Calcolatore per l'Equazione di Secondo Grado
Se hai bisogno di risolvere un'equazione in forma Ax² + Bx + C = 0, questo calcolatore per l'equazione di secondo grado, o la formula quadratica, è qui per aiutarti. Con pochi clic, sarai in grado di risolvere anche i problemi più difficili. Questo articolo descrive nel dettaglio cos'è la formula quadratica e cosa significano i simboli A, B e C. Inoltre spiega come risolvere le equazioni quadratiche che hanno un determinante negativo e non hanno radici reali.
Che cos'è l'equazione di secondo grado?
L'equazione di secondo grado, o la formula quadratica, è la soluzione di un'equazione polinomiale di secondo grado della forma seguente:
Ax² + Bx + C = 0
Se puoi riscrivere la tua equazione in questa forma, significa che può essere risolta con la formula quadratica. La soluzione di questa equazione è chiamata anche radice di un'equazione.
La formula quadratica è la seguente:
x = (-B ± √Δ)/2A
dove:
- Δ = B² - 4AC
Utilizzando questa formula, puoi trovare le soluzioni di qualsiasi equazione quadratica. Nota che ci sono tre possibili opzioni per ottenere un risultato:
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L'equazione di secondo grado ha due radici uniche quando Δ > 0. Quindi, la prima soluzione della formula quadratica è x₁ = (-B + √Δ)/2A, mentre la seconda è x₂ = (-B - √Δ)/2A;
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L'equazione di secondo grado ha una sola radice quando Δ = 0. La soluzione è uguale a x = -B/2A. A volte viene chiamata radice ripetuta o doppia; oppure
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L'equazione di secondo grado non ha soluzioni reali per Δ < 0.
Puoi anche tracciare il grafico della funzione y = Ax² + Bx + C. La sua forma è una parabola e le radici dell'equazione quadratica sono le intersezioni con l'asse x di questa funzione.
💡 Utilizziamo la formula quadratica in molti campi della nostra vita, non solo in matematica o fisica ma anche in edilizia. Ad esempio, puoi progettare un transizione fluida tra due strade in pendenza utilizzando la formula della curva verticale 🇺🇸 che si basa sull'equazione quadratica.
Coefficienti di un'equazione quadratica
A, B e C sono i coefficienti dell'equazione quadratica. Sono tutti numeri reali, non dipendenti da x. Se A = 0, allora l'equazione non è quadratica, ma lineare.
Se B² < 4AC, il determinante Δ sarà negativo. Ciò significa che tale equazione non ha radici reali.
Come si usa il calcolatore per l'equazione di secondo grado
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Scrivi la tua equazione. Supponiamo che sia 4x² + 3x - 7 = -4 - x;
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Trasforma l'equazione nella forma Ax² + Bx + C = 0. In questo esempio, lo faremo nei seguenti passaggi:
4x² + 3x - 7 = -4 - x
4x² + (3 + 1)x + (-7 + 4) = 0
4x² + 4x - 3 = 0;
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Calcola il determinante:
Δ = B² - 4AC = 4² - 4×4×(-3) = 16 + 48 = 64;
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Decidi se il determinante è maggiore, uguale o minore di 0. Nel nostro caso, il determinante è maggiore di 0, il che significa che questa equazione ha due radici uniche;
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Calcola le due radici utilizzando la formula quadratica.
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-4 +√64) / (2×4) = (-4 + 8) / 8 = 4/8 = 0,5
x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-4 -√64) / (2×4) = (-4 - 8) / 8 = -12/8 = -1,5;
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Le radici della tua equazione sono x₁ = 0,5 e x₂ = -1,5.
Puoi anche digitare semplicemente i valori di A, B e C nel nostro calcolatore per l'equazione di secondo grado e lasciare che esegua tutti i calcoli per te.
Assicurati di aver scritto il numero corretto di cifre utilizzando il nostro calcolatore per le cifre significative.
Risolvere equazioni quadratiche con un determinante negativo
Anche se il calcolatore per l'equazione di secondo grado indica che l'equazione non ha radici reali, è possibile trovare la soluzione di un'equazione quadratica con un determinante negativo. Queste radici saranno numeri complessi 🇺🇸.
I numeri complessi hanno una parte reale e una parte immaginaria. La parte immaginaria è sempre uguale al numero i = √(-1) moltiplicato per un numero reale.
