Calcolatore di Modulo

Questo calcolatore di modulo è uno strumento utile se hai bisogno di trovare il risultato di operazioni con moduli. Tutto ciò che devi fare è inserire il numero iniziale x e il numero intero y per trovare il numero modulo r, secondo la formula x mod y = r.

Continua a leggere per scoprire:

• Cosa sono le operazioni modulo e la congruenza modulare;
• Come calcolare il modulo; e
• Come utilizzare questo calcolatore correttamente.

Immagina un orologio appeso a una parete. Supponiamo che sia notte fonda — le 23:00 🕚. Ti chiedi quale sarà l'ora in cui ti sveglierai dopo 8 ore di sonno. Non puoi semplicemente sommare 8 a 11, perché non esiste un orario come le 19 del mattino. Per trovare la risposta corretta, devi eseguire un'operazione modulo (mod 12) — aggiungi questi due numeri e continua a sottrarre 12 finché non ottieni un numero inferiore a 12. In questo caso, 7. Hai appena calcolato che ti sveglierai alle 7 del mattino 🕖.

Le operazioni di modulo, nel caso dell'orologio, sono così intuitive che non ci facciamo nemmeno caso. In matematica, ci sono molti tipi di operazioni modulo più elaborate che richiedono una maggiore riflessione. Possiamo dire che:

x mod y = r

è vero se esiste un numero intero q (chiamato quoziente), quindi:

y × q + r = x

In case contrario, il numero r è il rimedio della divisione, dove x è il dividendo e y è il divisore (il nostro calcolatore per i resti spiega come ottenere il resto di una divisione).

Se la definizione di modulo non ti convince e non sai ancora come calcolare il modulo, dai un'occhiata al prossimo paragrafo e tutto diventerà chiarissimo.

Due numeri, a e b, si dicono congruenti modulari n quando la loro differenza a - b è integralmente divisibile per n (quindi (a - b) è un multiplo di n).

In matematica, la formula della congruenza modulo si scrive come:

a ≡ b (mod n),

dove n è chiamato il modulo di una congruenza.

In alternativa, si può dire che a e b si dicono congruenti modulari n quando entrambi hanno lo stesso resto quando vengono divisi per n:

a mod n = r
b mod n = r

dove r è un resto comune.

Quindi, vale a dire, la congruenza modulare si verifica quando due numeri hanno lo stesso resto dopo lo stesso divisore. Quindi, per esempio, 24 modulo 10 e 34 modulo 10 danno la stessa risposta; 4. Pertanto, 24 e 34 sono congruenti modulari 10.

Vediamo un altro esempio:

9 ≡ 21 (mod 6)

perché 21 - 9 = 12 è un multiplo di 6. Si può anche scrivere in breve come 6 | (21 - 9). Oppure, in modo equivalente, 21 e 9 hanno lo stesso resto quando li dividiamo per 6:

9 mod 6 = 3
21 mod 6 = 3

Calcolare il modulo a mano non è un compito difficile. Segui i passaggi qui sotto!

1. Inizia scegliendo il numero iniziale (prima di eseguire l'operazione di modulo). Supponiamo che sia 250. Questo è il nostro dividendo.

2. Scegliamo il divisore; 24. L'operazione che vogliamo calcolare è quindi 250 mod 24 (250 / 24 se si utilizza una convenzione diversa).

3. Dividi un numero per l'altro, arrotondando per difetto: 250 / 24 = 10. Questo è il quoziente. Inoltre, puoi pensare a questa operazione come a una divisione integrale — il tipo di divisione in cui non ci preoccupiamo della parte frazionaria del risultato.

4. Moltiplica il divisore per il quoziente. Quindi nel nostro esempio è 10 × 24 = 240.

5. Sottrai questo numero dal numero iniziale (dividendo). Qui: 250 - 240 = 10.

6. Il numero ottenuto è il risultato dell'operazione modulo. Possiamo scriverlo come 250 mod 24 = 10.

Il nostro strumento rende facile e conveniente a determinare il modulo. Per trovare il risultato delle operazioni di modulo tra numeri interi, devi:

1. Digita il numero iniziale — il dividendo — nella prima casella. Riprendiamo l'esempio dei paragrafi precedenti: inserisci 250.

2. Inserisci il divisore. Nel nostro caso è 24.

3. Tadaaa! Il nostro calcolatore di modulo ti restituirà il risultato — il resto! E non è una sorpresa: è uguale a 10 — lo stesso numero che abbiamo calcolato prima.

