Calculadora de la operación módulo

Esta calculadora de módulos es una herramienta muy útil si necesitas hallar el resultado de operaciones módulo. Sólo tienes que introducir el número inicial x y el número entero y para hallar el módulo r, según x mod y = r. Sigue leyendo para descubrir qué son las operaciones módulo y la congruencia módulo, cómo calcular el módulo y cómo utilizar correctamente nuestra calculadora.

Imagina un reloj de pared. Supongamos que son las 11 de la noche 🕚. Te preguntas qué hora será cuando te despiertes después de 8 horas de sueño. No puedes simplemente sumarle 8 al 11, ya que las 19 h no existen en el reloj. Para encontrar la respuesta correcta, tienes que realizar una operación de módulo (mod 12): sumas estos dos números y sigues restando 12 hasta que obtengas un número menor que 12. En este caso, 7. Acabas de calcular que te despertarás a las 7 de la mañana 🕖.

Las operaciones módulo, en el caso del reloj, son tan intuitivas que ni siquiera nos damos cuenta de ellas. En matemáticas, hay muchos tipos de operaciones módulo más elaboradas que requieren pensar más. Podemos decir que:

x mod y = r

es cierto si existe un número entero q (llamado cociente) que satisface la ecuación:

y × q + r = x

En caso contrario, el número r es el resto o residuo de la división, donde x es el dividendo, y y es el divisor (nuestra calculadora de residuos explica cómo obtener el resto de una división).

Si la definición de módulo no te convence, y sigues sin saber cómo calcular el módulo, echa un vistazo al siguiente párrafo, y todo quedará más claro que el agua.

Se dice que dos números, a y b, son congruentes módulo n cuando su diferencia, a - b, es divisible integralmente por n (por lo que (a - b) es múltiplo de n).

Matemáticamente, la fórmula de la congruencia módulo se escribe como:

a ≡ b (mod n),

y n se llama módulo de una congruencia.

Alternativamente, puedes decir que a y b son congruentes módulo n cuando ambas tienen el mismo residuo al dividirlas por n:

a mod n = r
b mod n = r

donde r es un residuo común.

En pocas palabras: la congruencia módulo se produce cuando dos números tienen el mismo residuo después del mismo divisor. Así, por ejemplo, 24 módulo 10 y 34 módulo 10 dan la misma respuesta: 4. Por tanto, 24 y 34 son congruentes módulo 10.

Veamos otro ejemplo:

9 ≡ 21 (mod 6)

porque 21 - 9 = 12 es múltiplo de 6. También se puede escribir abreviadamente como 6 | (21 - 9). O, lo que es lo mismo, 21 y 9 tienen el mismo residuo cuando los dividimos por 6:

9 mod 6 = 3
21 mod 6 = 3

Calcular el módulo a mano no es una tarea difícil. Solo tienes que seguir los pasos que se indican a continuación:

1. Empieza por elegir el número inicial (antes de realizar la operación de módulo). Digamos que es 250. Este es nuestro dividendo.
2. Elige el divisor. Elijamos 24. La operación que queremos calcular es entonces 250 mod 24 (o 250 % 24, si utilizamos una convención diferente).
3. Divide un número por el otro, redondeando hacia abajo: 250/24 = 10. Este es el cociente. Además, puedes considerar esta operación como una división entera: el tipo de división en el que no nos preocupa la parte fraccionaria del resultado.
4. Multiplica el divisor por el cociente. Así que en nuestro ejemplo es 10 × 24 = 240.
5. Resta este número del número inicial (dividendo): 250 - 240 = 10.
6. El número que obtienes es el resultado de la operación de módulo. Podemos escribirlo como 250 mod 24 = 10.

Determinar un módulo con nuestra herramienta es fácil y cómodo. Para hallar el resultado de operaciones módulo entre números enteros, necesitas:

1. Escribir el número inicial —dividendo— en la primera casilla. Tomemos el ejemplo de los párrafos anteriores, así que introduce 250.
2. Introduce el divisor. En nuestro caso es 24.
3. ¡Tadaaa! Nuestra calculadora de módulos te devolverá el resultado: ¡el residuo! Y no es ninguna sorpresa; es igual a 10, el mismo número que calculamos antes.