La formula quadratica rimane invariata in questo caso.
x = (-B ± √Δ)/2A
Nota che, poiché Δ < 0, la radice quadrata del determinante sarà un valore immaginario. Quindi:
Re(x) = -B/2A
Im(x) = ± (√Δ)/2A
Ad esempio, considera l'equazione x^2 + 1 = 0. Il suo determinante è
Δ = B² – 4AC = 0² - 4×1×1 = -4,
e quindi l'equazione ammette due soluzioni complesse distinte:
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (0 + 2i) / (2×1) = i
x₂ = (-B – √Δ)/2A= (0 - 2i) / (2×1) = -i
Poiché il determinante è negativo, nessuna delle due soluzioni è un numero reale.
Applicazione: rapporto aureo
Ecco un problema che fa uso della formula quadratica. Supponiamo di voler dividere un segmento di linea in due parti, una più lunga di lunghezza a e una più corta di lunghezza b, in modo che il rapporto a/b delle loro lunghezze sia uguale a (a+b)/a, il rapporto tra la lunghezza dell'intero segmento e la lunghezza della parte più lunga. Quale sarà il rapporto?
Nella matematica, questo significa che dobbiamo risolvere l'equazione a/b = (a+b)/a. Si tratta di un'equazione in due variabili a e b, ma non ci interessa conoscere i loro valori individuali, solo il loro rapporto. Se indichiamo il loro rapporto come ϕ = a/b, allora l'equazione che dobbiamo risolvere diventa
ϕ = a/b = (a+b)/a = 1 + b/a = 1 + 1/ϕ
Anche se il compito non sembra facile, possiamo trasformare questa equazione in un'equazione quadratica. Infatti, moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per ϕ, otteniamo:
ϕ² = ϕ + 1
che è un'equazione quadratica! Spostando ϕ + 1 sul lato sinistro, otteniamo un'equazione:
ϕ² - ϕ - 1 = 0
che può essere risolta utilizzando la nostra formula quadratica. Infatti, il discriminante è:
Δ = B² - 4AC = -1 - 4 × 1 × (-1) = 5
e quindi l'equazione ammette due soluzioni distinte:
x₁ = (-B + √Δ)/2A = (-1 + √5) / 2 =1,618...
x₂ = (-B - √Δ)/2A= (-1 - √5) / 2 = -0,618...
Nota che una di queste soluzioni è positiva mentre l'altra è negativa. Poiché siamo interessati a trovare un rapporto tra due numeri positivi (perché le lunghezze sono sempre positive), la prima soluzione è quella che stiamo cercando. Quindi ϕ = 1,618...
Il numero ϕ = 1,618... è chiamato rapporto aureo o proporzione di divisione e compare in vari punti della matematica. Ad esempio:
- Il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi si avvicina a ϕ; e
- In un pentagono regolare, il rapporto tra la diagonale e il lato è ϕ.
Il rapporto aureo ha guadagnato fama anche al di fuori della matematica. Spesso è considerata la proporzione più bella dal punto di vista estetico; da qui il suo secondo nome, proporzione divina. Per questo motivo, è stato inserito nella pubblicazione del 16° secolo "De Divina Proportione" (Sulla Divina Proportione) di Luca Pacioli, con illustrazioni di Leonardo da Vinci. La pubblicazione tratta le varie apparizioni del rapporto aureo nell'arte e nell'architettura.
Molte fonti storiche e contemporanee sostengono che il rapporto aureo sia onnipresente anche in natura. Alcuni esempi sono:
- Il modello di crescita delle foglie;
- Le superfici geometriche di alcuni vegetali e conchiglie
- Proporzioni delle ossa di alcuni animali.
Tuttavia, se da un lato non possiamo negare la presenza di modelli geometrici in natura, dall'altro non possiamo confermare l'esattezza delle proporzioni degli esempi sopra citati: alcuni presentano enormi variazioni, mentre altri si avvicinano solo al rapporto aureo.
Altre risorse
Un modo alternativo per affrontare le equazioni quadratiche è fattorizzare i trinomi 🇺🇸. Inoltre, è molto utile saper riconoscere rapidamente trinomi con quadratici perfetti 🇺🇸. Il passo successivo è imparare a tracciare il grafico delle disuguaglianze quadratiche 🇺🇸.
Vorresti ancora scoprire di più sulla matematica dopo aver imparato tutto sulla risoluzione delle equazioni quadratiche? Omni offre oltre 240 calcolatori matematici da esplorare. In particolare, ti consigliamo di dare un'occhiata al nostro risolutore di equazioni cubiche 🇺🇸. Ti consigliamo anche di dare un'occhiata alla . Dispone di una vasta collezione di risorse per imparare tutto sulla matematica, con particolare attenzione al programma di studi Common Core.
