Zuletzt aktualisiert: 30. Oct 2024

Sinussatz Rechner

Q: Kann ich den Sinussatz auf rechtwinklige Dreiecke anwenden?

Ja , der Sinussatz funktioniert für alle Dreiecke . Um ihn anzuwenden, musst du entweder zwei Seiten und einen Winkel kennen, der einer dieser Seiten gegenüberliegt, oder zwei Winkel und eine Seite des Dreiecks.

Q: Wann sollte ich den Sinussatz und wann den Kosinussatz anwenden?

Verwende den Sinussatz , wenn du folgendes gegeben hast: Zwei Winkel und eine Seite; oder Zwei Seiten und einen Winkel, der einem dieser Winkel gegenüberliegt. Verwende den Kosinussatz , wenn du folgende Angaben hast: Drei Seiten; oder Zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen.

Q: Wie berechne ich eine unbekannte Seite mit Hilfe des Sinussatzes?

Um die Seite a mit der Seite b und den Winkeln α und β zu finden, die a bzw. b gegenüberliegen, wenden wir den Sinussatz a / sin(α) = b / sin(β) an. Wenn wir nach a umstellen, erhalten wir a = b ∙ sin(α) / sin(β) .

Q: Wie berechne ich einen unbekannten Winkel mithilfe des Sinussatzes?

Um den Winkel α mit der Seite a , die α gegenüberliegt, sowie mit der Seite b und ihrem Gegenwinkel β zu bestimmen, wenden wir die Formel an, die aus dem Sinussatz abgeleitet ist: sin(α) = a ∙ sin(β) / b , die wir in α = arcsin(a ∙ sin(β) / b) umwandeln können, wobei arcsin die Arcsinusfunktion ist.

Q: Wie wende ich das Sinusgesetz auf das 30-60-90-Dreieck an?

Nehmen wir an, a ist die Seite, die dem Winkel 30° gegenüberliegt, b dem Winkel 60° und c dem Winkel 90° . Der Sinussatz besagt, dass a / sin(30°) = b / sin(60°) = c / sin(90°) . Wenn wir die Werte der Sinuskurven einsetzen, erhalten wir 2a = 2b/√3 = c . Jetzt kannst du jedes a, b, c mithilfe eines anderen Wertes ausdrücken. Zum Beispiel lauten b und c mithilfe von a ausgedrückt: c = 2 ∙ a und b = √3 ∙ a .

Erstellt von Bogna Szyk und Hanna Pamuła, Doktorand*in

Überprüft von Steven Wooding

Steven Wooding

Physicist holding a 1st class degree and a member of the Institute of Physics. Creator of the UK vaccine queue calculator, and featured in many publications, including The Sun, Daily Mail, Express, and Independent. Tenacious in researching answers to questions and has an affection for coding. Hobbies include cycling, walking, and birdwatching. You can find him on Twitter @OmniSteve. See full profile

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Übersetzt von Luise Schwenke

Luise Schwenke

Luise works as a German translator and Calculatorian at Omni. She holds a degree in Food Engineering from the University of Sciences - Neubrandenburg, Germany, and specialized her career in biotechnology. She worked in human genetic diagnostics, developing and producing pharmaceutical products for clinical phase 2 and 3 studies. She is always hungry for new fields to learn about that allow her to combine her creative and analytical thinking. Currently, she is getting her hands on coding, focusing on data science and big data. Luise spent an academic year in Brazil and loves traveling the world to experience and learn from different cultures. See full profile

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und Julia Kopczyńska, promovierend

Julia Kopczyńska

PhD candidate, Polish Academy of Sciences

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A microbiologist with a low-key addiction to coffee. Since her Bachelor’s, she has focused on the gut microbiome and its role in human health. Now she hopes to find the golden bacteria to improve gut health in her Ph.D. project. She enjoys scientific writing and digging really deep into a topic. She has been living in 5 different countries and loves to travel to new places. In her free time, she likes to be active by playing volleyball, biking, and going for long walks. See full profile

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Inhalt

Formel für den Sinussatz Anwendung des Sinussatzes Sinussatz-Rechner – wie benutzt man ihn?FAQs

Dieser Sinussatz-Rechner ist ein praktisches Werkzeug, um Probleme zu lösen, die Seitenlängen oder Winkel eines Dreiecks beinhalten. Wir erklären dir die Formel des Sinussatzes und geben dir eine Liste von Fällen, in denen dieser Satz nützlich ist. Dank dieses Rechners kannst du jetzt einige trigonometrische Aufgaben lösen (die komplizierter sind als der Satz des Pythagoras).

Wenn du jedoch nicht weißt, was der Sinus ist, schau dir zuerst unseren Sinus Rechner 🇺🇸 an.

