resolvido usando a fórmula da sequência aritmética. Vamos dar uma olhada de perto no exemplo da queda livre.

Uma pedra está caindo livremente em um poço profundo. Durante o primeiro segundo, ela percorre quatro metros de profundidade. A cada segundo seguinte, a distância que ela cai é 9,8 metros maior. Qual é a distância percorrida pela pedra entre o quinto e o nono segundo?

A distância percorrida segue uma progressão aritmética com um valor inicial a = 4 m e uma diferença comum, d = 9,8 m.

Primeiro, encontraremos a distância total percorrida nos primeiros nove segundos da queda livre calculando a soma parcial S₉ (n = 9):

S₉ = n/2 ⋅ [2a₁ + (n-1)d] = 9/2 ⋅ [2 ⋅ 4 + (9-1) ⋅ 9,8] = 388,8 m

Durante os primeiros nove segundos, a pedra percorre um total de 388,8 m. Entretanto, estamos interessados apenas na distância percorrida do quinto ao nono segundo. Como calcular esse valor? É fácil! Tudo o que precisamos fazer é subtrair a distância percorrida nos primeiros quatro segundos, S₄, da soma parcial S₉.

S₄ = n/2 ⋅ [2a₁ + (n-1)d] = 4/2 ⋅ [2 ⋅ 4 + (4-1) ⋅ 9,8] = 74,8 m

S₄ é igual a 74,8 m. Agora, podemos encontrar o resultado por meio de uma simples subtração:

distância = S₉ - S₄ = 388,8 - 74,8 = 314 m

Há um método alternativo para resolver esse exemplo. Você pode usar a fórmula da sequência aritmética para calcular a distância percorrida no quinto, sexto, sétimo, oitavo e nono segundo e somar esses valores. Tente fazer isso você mesmo, e perceberá que o resultado é exatamente o mesmo!