A continuación, encontrarás algunos módulos calculados normalmente:

• 1 mod 1 = 0 (ya que mod 1 es siempre 0)
• 1 mod 2 = 1
• 1 mod 3 = 1
• 5 mod 2 = 1
• 5 mod 3 = 2
• 6 mod 3 = 0
• 7 mod 3 = 1
• 10 mod 3 = 1
• 18 mod 3 = 0
• 100 mod 3 = 1
• 100 mod 7 = 2

Si no encuentras aquí el que buscas, ¡no dudes en utilizar nuestra calculadora de módulos!

La aritmética modular es, en términos generales, un sistema aritmético para números enteros, en el que los números “envuelven” a un determinado número. Resumamos lo que hemos aprendido sobre las distintas representaciones de las operaciones módulo; todas las afirmaciones que aparecen a continuación son equivalentes:

• A ≡ B (mod C)
• a mod C = B mod C
• C | (A - B)
• A = B + K × C donde K es algún número entero.

También podemos realizar cálculos con operaciones módulo.

1. Suma y resta modulares

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C

(A - B) mod C = (A mod C - B mod C) mod C

Así pues, el módulo de la suma de dos números es igual a la suma de los módulos de esos números calculados por separado, luego tomando el módulo de este resultado. La primera etapa se realiza para eliminar la parte del cociente, y luego se vuelve a utilizar la operación mod. Echa un vistazo al ejemplo:

• A = 11, B = 7, C = 4

  (11 + 7) mod 4 = (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4

  parte izquierda de la ecuación: (11 + 7) mod 4 = 18 mod 4 = 2

  parte derecha de la ecuación: (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4 = (3 + 3) mod 4 = 6 mod 4 = 2

Análogamente, los cálculos son los mismos para la resta.

2. Multiplicación modular

(A × B) mod C = (A mod C × B mod C) mod C

Una ecuación así puede ser útil cuando tratamos con números grandes, y no conocemos el módulo de ese número grande al instante. Veamos el mismo ejemplo (A = 11, B = 7, C = 4): ¿puedes encontrar el resultado de 77 mod 4 en el acto? el 11 mod 4 y el 7 mod 4 son más fáciles de calcular:

• (11 × 7) mod 4 = (11 mod 4 × 7 mod 4) mod 4

  parte izquierda de la ecuación: (11 × 7) mod 4 = 77 mod 4 = 1

  parte derecha de la ecuación: (11 mod 4 × 7 mod 4) mod 4 = (3 × 3) mod 4 = 9 mod 4 = 1

3. Potenciación modular

A^B mod C = ((A mod C)^B) mod C

Esta fórmula es aún más útil cuando se trata de números grandes. Considera el mismo ejemplo:

• (11 ^ 7) mod 4 = ((11 mod 4)^7) mod 4

  parte izquierda de la ecuación: (11 ^ 7) mod 4 = 19487171 mod 4 = 3

  parte derecha de la ecuación: ((11 mod 4)^7) mod 4 = (3^7) mod 4 = 2187 mod 4 = 3

Puede que la utilidad de esta fórmula no sea tan evidente en este ejemplo, ya que aún tenemos que utilizar la calculadora para encontrar el resultado de la potencia (suponiendo que no conozcas inmediatamente el resultado de 3⁷). Así que echemos un vistazo a otro problema: queremos calcular el A^B mod C para valores grandes de B, como por ejemplo, 100. Desgraciadamente, nuestra calculadora no puede manejar números tan grandes debido al desbordamiento, ya que solo puede contener números de hasta 2^60. Sin embargo, puedes utilizar las propiedades de multiplicación para evitar este problema:

2^100 = 2^50 × 2^50

2^100 mod 3 = (2^50 mod 3 × 2^50 mod 3) mod 3

2^100 mod 3 = (1 × 1) mod 3 = 1

Existen métodos de potenciación modular aún más rápidos para algunos casos concretos (si B es una potencia de 2). Si quieres leer sobre ellos y practicar la aritmética modular, consulta nuestra calculadora de potenciación modular dedicada a ello.