Successivamente, troverai alcuni casi tipici sul modulo:

• 1 mod 1 = 0 (poiché il mod 1 è sempre 0) ;
• 1 mod 2 = 1 ;
• 1 mod 3 = 1 ;
• 5 mod 2 = 1 ;
• 5 mod 3 = 2 ;
• 6 mod 3 = 0 ;
• 7 mod 3 = 1 ;
• 10 mod 3 = 1 ;
• 18 mod 3 = 0 ;
• 100 mod 3 = 1 ; e
• 100 mod 7 = 2

Se non vedi quello che cerchi qui, non esitare a usare il nostro calcolatore di modulo!

L'aritmetica modulare è, in generale, un sistema aritmetico per i numeri interi, in cui i numeri "avvolgono" un certo numero. Riassumiamo ciò che abbiamo imparato sulle rappresentazioni diverse delle operazioni modulo: tutte le affermazioni che seguono sono equivalenti:

• A ≡ B (mod C)
• A mod C = B mod C
• C | (A - B)
• A = B + K × C dove K è un numero intero.

Possiamo anche eseguire dei calcoli sulle operazioni con il modulo.

1. Addizione e sottrazione modulare

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C

(A - B) mod C = (A mod - B mod C) mod C

Quindi, il modulo della somma di due numeri è uguale alla somma dei moduli di questi numeri calcolati separatamente, seguito dal modulo del risultato. La prima fase viene eseguita per eliminare la parte del quoziente, quindi viene utilizzata nuovamente l'operazione modulo. Guarda l'esempio:

• A = 11, B = 7, C = 4

  (11 + 7) mod 4 = (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4

  parte sinistra dell'equazione: (11 + 7) mod 4 = 18 mod 4 = 2

  parte destra dell'equazione: (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4 = (3 + 3) mod 4 = 6 mod 4 = 2

Analogamente, i calcoli sono gli stessi per la sottrazione.

2. Moltiplicazione modulare

(A × B) mod C = (A mod C × B mod C) mod C

Questa equazione può essere utile quando si ha a che fare con numeri grandi e non si conosce immediatamente il modulo di quel numero grande. Vediamo lo stesso esempio (A = 11, B = 7, C = 4): riesci a trovare subito il risultato di 77 mod 4? 11 mod 4 e 7 mod 4 sono più facili da calcolare:

• (11 × 7) mod 4 = (11 mod 4 × 7 mod 4) mod 4

  Parte sinistra dell'equazione: (11 × 7) mod 4 = 77 mod 4 = 1

  Parte destra dell'equazione: (11 mod 4 × 7 mod 4) mod 4 = (3 × 3) mod 4 = 9 mod 4 = 1

3. Esponenziazione modulare

A^B mod C = ((A mod C)^B) mod C

Questa formula è ancora più utile quando si ha a che fare con numeri grandi. Consideriamo lo stesso esempio:

• (11 ^ 7) mod 4 = ((11 mod 4)^7) mod 4

  Parte sinistra dell'equazione: (11 ^ 7) mod 4 = 19487171 mod 4 = 3

  Parte destra dell'equazione: ((11 mod 4)^7) mod 4 = (3^7) mod 4 = 2187 mod 4 = 3

L'utilità di questa formula potrebbe non essere così evidente in questo esempio, in quanto dobbiamo ancora usare il calcolatore per trovare il risultato dell'esponenziazione (supponendo che non si conosca immediatamente il risultato di 3⁷). Vediamo quindi un altro problema: vogliamo calcolare il valore A^B mod C per valori grandi di B — come, ad esempio, 100. Purtroppo il nostro calcolatore non può gestire numeri così grandi a causa del sovraccarico — può contenere solo numeri fino a 2^60. Tuttavia, puoi utilizzare le proprietà di moltiplicazione per aggirare il problema:

2^100 = 2^50 × 2^50

2^100 mod 3 = (2^50 mod 3 × 2^50 mod 3) mod 3

2^100 mod 3 = (1 × 1) mod 3 = 1

Esistono metodi di esponenziazione modulare ancora più veloci per alcuni casi specifici (se B è una potenza di 2). Se vuoi saperne di più e fare pratica con l'aritmetica modulare, dai un'occhiata al nostro calcolatore dedicato all'esponenziazione modulare.

La parola modulo deriva dal latino modus, che significa una misura. Di solito, quando usiamo la parola modulo, intendiamo l'operazione modulo, come ad esempio 11 mod 3 uguale 2 — quindi si tratta semplicemente di trovare il resto. In una definizione rigorosa, il modulo significa:

rispetto al modulo specificato

oppure

A è uguale a B modulo C, tranne che per le differenze giustificate o spiegate da C

Che è la definizione di cui abbiamo scritto nel paragrafo sulla congruenza modulare.