Du siehst lieber zu als zu lesen? Mit diesem Video, das wir für dich gemacht haben, lernst du in 90 Sekunden alles, was du brauchst:

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Formel für den Sinussatz

Veranschaulichung des Sinussatzes. Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ.

Der Sinussatz besagt, dass das Verhältnis zwischen der Länge einer Seite eines Dreiecks und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels für jede Seite gleich ist:

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Dieses Verhältnis ist auch gleich dem Durchmesser des Umkreises des Dreiecks (Kreis, der dieses Dreieck umschreibt).

Beachte, dass du dieses Gesetz für jedes beliebige Dreieck anwenden kannst, auch für Dreiecke, die nicht rechtwinklig sind. Wenn du nur daran interessiert bist, Probleme im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken zu lösen, ist unser Rechtwinkliges Dreieck Rechner vielleicht nützlicher für dich.

Anwendung des Sinussatzes

Du kannst die Formeln des Sinussatzes umwandeln, um einige Probleme mit Dreiecken zu lösen:

Finde die restlichen Seiten eines Dreiecks, wenn du zwei Winkel und eine Seite kennst.
Finde die dritte Seite eines Dreiecks, wenn du zwei Seiten und einen der nicht eingeschlossenen Winkel kennst. In manchen Fällen kann es zwei Lösungen für dasselbe Dreieck geben. Wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind, kann dein Dreieck ein zweideutiger Fall sein:
- Du kennst nur den Winkel α und die Seiten a und c;
- Der Winkel α ist spitz (α < 90°);
- a ist kürzer als c (a < c); und
- a ist länger als die Höhe h des Winkels β, wobei h = c ∙ sin(α) (oder a > c ∙ sin(α)).

Du kannst diese Gleichungen auch mit dem Kosinussatz kombinieren, um alle anderen Probleme mit Dreiecken zu lösen.

Sinussatz-Rechner – wie benutzt man ihn?

Beginne damit, dein Problem zu formulieren. Du kennst zum Beispiel zwei Winkel und eine Seite des Dreiecks und suchst nach den restlichen Seiten.
Gib die bekannten Werte in die entsprechenden Felder dieses Rechners ein. Vergiss nicht, anhand der Abbildung oben zu überprüfen, ob du die Seiten und Winkel mit den richtigen Symbolen bezeichnet hast.
Sieh zu, wie unser Sinussatz-Rechner alle Berechnungen für dich ausführt!

FAQs

Kann ich den Sinussatz auf rechtwinklige Dreiecke anwenden?

Ja, der Sinussatz funktioniert für alle Dreiecke. Um ihn anzuwenden, musst du entweder zwei Seiten und einen Winkel kennen, der einer dieser Seiten gegenüberliegt, oder zwei Winkel und eine Seite des Dreiecks.

Wann sollte ich den Sinussatz und wann den Kosinussatz anwenden?

Verwende den Sinussatz, wenn du folgendes gegeben hast:

Zwei Winkel und eine Seite; oder
Zwei Seiten und einen Winkel, der einem dieser Winkel gegenüberliegt.

Verwende den Kosinussatz, wenn du folgende Angaben hast:

Drei Seiten; oder
Zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen.

Wie berechne ich eine unbekannte Seite mit Hilfe des Sinussatzes?

Um die Seite a mit der Seite b und den Winkeln α und β zu finden, die a bzw. b gegenüberliegen, wenden wir den Sinussatz a / sin(α) = b / sin(β) an.

Wenn wir nach a umstellen, erhalten wir a = b ∙ sin(α) / sin(β).

Wie berechne ich einen unbekannten Winkel mithilfe des Sinussatzes?

Um den Winkel α mit der Seite a, die α gegenüberliegt, sowie mit der Seite b und ihrem Gegenwinkel β zu bestimmen, wenden wir die Formel an, die aus dem Sinussatz abgeleitet ist: sin(α) = a ∙ sin(β) / b, die wir in α = arcsin(a ∙ sin(β) / b) umwandeln können, wobei arcsin die Arcsinusfunktion ist.

Wie wende ich das Sinusgesetz auf das 30-60-90-Dreieck an?

Nehmen wir an, a ist die Seite, die dem Winkel 30° gegenüberliegt, b dem Winkel 60° und c dem Winkel 90°.

Der Sinussatz besagt, dass a / sin(30°) = b / sin(60°) = c / sin(90°).
Wenn wir die Werte der Sinuskurven einsetzen, erhalten wir 2a = 2b/√3 = c.
Jetzt kannst du jedes a, b, c mithilfe eines anderen Wertes ausdrücken. Zum Beispiel lauten b und c mithilfe von a ausgedrückt: c = 2 ∙ a und b = √3 ∙ a.