La palabra módulo procede del latín modus, que significa una medida. Normalmente, cuando utilizamos la palabra módulo, nos referimos a la operación de módulo, como, por ejemplo, 11 mod 3 es igual a 2, por lo que se trata simplemente de hallar el residuo. En una definición estricta, el módulo significa:

Con respecto a un módulo especificado

o

A es igual a B módulo C, salvo las diferencias contabilizadas o explicadas por C.

Que es la definición sobre la que escribimos en el párrafo de la congruencia módulo.

La operación módulo se utiliza a menudo en lenguajes de programación. Para ello, se usa % (por ciento) para denotar esta operación (o a veces el operador resto para los números negativos). Si tienes curiosidad sobre los orígenes del signo %, te recomendamos encarecidamente que leas el breve párrafo que hemos elaborado sobre la historia del signo de porcentaje.

Debes tener cuidado, ya que existe cierta ambigüedad con la definición de módulo cuando se tienen en cuenta los valores negativos. Hay dos opciones posibles para el residuo, una negativa y otra positiva, y el resultado depende de la implementación en el lenguaje de programación elegido.

Puede que no sean obvias a primera vista, pero hay muchas aplicaciones del módulo, ¡desde la vida cotidiana hasta los problemas matemáticos y científicos!

1. El ejemplo más obvio y conocido es la llamada aritmética del reloj 🕞. Puede tratarse de sumar las horas, como en la explicación anterior del módulo, ¡o también minutos o segundos!

   Nadie dirá que "te quedan 40 minutos y 90 segundos", ¿verdad? La única opción es realizar una operación de módulo y hallar el cociente y el residuo: 60 × 1 + 30 = 90. 41 minutos y 30 segundos suena mucho mejor.

2. Las operaciones de módulo se utilizan para calcular las sumas de comprobación de los números de serie. Los códigos de control se utilizan sobre todo en los números largos, y son los dígitos calculados por un algoritmo. Están ahí para informarte de los errores que se producen, por ejemplo, al teclear mal. Puedes encontrar la aplicación del módulo en lo siguiente:

   • En nuestra calculadora de códigos de control 🇺🇸:
     • Los dígitos de control GTIN, UPC y EAN se utilizan para confirmar la integridad de un código de barras. La fórmula de los dígitos de control utiliza el módulo 10.
     • Los números ISBN e ISSN, que son identificadores únicos periódicos y de libros, tienen módulo 11 o módulo 10.
   • Los IBAN —Números de Cuentas Bancarias Internacionales— utilizan el módulo 97 para comprobar si un cliente no ha tecleado mal el número.
   • El NPI —Identificador Nacional de Proveedores de EE.UU.— utiliza la operación del módulo 10 para calcular el décimo dígito.

   Como los dígitos de control se utilizan para capturar errores humanos de transcripción, suelen emplearse para números de serie largos. Otros ejemplos de algoritmos de dígitos de control que utilizan operaciones de módulo:

   • número de identificación nacional (por ejemplo, en Islandia, Turquía, Polonia);
   • número de identificación fiscal (España);
   • número de chasis de vehículos (EE.UU.);
   • ...y muchos, muchos más.

3. Se aplica en muchas áreas científicas, como el álgebra computacional, la criptografía, la informática o las simples matemáticas escolares, como en un algoritmo euclidiano para el cálculo del mayor factor común.

4. El módulo es útil siempre que necesites dividir algo. Un ejemplo de la vida real puede ser compartir una pizza con tus amigos o familiares.

5. Incluso hay usos para el módulo en Minecraft. El módulo 64 te dirá cuántas pilas completas de adoquines necesitarás para construir esa estatua de Creeper.

Suponiendo que hay 10 porciones en una gran pizza para fiestas para un grupo de tres personas. ¿Cuántas porciones quedan cuando se reparta la pizza a partes iguales?

¡Eso es exactamente cuando puedes utilizar el módulo! 10 mod 3 = 1. En otras palabras, 10 dividido por 3 es igual a 3, pero queda 1 porción 🍕. No era el ejemplo más difícil, pero esperamos que puedas ver la utilidad del módulo.

¡Ah, no! Nos está entrando hambre. Dejemos esta deliciosa distracción y volvamos a la Tierra. Si te interesa encontrar más aplicaciones divertidas de la aritmética modular, consulta esta entrada del blog betterexplained.com.