Calculateur de modulo

Ce calculateur de modulo est un outil pratique si vous avez besoin de trouver le résultat d'opérations modulo. Tout ce que vous avez à faire est d'entrer le nombre initial x et l'entier y pour trouver le nombre modulo r, selon x mod y = r. Lisez la suite pour découvrir ce que sont les opérations modulo et la congruence modulo, comment calculer le modulo et comment utiliser correctement ce calculateur.

Imaginez une horloge accrochée au mur. Disons qu'il est tard dans la nuit – il est 23 heures 🕚. Vous vous demandez l'heure qu'il fera lorsque vous vous réveillerez après 8 heures de sommeil. Vous ne pouvez pas simplement ajouter 8 à 23, car l'heure de 31 heures n'existe pas. Pour trouver la bonne réponse, vous devez effectuer une opération modulo (mod 12) : vous ajoutez ces deux nombres et vous y soustrayez 12, encore et encore, jusqu'à ce que vous obteniez un nombre inférieur à 12. Vous venez alors de calculer que vous vous réveillerez à 7 heures du matin 🕖.

Les opérations modulo, dans le cas de l'horloge, sont tellement intuitives que nous ne les remarquons même pas. En mathématiques, il existe de nombreux types d'opérations modulo plus élaborées qui demandent davantage de réflexion. Nous pouvons écrire que :

x mod y = r

est vrai, s’il existe un entier q (appelé quotient) qui satisfait l'équation suivante :

y × q + r = x

où :

• r – le reste de la division
• x – le dividende
• y – le diviseur

Notre calculateur de reste explique comment obtenir le reste d'une division.

Si la définition du modulo ne vous satisfait pas et que vous ne savez toujours pas comment calculer le modulo, jetez un coup d'œil au paragraphe suivant, et tout devrait devenir clair comme de l'eau de roche.

Deux nombres, a et b, sont dits congrus modulo n lorsque leur différence a - b est intégralement divisible par n (donc (a - b) est un multiple de n).

Mathématiquement, la formule de congruence modulo s'écrit comme suit :

a ≡ b (mod n)

et n est appelé le module d'une congruence.

Vous pouvez également dire que a et b sont dits congrus modulo n lorsqu'ils ont tous deux le même reste quand ils sont divisés par n :

a mod n = r
b mod n = r

où :
r – le reste en commun

En d'autres termes, la congruence du module se produit quand deux nombres ont le même reste après avoir été divisés par le même diviseur. Ainsi, par exemple, 24 modulo 10 et 34 modulo 10 donnent la même réponse : 4. Par conséquent, 24 et 34 sont congrus modulo 10.

Voyons un autre exemple :

9 ≡ 21 (mod 6)

car 21 - 9 = 12 est un multiple de 6. On peut aussi l'écrire de manière abrégée : 6 | (21 - 9). De façon équivalente, 21 et 9 ont le même reste quand on les divise par 6 :

9 mod 6 = 3
21 mod 6 = 3

Il n'est pas difficile de calculer le modulo à la main. Suivez simplement les étapes ci-dessous !

1. Commencez par choisir le nombre initial (avant d'effectuer l'opération modulo). Prenons 250. C'est notre dividende.
2. Choisissez le diviseur, par exemple 24. L'opération que nous voulons calculer est alors 250 mod 24 (250 % 24 si vous utilisez une convention d'écriture différente).
3. Divisez un nombre par l'autre, en arrondissant à l'unité inférieure : 250 / 24 = 10. C'est le quotient. Vous pouvez également considérer cette opération comme une division euclidienne – le type de division, où nous ne nous préoccupons pas de la partie fractionnaire du résultat.
4. Multipliez le diviseur par le quotient, ce qui donne 10 × 24 = 240 dans notre exemple.
5. Soustrayez ce nombre de votre nombre initial (dividende). Ici : 250 - 240 = 10.
6. Le nombre que vous obtenez est le résultat de l'opération modulo. Nous pouvons l'écrire comme 250 mod 24 = 10.