Tuttavia, modulo non viene utilizzato solo in un contesto matematico. A volte puoi sentirlo nella conversazione di tutti i giorni, dove probabilmente significa un tipo di documento, ad esempio,

Il progetto è stato fermato temporaneamente, dobbiamo rapportarlo nel modulo dei progetti.

L'operazione modulo è spesso utilizzata nei linguaggi di programmazione. Per questo motivo, si utilizza il segno % — percentuale — per indicare questa operazione (o talvolta l'operatore rimasto per i numeri negativi). Se sei curioso di conoscere le origini del segno %, ti invitiamo a leggere il breve paragrafo che abbiamo scritto sulla storia del segno percentuale.

Devi fare attenzione, perché c'è un'ambiguità nella definizione di modulo quando si prendono in considerazione i valori negativi. Ci sono due scelte possibili per il resto — una negativa e l'altra positiva — e il risultato dipende dall'implementazione nel linguaggio di programmazione scelto.

Potrebbero non essere evidenti a prima vista, ma ci sono molte applicazioni del modulo, dalla vita quotidiana ai problemi matematici e scientifici!

1. L'esempio più ovvio e conosciuto è la cosiddetta aritmetica dell'orologio 🕞. Può trattarsi di sommare le ore, come nella spiegazione del modulo qui sopra, oppure i minuti o i secondi!

   Nessuno dirà che "ti restano 40 minuti e 90 secondi", giusto? L'unica possibilità è eseguire un'operazione di modulo e trovare il quoziente e il resto — 60 × 1 + 30 = 90. 41 minuti e 30 secondi suona molto meglio.

2. Le operazioni modulo vengono utilizzate per calcolare le checksum dei numeri di serie. le cifre di controllo sono utilizzate soprattutto nei numeri lunghi e sono le cifre calcolate da un algoritmo. Servono per informare l'utente sugli errori derivanti, ad esempio, da una digitazione errata. Puoi trovare l'applicazione del modulo nel esempio seguente:

   • Nel nostro calcolatore di cifre 🇺🇸:
     • le cifre di controllo GTIN, UPC e EAN sono utilizzate per confermare l'integrità di un codice a barre. La formula per le cifre di controllo utilizza il modulo 10.
     • i numeri ISBN e ISSN, che sono identificativi unici di libri e periodici, hanno modulo 11 o modulo 10.
   • IBAN - Numeri di conti bancari internazionali - utilizzano il modulo 97 per verificare che il cliente non abbia digitato male il numero.
   • NPI - US National Provider Identifier utilizza il modulo 10 per calcolare la decima cifra.

   Poiché le cifre di controllo vengono utilizzate per individuare gli errori di trascrizione umana, sono spesso utilizzate per i numeri di serie lunghi. Altri esempi di algoritmi di cifre per controllolare che utilizzano l'operazione modulo:

   • Numero di identificazione nazionale (ad esempio, in Islanda, Turchia, Polonia);
   • Numero di identificazione fiscale (Spagna);
   • Numero di identificazione del veicolo (Stati Uniti); e
   • ...e molti altri ancora.

3. Viene applicato in molte aree scientifiche, come l'algebra dei computer, la crittografia, l'informatica o la semplice matematica scolastica, come l'algoritmo euclideo per il calcolo del fattore comune maggiore.

4. Il modulo è utile quando devi dividere qualcosa. Un esempio reale può essere quello di dividere una pizza con i tuoi amici o la tua famiglia.

5. Il modulo può essere utilizzato anche in Minecraft. il modulo 64 ti dirà quante pile piene di sampietrini ti serviranno per costruire la statua del Creeper.

Supponiamo che ci siano 10 fette in una grande pizza per feste e che siate un gruppo di tre persone. Quante fette rimangono quando dividete la pizza in parti uguali?

Questo è esattamente il caso in cui puoi usare il modulo! 10 mod 3 = 1. Cioè, 10 diviso 3 è uguale a 3, ma rimane 1 fetta 🍕. Questo non era l'esempio più difficile, ma speriamo che tu possa capire l'utilità del modulo.

Oh, no! Ci sta venendo fame. Lasciamo questa distrazione deliziosa e torniamo sulla Terra. Se sei interessato a scoprire altre applicazioni divertenti dell'aritmetica modulare, dai un'occhiata a questo post del blog Mathone.