Calcolatore per il Vertice della Parabola

Questo è il calcolatore per il vertice della parabola (nota anche come calcolatore dei vertici o anche calcolatore per trovare i vertici). Se vuoi sapere come si trova il vertice di una parabola, questo è il posto giusto da cui iniziare. Inoltre, il nostro strumento ti insegna qual è la forma canonica di un'equazione quadratica (forma delle coordinate del vertice) e come ricavare l'equazione della forma canonica o la formula del vertice stesso.

E non finisce qui! Questo calcolatore ti aiuta anche a convertire dalla forma generica alla forma canonica (forma delle coordinate del vertice), e viceversa, in un batter d'occhio!

Il vertice di una parabola è un punto che rappresenta il valore estremo di una curva quadratica. La parte quadratica è dovuta dal fatto che la potenza più significativa della nostra variabile (x) è due. Il vertice può essere un minimo (per una parabola che si apre verso l'alto) o un massimo (per una parabola che si apre verso il basso).

In alternativa, possiamo dire che il vertice è l'intersezione della parabola con il suo asse di simmetria.

In genere, indichiamo il vertice come un punto P(h, k), dove h sta per la coordinata x e k indica la coordinata y.

Questo è sufficiente per quanto riguarda le definizioni. Ma come si trova il vertice di una funzione quadratica? Potrebbe essere una sorpresa, ma non abbiamo bisogno di calcolare alcuna radice quadrata per farlo!

Ogni volta che ci troviamo di fronte alla forma generica di una parabola y = a·x² + b·x + c, possiamo utilizzare le formule delle coordinate del vertice:

h = -b/(2a),

k = c - b²/(4a).

Sapendo come trovare questi rapporti 🇺🇸, possiamo fare un ulteriore passo avanti e chiederci — Qual è la forma canonica di una parabola?

Intuitivamente, la forma canonica (forma delle coordinate del vertice) dell'equazione di una parabola (equazione quadratica) è quella che include i dettagli del vertice. Possiamo scrivere l'equazione della forma canonica come:

y = a·(x-h)² + k.

Come puoi vedere, per scrivere un'equazione della parabola in forma canonica dobbiamo conoscere tre parametri. Uno di questi è a, lo stesso della forma generica. Ci dice se la parabola si apre verso l'alto (a > 0) o verso il basso (a < 0). Il parametro a non può mai essere uguale a zero nell'equazione in forma canonica o in qualsiasi altra forma.

I parametri rimanenti, h e k, sono le componenti del vertice. È da qui che prende il nome l'equazione della forma canonica.

Inoltre, vale la pena ricordare che è possibile disegnare il grafico di una funzione quadratica avendo solo il parametro a e il vertice.

Se vuoi convertire un'equazione quadratica dalla forma generica alla forma canonica, puoi utilizzare il metodo del completamento del quadrato (puoi leggere di più a riguardo nel nostro calcolatore per il completamento del quadrato 🇺🇸). Vediamo come funziona questo metodo nel nostro contesto attuale.

Per convertire la forma generica y = ax² + bx + c in forma canonica (forma delle coordinate del vertice):

1. Estrai a dai primi due termini: y = a[x² + (b/a)x] + c;

2. Aggiungi e sottrai (b/(2a))² all'interno delle parentesi: y = a[x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²] + c;

3. Usa la formula della moltiplicazione breve: y = a[(x + b/(2a))² - (b/(2a))²] + c;

4. Espandi le parentesi: y = a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c; e

5. Questa è la tua forma canonica con h = -b/(2a) e k = c - b²/(4a).

Questo è un modo per convertire la forma generica in quella canonica. Il secondo (e più veloce) consiste nell'utilizzare il nostro calcolatore per il vertice della parabola, un metodo che consigliamo vivamente! È sufficiente digitare i parametri a, b e c. Il risultato apparirà immediatamente nella parte inferiore del calcolatore.

Il nostro calcolatore per il vertice della parabola può funzionare anche al contrario, trovando la forma generica di una parabola. Se vuoi sapere come farlo a mano utilizzando l'equazione in forma canonica, ti daremo le istruzioni nella prossima sezione.

Per convertire un'equazione della parabola dalla forma canonica alla forma generica:

1. Scrivi l'equazione della parabola in forma canonica:

   y = a(x-h)² + k.

2. Espandi l'espressione tra parentesi:

   y = a(x² - 2hx + h²) + k.

3. Moltiplica i termini tra parentesi per a:

   y = ax² - 2ahx + ah² + k.

4. Confronta il risultato con la forma generica di una parabola:

   y = ax² + bx + c.

5. Hai trovato la forma generica! I suoi parametri sono b = -2·a·h, c = a·h² + k.

Ci sono due approcci che puoi seguire per utilizzare il nostro calcolatore per il vertice della parabola:

• La prima possibilità è quella di utilizzare la forma canonica di un'equazione quadratica.

• La seconda opzione è quella di trovare la soluzione passando dalla forma generica alla forma canonica.

Quest'ultima è già stata descritta in una delle sezioni precedenti. Vediamo cosa succede per la prima:

• Digita i valori del parametro a e le coordinate del vertice, h e k. Che siano a = 0,25, h = -17, k = -54;

• Tutto qui! Di conseguenza, puoi vedere il grafico della tua funzione quadratica, insieme ai punti che indicano il vertice, il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate, e gli zeri.

Sopra il grafico, puoi trovare le descrizioni dettagliate:

• Sia il vertice sia la forma generica della parabola: y = 0,25(x + 17)² - 54 e y = 0,25x² + 8,5x + 18,25 rispettivamente;

• Il vertice: P = (-17, -54);

• Il punto di intersezione della parabola con l'asse y: Y = (0, 18,25);

• I valori degli zeri: X₁ = (-31,6969, 0), X₂ = (-2,3031, 0). Se questo ti incuriosisce, arrotondiamo il risultato con una precisione di quattro cifre decimali.