Déterminer un modulo avec notre outil est facile et pratique. Pour trouver le résultat d'opérations modulo entre des nombres entiers, vous devez :

1. Entrer le nombre initial (le dividende) dans le premier champ. Reprenons l'exemple du paragraphe précédent et entrons 250.
2. Entrer le diviseur. Dans notre cas, il est de 24.
3. Tadaaa ! Notre calculateur de modulo vous renvoie votre résultat – le reste. Et ce n'est pas une surprise : il est égal à 10, c'est-à-dire le même nombre que celui que nous avons calculé précédemment.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples de modulo :

• 1 mod 1 = 0 (car mod 1 est toujours égal à 0)
• 1 mod 2 = 1
• 1 mod 3 = 1
• 5 mod 2 = 1
• 5 mod 3 = 2
• 6 mod 3 = 0
• 7 mod 3 = 1
• 10 mod 3 = 1
• 18 mod 3 = 0
• 100 mod 3 = 1
• 100 mod 7 = 2

Si vous ne trouvez pas ce que vous cherchez ici, n'hésitez pas à utiliser notre calculateur de modulo !

L'arithmétique modulaire est, d'une manière générale, un système arithmétique pour les nombres entiers. Résumons ce que nous avons appris sur les différentes représentations des opérations modulo ; toutes les formules ci-dessous sont équivalentes :

• A ≡ B (mod C)
• A mod C = B mod C
• C | (A - B)
• A = B + K × C où K est un entier quelconque

Nous pouvons également effectuer des calculs sur les opérations modulo.

1. Addition et soustraction modulaires

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C

(A - B) mod C = (A mod C - B mod C) mod C

Ainsi, le modulo de la somme de deux nombres est égal à la somme des modulo de ces nombres calculés séparément, puis au modulo de ce résultat. La première étape consiste à se débarrasser de la partie quotient, puis l'opération mod est à nouveau utilisée. Regardez l'exemple ci-dessous :

A = 11, B = 7, C = 4

• (11 + 7) mod 4 = (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4

  Partie gauche de l'équation : (11 + 7) mod 4 = 18 mod 4 = 2

  Partie droite de l'équation : (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4 = (3 + 3) mod 4 = 6 mod 4 = 2

Par analogie, les calculs sont les mêmes pour la soustraction.

2. Multiplication modulaire

(A × B) mod C = (A mod C × B mod C) mod C

Une telle équation peut être utile lorsqu'il s'agit de grands nombres et que nous ne connaissons pas immédiatement le modulo de ce grand nombre. Reprenons le même exemple (A = 11, B = 7, C = 4) – pouvez-vous trouver le résultat de 77 mod 4 sur-le-champ ? 11 mod 4 et 7 mod 4 sont plus faciles à calculer :

• (11 × 7) mod 4 = (11 mod 4 × 7 mod 4) mod 4

  Partie gauche de l'équation : (11 × 7) mod 4 = 77 mod 4 = 1

  Partie droite de l'équation : (11 mod 4 × 7 mod 4) mod 4 = (3 × 3) mod 4 = 9 mod 4 = 1

3. Exponentiation modulaire

A^B mod C = ((A mod C)^B) mod C

Cette formule est encore plus utile lorsqu'il s'agit de grands nombres. Reprenons le même exemple :

• (11 ^ 7) mod 4 = ((11 mod 4)^7) mod 4

  Partie gauche de l'équation : (11 ^ 7) mod 4 = 19487171 mod 4 = 3

  Partie droite de l'équation : ((11 mod 4)^7) mod 4 = (3^7) mod 4 = 2187 mod 4 = 3

L'utilité de cette formule n'est peut-être pas aussi évidente dans cet exemple, car nous devons encore utiliser le calculateur pour trouver le résultat de l'exponentiation (en supposant que vous ne connaissiez pas immédiatement le résultat de 3⁷). Examinons donc un autre problème : nous voulons calculer le A^B mod C pour de grandes valeurs de B, comme, par exemple, 100. Malheureusement, notre calculateur ne peut pas gérer des nombres aussi grands sans être saturé – seuls les nombres jusqu'à 2^60 peuvent être supportés. Vous pouvez cependant utiliser les propriétés de multiplication pour contourner ce problème :

2^100 = 2^50 × 2^50

2^100 mod 3 = (2^50 mod 3 × 2^50 mod 3) mod 3

2^100 mod 3 = (1 × 1) mod 3 = 1

Il existe des méthodes d'exponentiation modulaire encore plus rapides pour certains cas spécifiques (si B est une puissance de 2). Si vous voulez en savoir plus et pratiquer l'arithmétique modulaire, consultez notre calculateur d'exponentiation modulaire.

Le mot « modulo » vient du mot latin modus, qui signifie une mesure. En général, lorsque nous utilisons le mot modulo, nous parlons de l'opération modulo, comme, par exemple, 11 mod 3 égal 2 – il s'agit donc simplement de trouver le reste. Dans une définition stricte, le modulo signifie :

par rapport au module spécifié

ou

A est identique à B modulo C, à l'exception des différences prises en compte ou expliquées par C.

Il s'agit de la définition dont nous avons parlé dans le paragraphe sur la congruence modulo.

L'opération modulo est souvent utilisée dans les langages de programmation. C'est pourquoi le signe % – pour cent – est utilisé pour désigner cette opération (ou parfois l'opérateur du reste pour les nombres négatifs). Si vous êtes curieux de connaître les origines du signe %, nous vous encourageons vivement à lire le court paragraphe que nous avons rédigé sur l'histoire du signe pour cent.

Vous devez faire attention, car il y a une certaine ambiguïté avec la définition de modulo lorsque des valeurs négatives sont prises en compte. Il y a deux choix possibles pour le reste – l'un négatif et l'autre positif – et le résultat dépend de l'implémentation dans le langage de programmation choisi.

Elles ne sont peut-être pas évidentes à première vue, mais il existe de nombreuses applications du modulo, allant de la vie quotidienne en passant par les problèmes mathématiques et scientifiques !

1. L'exemple le plus évident et le plus connu est ce que l'on appelle l'arithmétique de l'horloge 🕞. Il s'agit d'additionner les heures, comme dans l'explication du modulo vu plus haut, ou encore les minutes ou les secondes !

   Personne ne dira « il vous reste 40 minutes et 90 secondes », n'est-ce pas ? La seule option est d'effectuer une opération modulo et de trouver le quotient et le reste – 60 × 1 + 30 = 90. 41 minutes et 30 secondes, c'est beaucoup mieux.

2. Les opérations modulo sont utilisées pour calculer les sommes de contrôle, aussi appelées empreintes, des numéros de série. Les chiffres de contrôle sont surtout utilisés pour les longs nombres ; ils sont générés par un algorithme. Ils sont là pour vous informer des erreurs dues, par exemple, à une faute de frappe. Vous trouverez l'application de modulo dans ce qui suit :

   • Dans notre calculateur de chiffres de contrôle 🇺🇸 :
     • les chiffres de contrôle GTIN, UPC et EAN sont utilisés pour confirmer l'intégrité d'un code-barres. La formule pour les chiffres de contrôle utilise le modulo 10 ;
     • les numéros ISBN et ISSN, qui sont des identifiants périodiques et uniques pour les livres, utilisent le modulo 11 ou le modulo 10.
   • Dans l'IBAN (International Bank Accounts Numbers) : utilisez le modulo 97 pour vérifier si le client n'a pas fait d'erreur de frappe. L'IBAN est l'identifiant international de votre compte bancaire auprès d'une institution financière dans un pays donné ;
   • Dans le NPI ( US National Provider Identifier) : utilisez l'opération modulo 10 pour calculer le dixième chiffre. Le NPI correspond au code d'identification américain national des fournisseurs.

   Comme les chiffres de contrôle servent à détecter les erreurs de transcription humaine, ils sont souvent utilisés pour les longs numéros de série. D'autres exemples d'algorithmes de chiffres de contrôle utilisant des opérations modulo incluent :
   * les numéros d'identification nationale (par exemple, en Islande, en Turquie, en Pologne) ;
   * les numéros d'identification fiscale (Espagne) ;
   * les numéros d'identification des véhicules (États-Unis) ;
   * et bien d’autres encore !

3. L'opération modulo est appliquée dans de nombreux domaines scientifiques, comme l'algèbre informatique, la cryptographie, l'informatique, ou de simples mathématiques scolaires, comme dans un algorithme euclidien pour le calcul du plus grand facteur commun.

4. Le modulo est utile à chaque fois que vous devez séparer quelque chose. Un exemple concret est le partage d'une pizza entre amis ou en famille.

5. Il existe même des utilisations du modulo sur Minecraft : mod 64 vous indiquera le nombre de piles de pavés dont vous aurez besoin pour construire la statue du Creeper.

Supposons qu'il y ait 10 parts dans une grande pizza, et que vous soyez un groupe de trois. Combien de parts reste-t-il lorsque vous partagez la pizza équitablement ?

C'est un cas parfait pour utiliser le modulo 10 mod 3 = 1. En d'autres termes, 10 divisé par 3 est égal à 3, mais il reste une part 🍕. Cet exemple n'était pas le plus difficile, mais nous espérons que vous voyez l'utilité du modulo.

Oh, non ! Nous commençons à avoir faim. Laissons cette délicieuse distraction et retournons sur Terre. Si vous souhaitez découvrir d'autres applications amusantes de l'arithmétique modulaire, consultez cet article du blog betterexplained.com.